一種考慮非線性形變的柔性航天器邊界穩(wěn)定控制方法

袁 泉 魏春嶺 張 軍

1. 北京控制工程研究所，北京 100094 2. 空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100094

0 引言

空間太陽能電站作為大型空間結(jié)構(gòu)，在結(jié)構(gòu)尺寸上達(dá)到公里量級(jí)，呈全柔性狀態(tài)，即不存在剛性構(gòu)架。與剛體結(jié)構(gòu)相比，全柔性航天器的空間分布特性使得相應(yīng)的動(dòng)力學(xué)模型描述與控制問題變得更加困難。Wie等[1]針對(duì)位于地球同步軌道的太陽能電站衛(wèi)星，設(shè)計(jì)了采用電推力器的軌道姿態(tài)控制系統(tǒng)，通過低控制帶寬降低結(jié)構(gòu)振動(dòng)與控制的相互作用。Wu等[2]將太陽能電站衛(wèi)星視作剛體，考慮重力梯度、太陽光壓等攝動(dòng)作用，利用抗擾技術(shù)與LQR理論設(shè)計(jì)了魯棒最優(yōu)太陽指向控制策略。Ji等[3]基于多剛體動(dòng)力學(xué)模型設(shè)計(jì)了空間太陽能電站衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)。Fujii等[4]通過數(shù)值與實(shí)驗(yàn)的方法研究了繩系空間太陽能電站衛(wèi)星的振動(dòng)控制問題。Li等[5]考慮了軌道姿態(tài)振動(dòng)耦合的太陽能電站衛(wèi)星動(dòng)力學(xué)控制。

邊界控制由于實(shí)現(xiàn)形式簡(jiǎn)單，在分布參數(shù)系統(tǒng)的控制中得到了大量的研究與應(yīng)用。Lagnese[6]研究了部分邊界固定、部分邊界自由的線性彈性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的邊界穩(wěn)定問題，給出使得系統(tǒng)一致穩(wěn)定或強(qiáng)穩(wěn)定的邊界控制。Lasiecka[7]考慮了二階Petrovsky型演化方程的非線性邊界穩(wěn)定問題。Balakrishnan[8]分析了一端固定、一端自由且受控制力與力矩作用的Bernoulli梁的等比例阻尼問題。Leugering[9]利用速度反饋，給出了含Boltzmann型弱黏彈性阻尼的懸臂梁的一致穩(wěn)定邊界剪切力控制。Ma等[10]分析了一端固定、一端自由且受截切力作用的可伸長(zhǎng)非線性梁結(jié)構(gòu)的非線性邊界穩(wěn)定的能量耗散性。Do[11]提出了可大范圍運(yùn)動(dòng)的Euler-Bernoulli梁在常見邊界條件下的邊界穩(wěn)定控制器設(shè)計(jì)方法，并進(jìn)行了適定性與穩(wěn)定性分析。Wozniak等[12]分析了旋轉(zhuǎn)Timoshenko梁在與其固定的驅(qū)動(dòng)電機(jī)的角加速度控制下的穩(wěn)定性，找到使得系統(tǒng)穩(wěn)定裕度最大的最優(yōu)阻尼系數(shù)。將帆板等柔性部件視作分布參數(shù)對(duì)象，邊界控制方法可以用于柔性航天器的主動(dòng)振動(dòng)抑制。Li[13]考慮了由中心剛體與彈性梁組成的柔性航天器的姿態(tài)機(jī)動(dòng)問題，根據(jù)非線性耦合動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，通過線性反饋得到中心剛體上的控制力矩，實(shí)現(xiàn)大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)與振動(dòng)抑制。He等[14]將帶有兩個(gè)柔性太陽能帆板的衛(wèi)星等效為中心剛體與兩個(gè)Euler-Bernoulli梁的組合體，通過對(duì)中心剛體施加控制實(shí)現(xiàn)兩塊帆板的振動(dòng)抑制。Zuyev等[15]考慮了剛體與Kirchhoff板組成的多體力學(xué)系統(tǒng)在3個(gè)獨(dú)立控制力矩作用下的非線性控制問題。

對(duì)于空間太陽能電站等大型柔性空間結(jié)構(gòu)，在發(fā)生大撓度變形從而幾何非線性形變不可以忽略的情況下，將彈性運(yùn)動(dòng)視作對(duì)剛體運(yùn)動(dòng)的擾動(dòng)[1-3]或者僅考慮小應(yīng)變的耦合動(dòng)力學(xué)模型[5]均難以描述幾何非線性引起的動(dòng)力學(xué)剛化現(xiàn)象。因此，本文將空間太陽能電站近似為平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的非齊次自由邊界非線性變形梁結(jié)構(gòu)，建立同時(shí)考慮全柔性航天器全局剛體運(yùn)動(dòng)和局部彈性運(yùn)動(dòng)耦合的空間連續(xù)動(dòng)力學(xué)控制系統(tǒng)模型，采用端點(diǎn)配置推力器與控制力矩陀螺的控制構(gòu)型，利用自由邊界非線性梁的邊界控制方法設(shè)計(jì)姿態(tài)穩(wěn)定與振動(dòng)抑制控制器。文章內(nèi)容安排如下：第1節(jié)針對(duì)空間太陽能電站動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，給出考慮大范圍運(yùn)動(dòng)、大變形及邊界控制輸入項(xiàng)的連續(xù)系統(tǒng)模型；第2節(jié)基于能量耗散原理，設(shè)計(jì)全柔性航天器姿態(tài)穩(wěn)定與振動(dòng)抑制的邊界控制器；第3節(jié)通過數(shù)值求解算法，對(duì)全柔性航天器動(dòng)力學(xué)控制方程進(jìn)行數(shù)值仿真，以驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的邊界穩(wěn)定控制律的有效性；第4節(jié)給出文章的結(jié)論。

1 空間太陽能電站的連續(xù)體動(dòng)力學(xué)控制方程

如圖1(a,b)所示，將全柔性空間太陽能電站近似為平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)的自由邊界均勻梁結(jié)構(gòu)，采用混合坐標(biāo)法，考慮平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)與彈性運(yùn)動(dòng)的耦合。具體地，采用兩端自由的有限變形梁近似全柔性太陽能電站的動(dòng)力學(xué)特性，假設(shè)彈性運(yùn)動(dòng)滿足線性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，考慮徑向彈性變形與橫向彈性變形的耦合，彈性變形量取值于梁的剛?cè)狁詈线\(yùn)動(dòng)相對(duì)剛體運(yùn)動(dòng)的商空間，采用線性約束方式確定浮動(dòng)坐標(biāo)系。

圖1 自由彈性結(jié)構(gòu)示意圖

1.1 坐標(biāo)系的選取與運(yùn)動(dòng)學(xué)描述

(1)

即認(rèn)為未變形的“剛性”梁質(zhì)心與實(shí)際變形后的梁的質(zhì)心重合，姿態(tài)為變形梁的中性線的方向的平均值。

圖2 坐標(biāo)系與位形變量示意圖

1.2 連續(xù)體動(dòng)力學(xué)方程

當(dāng)考慮結(jié)構(gòu)變形對(duì)輸入的耦合作用時(shí)，如圖1(c)所示，需要對(duì)u?X(·,t)中的推力器和控制力矩陀螺兩類輸入項(xiàng)按照所在位置處的位形變量進(jìn)行變換。

記h、b、ρ、m和E分別為梁的厚度、寬度、密度、質(zhì)量和彈性模量，J為梁未變形情況下的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量?？紤]由梁結(jié)構(gòu)的幾何非線性引起的徑向彈性變形與橫向彈性變形的耦合，采用Hamilton原理，建立平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)與彈性運(yùn)動(dòng)耦合的空間太陽能電站動(dòng)力學(xué)模型。這里略去動(dòng)力學(xué)推導(dǎo)過程，直接給出整理后的動(dòng)力學(xué)模型。

x(t0)=[[rx0ry0θ0] [vx0vy0ω0]
[u0(·)w0(·)] [vu0(·)vw0(·)]]T
∈SE(2)×se(2)×XKn1/2×XK1/4

(2)

(3)

其中，動(dòng)力學(xué)方程式(2～3)中的相關(guān)符號(hào)、變量與變量所在空間、空間上的算子的說明如下。

1.2.1 符號(hào)說明

上標(biāo)“·”表示相應(yīng)變量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，上標(biāo)“T”表示轉(zhuǎn)置；、、、分別表示相應(yīng)指標(biāo)的Hilbert空間、Lebesgue可積函數(shù)空間、Banach空間、連續(xù)函數(shù)空間，其上的內(nèi)積與范數(shù)由自然的能量函數(shù)的二次型部分確定；Ker、Dom分別表示映射的零空間與定義域。

1.2.2 相關(guān)的變量與函數(shù)空間

動(dòng)力學(xué)方程式(2～3)中，狀態(tài)變量的各分量的定義及所屬函數(shù)空間為

xr=[rx|ry|θ]T∈2(t0,tf;SE(2),se(2),se*(2))

(4)

(5)

(6)

(7)

其中，SE(2)表示剛體位形空間的二維歐式變換群，se(2)與se*(2)分別是與SE(2)對(duì)應(yīng)的速度、角速度與力、力矩的李代數(shù)及其對(duì)偶空間，πSE(2)是與約束關(guān)系式(1)一致的自然投影映射

(8)

(9)

Banach函數(shù)空間的商群定義與Hilbert函數(shù)空間的情形類似。

(10)

這里，

(11)

(12)

通過映射πse*(2)對(duì)推力器與控制力矩陀螺產(chǎn)生的整體剛體運(yùn)動(dòng)效應(yīng)和局部彈性效應(yīng)進(jìn)行分解。即推力器與控制力矩陀螺輸出的“合”推力與力矩為

(13)

其中，

(14)

(15)

推力器與控制力矩陀螺輸出的“凈”應(yīng)力與彎矩為

(16)

其中，應(yīng)力與彎矩的內(nèi)部分量為

(17)

應(yīng)力與彎矩的邊界分量為

(18)

1.2.3 相應(yīng)的算子

與剛體運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的質(zhì)量矩陣為

Mr=diag(m,m,J)

(19)

(20)

動(dòng)力學(xué)方程中的1表示相應(yīng)空間上的單位映射，1的維數(shù)根據(jù)對(duì)應(yīng)元素確定，這里為了表達(dá)的簡(jiǎn)潔性統(tǒng)一表示為1。

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

GK[fx,fy,τ]T=[ux,uy]T

(26)

與

(27)

相互等價(jià)。借助GK，可以將非齊次邊界問題轉(zhuǎn)化為齊次邊界問題。

(28)

邊界微分算子的非線性部分

2.4 糖尿病患者握力與體格指標(biāo)、生化指標(biāo)的相關(guān)性分析 Pearson相關(guān)分析發(fā)現(xiàn)：無論是男性還是女性，糖尿病患者的握力與其BMI、腰圍、清蛋白、總蛋白、肌酐、NRI呈正相關(guān)（P＜0.05），與年齡、糖尿病病程、糖尿病并發(fā)癥數(shù)量、其他代謝性疾病數(shù)量、空腹血糖、餐后2 h血糖、胰島素抵抗指數(shù)呈負(fù)相關(guān)（P＜0.05）。見表2。

(29)

(30)

(31)

(32)

2 全柔性航天器邊界穩(wěn)定控制

對(duì)于梁結(jié)構(gòu)而言，邊界控制指執(zhí)行機(jī)構(gòu)安裝在梁的兩端。常見的彈性結(jié)構(gòu)邊界控制主要是通過速度反饋引入耗散項(xiàng)，依靠連續(xù)體動(dòng)力學(xué)的空間傳遞作用，使得彈性結(jié)構(gòu)振動(dòng)發(fā)生衰減。

2.1 邊界控制問題描述

全柔性航天器的邊界穩(wěn)定控制問題是指，給定初值x(t0)，通過設(shè)計(jì)基于狀態(tài)反饋的邊界穩(wěn)定控制器

u?X(·,t)=f(x(t))

(33)

即

使得動(dòng)力學(xué)控制系統(tǒng)(2～3)滿足

(34)

(35)

(36)

2.2 控制器設(shè)計(jì)

根據(jù)自由邊界梁在邊界處的平動(dòng)與轉(zhuǎn)動(dòng)速度，施加滿足全柔性航天器整體能量耗散關(guān)系的作用力與力矩，使得航天器按期望狀態(tài)運(yùn)行。根據(jù)動(dòng)力學(xué)方程，可以選擇控制律

(37)

(38)

(39)

(40)

其中，

(41)

(43)

(44)

CFL、CTL、CFR和CTR是相應(yīng)維數(shù)的控制參數(shù)矩陣。

2.3 穩(wěn)定性分析

全柔性航天器的能量泛函

(45)

當(dāng)選擇如式(37～44)所示的控制律時(shí)，求取能量泛函的時(shí)間導(dǎo)數(shù)

(46)

其中，當(dāng)且僅當(dāng)在由式(34)確定的相對(duì)平衡點(diǎn)處，等號(hào)成立。

因此，全柔性航天器在控制律式(37～44)作用下，收斂于相對(duì)平衡點(diǎn)。

3 數(shù)值仿真與分析

對(duì)全柔性航天器動(dòng)力學(xué)控制方程進(jìn)行數(shù)值仿真，以驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的邊界穩(wěn)定控制律的有效性。采用有限元方法對(duì)連續(xù)動(dòng)力學(xué)邊界控制系統(tǒng)進(jìn)行空間離散化，使用對(duì)角隱式Runge-Kutta方法對(duì)耦合的姿態(tài)分量和彈性運(yùn)動(dòng)分量進(jìn)行時(shí)間離散化，得到具有鞍點(diǎn)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的非線性代數(shù)方程組；再采用零空間法通過Newton-Krylov迭代方法求解鞍點(diǎn)問題。

3.1 數(shù)值仿真參數(shù)

全柔性航天器動(dòng)力學(xué)控制方程的相關(guān)仿真參數(shù)如表1所示。

表1 仿真參數(shù)值

對(duì)于給定的狀態(tài)初值，分別計(jì)算不施加控制與在t=60s時(shí)引入如式(37～44)所示的邊界控制作用2種情形下的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。

3.2 數(shù)值仿真結(jié)果

在t=60s時(shí)引入邊界控制作用時(shí)，全柔性航天器端點(diǎn)與中點(diǎn)位置的角速度曲線如圖3(a)、3(c)與3(b)中實(shí)線所示，位于兩個(gè)端點(diǎn)的沿軸向和橫向的推力器以及控制力矩陀螺的輸出如圖4(a)、4(b)及4(c)所示。

圖3 全柔性航天器端點(diǎn)與中點(diǎn)處的角速度曲線

圖4 全柔性航天器在邊界控制作用下的推力器與控制力矩陀螺輸出值曲線

3.3 仿真結(jié)果分析

由圖4發(fā)現(xiàn)，因?yàn)槿嵝院教炱鞯囊浑A撓度方向振動(dòng)在彈性運(yùn)動(dòng)中起主導(dǎo)作用，由邊界控制得到的兩端軸向推力器輸出的推力、控制力矩陀螺輸出的力矩相位相反，撓度方向的推力器輸出的推力相位相同。兩個(gè)端點(diǎn)處沿?fù)隙确较虻耐屏ζ鬏敵龅耐屏缀跸嗤?，說明全柔性航天器的低速旋轉(zhuǎn)整體運(yùn)動(dòng)對(duì)于局部彈性運(yùn)動(dòng)的影響不明顯。這里更關(guān)注的是軸向、橫向推力器輸出值的相對(duì)大小，由于仿真參數(shù)沒有對(duì)應(yīng)實(shí)物的尺寸與性能參數(shù)，在分析具體的被控對(duì)象時(shí)，需要考慮適當(dāng)?shù)某叨茸儞Q，以利用本文所給出的全柔性航天器邊界穩(wěn)定控制問題的分析與設(shè)計(jì)結(jié)果。

4 結(jié)論

通過直接對(duì)基于連續(xù)空間的考慮幾何非線性變形的全柔性航天器系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型設(shè)計(jì)基于能量耗散方法的邊界穩(wěn)定控制器，利用布置在全柔性航天器兩端的推力器和控制力矩陀螺實(shí)現(xiàn)了具有動(dòng)力剛化特點(diǎn)的非線性自由邊界彈性體的邊界穩(wěn)定控制。

邊界控制實(shí)現(xiàn)形式簡(jiǎn)單，適用于少數(shù)低階模態(tài)起主導(dǎo)作用的振動(dòng)抑制問題。對(duì)于低頻模態(tài)密集的超大型全柔性航天器，可能存在多個(gè)相對(duì)邊界撓度運(yùn)動(dòng)不敏感并且不能直接忽略的模態(tài)振型運(yùn)動(dòng)，需要考慮在連續(xù)彈性體邊界之內(nèi)增加執(zhí)行機(jī)構(gòu)，即采取內(nèi)部控制。