他山之石 借以攻玉
——第14屆國際數(shù)學(xué)教育大會“數(shù)學(xué)與創(chuàng)造力”專場綜述

□張學(xué)峰 羅藝文

創(chuàng)造力是指產(chǎn)生新思想，發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造新事物的能力。在人類科技迅猛發(fā)展的今天，知識的累積速度在飛速增長，對于當(dāng)代兒童來說，僅僅學(xué)習(xí)固有的知識，已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能應(yīng)對未來的挑戰(zhàn)，創(chuàng)造力成為21世紀(jì)的社會對人才提出的新要求?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》都將創(chuàng)造力作為重要的培養(yǎng)目標(biāo)之一。但教學(xué)中如何落實創(chuàng)造力的培養(yǎng)一直是困擾教育工作者的難題。

在第14屆國際數(shù)學(xué)教育大會上，來自不同國家和地區(qū)的研究者在“數(shù)學(xué)和創(chuàng)造力”（ICME-59）小組（以下簡稱ICME-59小組）中分享了與創(chuàng)造力相關(guān)的最新研究成果。他山之石，借以攻玉，筆者試圖以ICME-59小組分享的內(nèi)容為基礎(chǔ)，擇要分享介紹，供關(guān)注創(chuàng)造力研究的教育工作者參考借鑒。

一、創(chuàng)造力的特征與評價

在世界發(fā)展日新月異的今天，創(chuàng)造力的重要性毋庸置疑。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)著力提升學(xué)生的創(chuàng)造意識是相關(guān)教育工作者的共識。那么到底什么是創(chuàng)造力，如何評判創(chuàng)造力的高低，在我國當(dāng)前的數(shù)學(xué)教師群體中卻鮮有人深入研究。教師如果不能理解什么是創(chuàng)造力，無法說明怎樣才是創(chuàng)造力較高的表現(xiàn)，那么培養(yǎng)創(chuàng)造力自然也就成了一句空話。因此，在談創(chuàng)造力培養(yǎng)前，先要了解創(chuàng)造力的特征，建立創(chuàng)造力的評價體系格外重要。

（一）創(chuàng)造力的特征

在不同的時期學(xué)者們關(guān)于什么是創(chuàng)造力有不同的界定。心理學(xué)家吉爾福德（Guilford）認(rèn)為，創(chuàng)造力是指那些具有杰出創(chuàng)造表現(xiàn)的人們所具有的能力。［1］蓋哲爾（Getzele）認(rèn)為創(chuàng)造力可以是一個獨一無二或意想不到的成果，可以是個體參與的一種非算法的決策過程，也可以是一種以各種方式來分析問題從而辨別模式、發(fā)現(xiàn)相似性和差異的能力［2］。哈達瑪（Hadamard）總結(jié)出創(chuàng)造力的四階段發(fā)展模式：準(zhǔn)備（完全理解問題），沉思（在頭腦中有意識地自動解決問題），啟迪（在沉思過后產(chǎn)生內(nèi)在想法），驗證（確定該想法是否正確）。［3］雖然人們對創(chuàng)造力的理解各不相同，但多數(shù)學(xué)者常以“產(chǎn)生新思想，發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造新事物的能力”或“能夠創(chuàng)造出新奇有價值的產(chǎn)品的能力”來界定創(chuàng)造力［4］。在ICME-59小組交流與匯報中，大家關(guān)于創(chuàng)造力的研究與分析，均建立在以上共識的基礎(chǔ)上展開。

（二）創(chuàng)造力的評價

關(guān)于創(chuàng)造力評價的相關(guān)內(nèi)容，在ICME-59小組交流中得到廣泛的關(guān)注。其中，多數(shù)相關(guān)評價均以“托倫斯創(chuàng)造性思維測試”為基礎(chǔ)展開。“托倫斯創(chuàng)造性思維測試”指的是用“流暢性”“靈活性或變通性”“獨創(chuàng)性或新穎性”“精致性”等因素，對解決問題中體現(xiàn)出的創(chuàng)造力高低進行評價的一種方式。［5］流暢性指的是可以想出很多可能性或答案的能力。靈活性或變通性指的是能以不同觀點來做不同的分類或不同的思考，從某種思維靈活轉(zhuǎn)換到另一種思維的能力。獨創(chuàng)性或新穎性指的是創(chuàng)造獨特的作品，或體現(xiàn)出不尋常的思維的能力。精致性指的是制訂詳盡計劃或概括想法的能力，也就是在問題解決時，從最初的構(gòu)想或觀念逐步發(fā)展，讓自己的構(gòu)想逐步完美或形成新觀念的能力。

這些因素中，流暢性、靈活性和獨創(chuàng)性三個因素常常在中小學(xué)階段創(chuàng)造力研究中被廣泛使用，以確定學(xué)生在數(shù)學(xué)問題解決方面的創(chuàng)造力水平。如南京師范大學(xué)金海月在《對中國高中生探究與創(chuàng)新意識的探索》的研究中，結(jié)合“托倫斯創(chuàng)造性思維測試”設(shè)計相關(guān)問卷展開調(diào)查。浙江外國語學(xué)院教學(xué)月刊社邢佳立和香港教育大學(xué)張僑平、金軒竹（以下簡稱“邢佳立等”）在《通過數(shù)學(xué)活動題培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造力的實踐探索》的報告中，以“托倫斯創(chuàng)造性思維測試”為基礎(chǔ)，根據(jù)研究內(nèi)容與學(xué)生實際，從靈活性、掌握度和原創(chuàng)性等方面對學(xué)生在問題解決活動中的創(chuàng)造力進行評價。

特別值得關(guān)注的是與此不同的兩位學(xué)者的研究。

其一是來自北京師范大學(xué)的王艷芝在《小學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力評價體系的建立：基于德爾菲法的調(diào)查與分析》的報告中，介紹了一套自己開發(fā)的培養(yǎng)和評價學(xué)生數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力的標(biāo)準(zhǔn)和工具（如表1）。這套標(biāo)準(zhǔn)是作者結(jié)合相關(guān)研究，并向來自高校和科研機構(gòu)的19位專家進行了三輪意見征詢后，形成的評價創(chuàng)造力的5個一級指標(biāo)和13個二級指標(biāo)。

表1

其二是以色列的Haim Elgrably,Roza Leikin分享了《談與策略相關(guān)和結(jié)果相關(guān)的數(shù)學(xué)創(chuàng)造力：普通學(xué)生與資優(yōu)學(xué)生的比較》的實驗報告，他的研究雖同樣以“托倫斯創(chuàng)造性思維測試”為基礎(chǔ)，但他進一步提出了“在比較大眾與資優(yōu)者的創(chuàng)造力時，相對創(chuàng)造力與絕對創(chuàng)造力間的對比是核心”這一重要觀點，并將創(chuàng)造力區(qū)分為“策略相關(guān)的創(chuàng)造力”與“結(jié)果相關(guān)的創(chuàng)造力”。他通過研究得出：資優(yōu)人士數(shù)學(xué)創(chuàng)造力的主要特征是與策略有關(guān)的高度靈活性和與結(jié)果有關(guān)的原創(chuàng)性。

以上內(nèi)容為我國學(xué)者進一步研究創(chuàng)造力的評價指明了方向：“流暢性”“靈活性或變通性”“獨創(chuàng)性或新穎性”“精致性”等因素是評價創(chuàng)造力高低的重要依據(jù)，在具體評價時可根據(jù)自身的研究對此工具適當(dāng)進行調(diào)整。同時，創(chuàng)造力評價工具的開發(fā)還有極大的研究空間。

二、有關(guān)創(chuàng)造力的調(diào)查

在數(shù)學(xué)教育中，數(shù)學(xué)創(chuàng)造力研究主要關(guān)注的是創(chuàng)造性的問題解決。在ICME-59小組交流中有多位學(xué)者介紹了關(guān)于“創(chuàng)造力”水平及影響因素的調(diào)查結(jié)果。

(1) 高溫后方鋼管再生混凝土柱的主要破壞過程和破壞形態(tài)與常溫試件相似，均表現(xiàn)為試件根部(加勁肋頂部)鋼管鼓曲破壞，側(cè)面也有明顯的鼓曲波形，如圖4所示。

德國的Daniela Assmus,Torsten Fritzlar認(rèn)為數(shù)學(xué)資優(yōu)兒童可能具有特殊的創(chuàng)造力。他們進行了“拓展小學(xué)生成長模式——一項激發(fā)創(chuàng)造力的任務(wù)”的對比實驗案例研究，對14名有數(shù)學(xué)天賦的兒童和29名普通兒童進行了個案調(diào)查，分析發(fā)現(xiàn)：①有數(shù)學(xué)天賦的三年級學(xué)生的成長模式比普通學(xué)生的成長模式更豐富、更穩(wěn)定；②資優(yōu)兒童的類型具有多樣性。

德國的Anastasia,leftheriou和塞浦路斯的Nektaria Panagi-Louka,Athanasios Gagatsis圍繞小學(xué)幾何的空間能力與創(chuàng)造力間的關(guān)系，對來自塞浦路斯和希臘的192名五、六年級學(xué)生展開調(diào)查。他們圍繞創(chuàng)造力的流暢性、靈活性和原創(chuàng)性特征，通過給學(xué)生布置有關(guān)面積和周長的多解法任務(wù)，了解學(xué)生的創(chuàng)造力。研究結(jié)果表明，在問題解決的過程中，學(xué)生表現(xiàn)出的流暢性和靈活性具有強烈的一致性，總是共同出現(xiàn)，而原創(chuàng)性極少在學(xué)生中被觀察到。

菲律賓的Lady Angela Mico Rocena,Ma.Nympha B.Joaquin,日本的Manabu Sumida,Naomichi Yoshimira在《菲律賓和日本學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)造力》的比較研究報告中，介紹了對來自菲律賓和日本的兩組共140名學(xué)生的問卷調(diào)查結(jié)果。該問卷經(jīng)過了內(nèi)容驗證、試點測試（先導(dǎo)測試）和可靠性測試，而后運用統(tǒng)計測試分析結(jié)果。他們通過深入研究學(xué)生對有關(guān)數(shù)字和數(shù)感開放式問題的回答，探討了菲律賓和日本學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)造力特征，結(jié)合課堂觀察并分析了相關(guān)文檔，如教師制作的評估和教科書，以證實統(tǒng)計結(jié)果。結(jié)果顯示，兩組學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)造力有明顯差異，日本學(xué)生的得分更高，而這或許與教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方式有較大關(guān)系。

德國的Svenja Bruhn，對10名一年級學(xué)生在兩個開放性算術(shù)任務(wù)中，表現(xiàn)出的個人創(chuàng)造力進行觀察，發(fā)現(xiàn)10個學(xué)生中有7個學(xué)生的個人創(chuàng)造力在完成不同任務(wù)時表現(xiàn)不同，也就是說個人創(chuàng)造力在完成不同任務(wù)時存在差異。

美國的Irina Lyublinskaya,Marta Cadral的研究很有特點，他們在《深化初中數(shù)學(xué)教師幾何思維的藝術(shù)創(chuàng)造過程》的報告中，重點介紹了他們嘗試對“將數(shù)學(xué)和藝術(shù)的創(chuàng)造性結(jié)合起來，以加深中學(xué)教師對難以教授的幾何概念的理解，并改善他們有關(guān)這些課題的教學(xué)”進行研究的過程。他們的研究表明，創(chuàng)造力對思維有著至關(guān)重要的作用。藝術(shù)為數(shù)學(xué)教師提供了能體現(xiàn)更高創(chuàng)造性的參與方式，可以幫助教師以不同且更富創(chuàng)造性的方法欣賞和理解教學(xué)規(guī)律及數(shù)學(xué)內(nèi)容。

南非的Motshidisi Gertrude van Wyk進行了“南非小學(xué)數(shù)學(xué)教師對數(shù)學(xué)資優(yōu)學(xué)生的看法調(diào)查”，研究者調(diào)查并分析了基礎(chǔ)教育階段，教師在滿足資優(yōu)兒童學(xué)習(xí)需求方面的準(zhǔn)備情況。通過問卷調(diào)查和結(jié)構(gòu)性訪談，研究者分別向Thaba Nchu地區(qū)選定的10所小學(xué)的教師和校長收集了數(shù)據(jù)。結(jié)果顯示：由于缺乏資優(yōu)教育方面的教師培訓(xùn)，資優(yōu)學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)需求在常規(guī)課堂中難以得到滿足；64%的教師有能力教授資優(yōu)學(xué)生；88%的教師認(rèn)為高等教育機構(gòu)需要在其課程中加入資優(yōu)教育的相關(guān)內(nèi)容；70%的校長鼓勵教師參加與培養(yǎng)資優(yōu)生相關(guān)的研討會，以滿足資優(yōu)生的學(xué)習(xí)需要。

以上調(diào)查樣本數(shù)量差異較大，研究的方向各異，但所有調(diào)查的過程翔實，對數(shù)據(jù)的處理分析清晰可信。這些調(diào)查不僅有助于一線教師了解目前國際上創(chuàng)造力研究的相關(guān)成果，也可以成為一線教師進行實證研究的范例。

三、有關(guān)如何培養(yǎng)創(chuàng)造力的研究

（一）開放性、探究性學(xué)習(xí)任務(wù)有利于創(chuàng)造力培養(yǎng)

多位學(xué)者的研究表明：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的開放性、探究性學(xué)習(xí)任務(wù)有助于學(xué)生的創(chuàng)造力培養(yǎng)。

邢佳立等的研究中介紹，在解決開放性的活動題時，學(xué)生是知識的積極建構(gòu)者而不是被動接受者。解決這類問題，學(xué)生會經(jīng)歷“識別—探究—操作—反思—驗證”等過程，在每一個環(huán)節(jié)中都能體現(xiàn)創(chuàng)造力的不同水平（如圖1）。

圖1

挪威的Hanna Zdziarska Slabikowska的“數(shù)學(xué)課堂上的探究性對話與數(shù)學(xué)表征，與其在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用”的研究同樣發(fā)現(xiàn)，基于探究的數(shù)學(xué)對話、推理和數(shù)學(xué)表征之間的聯(lián)系有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念。

北馬其頓的Valentina Gogovska的“提高數(shù)學(xué)創(chuàng)造力的操作性活動”的研究指出，文字任務(wù)、魔方、數(shù)學(xué)謎語和圖形字謎可以作為激勵和鼓勵學(xué)生對數(shù)學(xué)感興趣的工具。在這些工具的幫助下，學(xué)生完成開放性任務(wù)可以提高對數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)謎題的興趣，加深對知識的理解，發(fā)展創(chuàng)造力，這些活動還有助于學(xué)生自主建立知識結(jié)構(gòu)，形成長期記憶。他們在實驗中還發(fā)現(xiàn)，指出問題和討論解決方案不僅可以提高學(xué)生的創(chuàng)造力，還可以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。如果在開放性活動中鼓勵學(xué)生思考制定新任務(wù)，他們會提出更多不同的解決問題的方案。經(jīng)常進行開放性活動的學(xué)生在處理新問題時常常比別人想得更多、更遠(yuǎn)。

德國的Torsten Fritzlar,Karin Richter在《用數(shù)學(xué)“重新思考世界”》的報告中，介紹了以包豪斯的幾何棋作為創(chuàng)造數(shù)學(xué)思想和材料的基礎(chǔ)，讓小學(xué)生和師范生在“包豪斯象棋（如圖2）項目”活動中完成“對世界的再思考”過程，展示了包豪斯象棋如何幫助學(xué)生實現(xiàn)創(chuàng)造性活動。

圖2

日本的Noriko Tanaka在《研究問題和學(xué)生評估》的報告中指出，學(xué)生在自己編制和研究問題的過程中，可以提高對數(shù)學(xué)的興趣，激發(fā)創(chuàng)造力，并體會到數(shù)學(xué)的用處。研究者通過實際例子的分享，介紹了這種方法在課堂內(nèi)外兩種不同的背景下的應(yīng)用，并展示了學(xué)生分享研究的過程，以及在口頭會議（報告）和書面會議（報告）上相互評估的情況。

（二）合作式學(xué)習(xí)方式有助于創(chuàng)造力培養(yǎng)

合作式學(xué)習(xí)方式有助于創(chuàng)造力培養(yǎng)也是多位研究者的共識之一。幾乎所有相關(guān)調(diào)查分析都提及合作對學(xué)生的創(chuàng)造力培養(yǎng)具有重要作用。同時，ICME-59小組介紹的與合作相關(guān)的研究不僅局限于學(xué)生，也包括成人之間的合作。

智利的Alicia Venegas-Thayer在“數(shù)學(xué)專業(yè)與音樂專業(yè)大學(xué)生之間的合作性創(chuàng)作”的研究中，組建了一個由數(shù)學(xué)專業(yè)和音樂專業(yè)的學(xué)生共同組成的小組，通過隨機實驗進行音樂創(chuàng)作。研究者在兩個專業(yè)學(xué)生的互動中觀察到，音樂—數(shù)學(xué)創(chuàng)作程序的建立取決于每個參與者的專業(yè)實踐，他們常常對照自己學(xué)科的典型常規(guī)，談?wù)摿硪粚W(xué)科的研究對象。這樣的跨學(xué)科項目能給不同學(xué)科領(lǐng)域的人提供協(xié)同合作的機會，并有助于創(chuàng)造力的產(chǎn)生。

希臘的Dimitris Diamantidis在“數(shù)學(xué)教師的合作，數(shù)字化教學(xué)工具的創(chuàng)意設(shè)計”的研究中，讓參與實驗的希臘數(shù)學(xué)教師在真實的學(xué)校環(huán)境中共同合作，以希臘教育部在網(wǎng)上提供的正式版電子教科書為初始工具，重新設(shè)計數(shù)學(xué)教學(xué)的數(shù)字化工具，并在課堂上使用，然后根據(jù)使用情況再設(shè)計、再修改。他們以Strauss和Corbin的基礎(chǔ)理論范式為分析依據(jù)，發(fā)現(xiàn)這樣的合作有助于教師個體創(chuàng)造力的展現(xiàn)，教師團體內(nèi)的合作與交流等特點也在合作中得以顯現(xiàn)。

（三）社會層面的參與有助于創(chuàng)造力培養(yǎng)

俄羅斯的Mariia Pavlova,Maria Shabanova在題為《學(xué)生為娛樂科學(xué)博物館制作“實驗數(shù)學(xué)”互動展覽》的報告中提出，參觀娛樂性科學(xué)博物館是普及科學(xué)知識和科學(xué)活動的趣味形式之一，在這樣的博物館里，因為每個人都可以觸摸展品并進行實驗，所以展品具有極強的可互動性。研究者希望能讓學(xué)生有機會自己創(chuàng)造一個展覽，并介紹他們實現(xiàn)這一想法的過程——來自大學(xué)和中學(xué)的學(xué)生為阿爾漢格爾斯克的一個娛樂科學(xué)博物館制作綜合的“實驗數(shù)學(xué)”互動展覽。參與研究的學(xué)生體現(xiàn)出了很強的創(chuàng)造力，在完成任務(wù)后他們表示，希望教師從“實驗科學(xué)”這個新的、不尋常的角度來介紹數(shù)學(xué)，告訴他們實驗在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用，并讓他們覺得自己是真正的研究者和實驗數(shù)學(xué)家。

希臘的Chronis Kynigos,Dimitris Diamantidis進行了“建構(gòu)主義課堂背景下的社會創(chuàng)造力”的研究，他們認(rèn)為：社會創(chuàng)造力是從集體中的“個人”與計算媒體、技術(shù)、人工制品之間的交互中生長出來的，同時，社會創(chuàng)造力也為個人開展工作提供了幫助；個人創(chuàng)造力是“社會文化”資產(chǎn)的來源和表現(xiàn)；社會創(chuàng)造力也發(fā)生在除“社會”背景外的“技術(shù)”背景中。這項研究，將學(xué)生創(chuàng)造性想法的產(chǎn)生視為社會技術(shù)環(huán)境中的正常產(chǎn)出。研究也表明，在這種環(huán)境里教師發(fā)揮了重要作用，教師應(yīng)鼓勵學(xué)生創(chuàng)造性地提出問題和解決問題。

創(chuàng)造力至關(guān)重要，以數(shù)學(xué)課程培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力，在近年來已成為數(shù)學(xué)教育的重要目標(biāo)，為數(shù)學(xué)教育工作者所關(guān)注，但有關(guān)創(chuàng)造力的研究在我國尚處萌芽階段。期待以上針對“數(shù)學(xué)與創(chuàng)造力”國際研究進展的梳理，能為我國關(guān)注創(chuàng)造力的研究者提供參考，從而促進我國學(xué)生創(chuàng)造力的提升。