基于動(dòng)態(tài)罰函數(shù)的鐵路車流分配與徑路優(yōu)化模型

薛 鋒 ，劉泳博 ，戶佐安 ，陳逸飛

（1. 西南交通大學(xué)交通運(yùn)輸與物流學(xué)院，四川 成都 611756；2. 西南交通大學(xué)唐山研究生院，河北 唐山 063000；3. 西南交通大學(xué)綜合交通大數(shù)據(jù)應(yīng)用技術(shù)國(guó)家工程實(shí)驗(yàn)室， 四川 成都 611756）

路網(wǎng)的車流分配及徑路安排是鐵路運(yùn)輸組織的重要內(nèi)容，其優(yōu)化問(wèn)題主要是指在現(xiàn)有的路網(wǎng)環(huán)境、設(shè)施設(shè)備及貨流條件下，合理安排車流徑路，使車流在路網(wǎng)中的運(yùn)營(yíng)指標(biāo)到達(dá)最優(yōu). 鐵路車流分配優(yōu)化能夠在滿足運(yùn)輸需求的同時(shí)，確保路網(wǎng)中各設(shè)施設(shè)備協(xié)調(diào)配合，合理使用車流徑路，進(jìn)而提高整個(gè)路網(wǎng)的運(yùn)輸效率.

目前，不少學(xué)者對(duì)鐵路車流分配及徑路優(yōu)化問(wèn)題做過(guò)研究，并取得了豐碩的成果. 紀(jì)麗君等[1-3]基于多商品流理論建立了0-1 整數(shù)規(guī)劃車流分配與徑路優(yōu)化模型；嚴(yán)余松等[4]通過(guò)機(jī)會(huì)約束理論與車流量波動(dòng)，構(gòu)建了列車編組計(jì)劃與車流徑路綜合優(yōu)化模型；王文憲等[5]利用0-1 非線性規(guī)劃模型來(lái)解決重載直達(dá)車流的分配問(wèn)題；Upadhyay 等[6]基于動(dòng)態(tài)規(guī)劃理論優(yōu)化了列車徑路模型；Bornd?rfer 等[7]從戰(zhàn)略層面出發(fā)，在鐵路網(wǎng)建立了以運(yùn)行時(shí)間和延誤最小為目標(biāo)的非線性優(yōu)化模型；Yaghini 等[8]使用混合整數(shù)規(guī)劃模型求解列車徑路問(wèn)題；Khaled 等[9]以鐵路網(wǎng)為基礎(chǔ)，構(gòu)建了以系統(tǒng)總費(fèi)用最小為目標(biāo)函數(shù)的列車徑路優(yōu)化模型. 鐵路車流的分配屬于組合優(yōu)化中的NP-hard 問(wèn)題，目前的研究大多采用CPLEX、LINGO 等進(jìn)行求解[10]，雖有學(xué)者采用現(xiàn)代啟發(fā)式算法，如遺傳算法、模擬退火算法等，但這些算法在求解的質(zhì)量和算法參數(shù)控制方面各有差異，當(dāng)遇到難約束問(wèn)題時(shí)，算法初始解難以產(chǎn)生，影響算法的求解效率. 2014 年Mirjalili 等[11]提出灰狼優(yōu)化算法（grey wolf algorithm，GWO）. 該算法通過(guò)模擬狼群捕食獵物過(guò)程求解優(yōu)化問(wèn)題，具有原理簡(jiǎn)單、可調(diào)參數(shù)少、容易實(shí)現(xiàn)且全局搜索能力強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)，在函數(shù)尋優(yōu)、機(jī)器學(xué)習(xí)等方面得到了有效應(yīng)用[12]，但目前很少有學(xué)者用該算法求解鐵路車流分配及徑路優(yōu)化問(wèn)題.

本文在文獻(xiàn)[2]的基礎(chǔ)上，引入虛擬弧和動(dòng)態(tài)多段映射懲罰函數(shù)對(duì)模型進(jìn)行改進(jìn)，優(yōu)化其約束條件，解決模型中的難約束問(wèn)題，使模型在應(yīng)對(duì)不可行流時(shí)更加靈活. 同時(shí)，運(yùn)用佳點(diǎn)集理論對(duì)傳統(tǒng)灰狼算法初始種群的生成進(jìn)行改進(jìn)，并設(shè)計(jì)收斂因子的非線性變化策略，形成一種改進(jìn)的灰狼算法（improved gray wolf algorithm，IGWO），用于求解基于動(dòng)態(tài)罰函數(shù)的鐵路車流分配及徑路優(yōu)化模型.

1 鐵路車流分配的基本模型

1.1 基本模型的描述

鐵路車流分配問(wèn)題與多商品流問(wèn)題類似，即鐵路的每股車流視為一種商品，那么鐵路網(wǎng)中所有車流的分配問(wèn)題可以將其視為多種商品的網(wǎng)絡(luò)配流問(wèn)題[1]. 鐵路車流分配問(wèn)題的本質(zhì)是在滿足路網(wǎng)約束條件的前提下，以最小的成本將車流分配到路網(wǎng)中. 因此，基于多商品流的鐵路車流分配及徑路優(yōu)化基本模型通常以貨物走行公里為目標(biāo)函數(shù)，結(jié)合鐵路路網(wǎng)的線路能力要求、車流不可拆散原則等構(gòu)建約束條件. 圖1 是由5 個(gè)車站構(gòu)成的簡(jiǎn)化網(wǎng)絡(luò)，以此為基礎(chǔ)描述鐵路車流分配及徑路優(yōu)化基本模型的特點(diǎn). 假定技術(shù)站1 到技術(shù)站5 的車流量OD （origindestination）為8 （單位：車），各弧段參數(shù)為(B，M)，B為弧段容量，M為弧段里程，車流的繞行距離不得超過(guò)最短距離的兩倍.

圖1 簡(jiǎn)化路網(wǎng)Fig. 1 Simplified railway network

如圖1 所示，從技術(shù)站1 到技術(shù)站5 的路徑有4 條（1→2→5，1→3→5，1→5，1→4→5），其中，路徑1→5 盡管為最短路徑，但不滿足弧段容量的約束，路徑1→2→5 滿足弧段容量約束，但不滿足車流的繞行距離的限制. 因此，可行路徑為1→3→5，1→4→5. 考慮以貨物走行公里最小為目標(biāo)，最優(yōu)的車流徑路為1→3→5. 需要注意的是，在車流分配的過(guò)程中，必須滿足同一支車流不拆散的原則.

1.2 基本模型的假設(shè)和相關(guān)參數(shù)

考慮鐵路車流分配及徑路優(yōu)化問(wèn)題的完整性和簡(jiǎn)潔性[2]，基本模型包含如下假設(shè)：

1） 模型目標(biāo)函數(shù)僅考慮貨物在弧段中能力的約束，不考慮通過(guò)支點(diǎn)站的走行、改編和能力限制；

2） 每支車流在通過(guò)支點(diǎn)站時(shí)流量不發(fā)生變化.

鐵路網(wǎng)簡(jiǎn)化為無(wú)向圖G=(V,E) ，V為站點(diǎn)的集合，E為弧段的集合. 站點(diǎn)i，j，s，t∈V，弧段 (s,t)∈E.Ni,j為始發(fā)站i到終點(diǎn)站j的車流量；Bs,t為弧段(s,t)的通過(guò)能力（單位：車）；M(s,t)為弧段(s,t)的里程（單位：km）. 引入0-1 型決策變量yij,st表示車流Ni,j是否經(jīng)過(guò)弧段(s,t)，即

1.3 基本模型的構(gòu)建

根據(jù)鐵路車流的不可拆分原則，考慮線路能力、運(yùn)輸服務(wù)水平等約束，以車流的總走行里程最小為目標(biāo)，基于多商品流模型構(gòu)建鐵路車流分配及徑路優(yōu)化基本模型P 如式（1） ～ （5）所示.

式中：Z為路網(wǎng)中所有車輛總的走行里程；Dij為車流Ni,j在沒(méi)有能力限制下通行的最短距離；λ為最大繞行率，且 λ ≥1 .

式（1）為目標(biāo)函數(shù)，表示路網(wǎng)中所有車輛總的走行里程最小. 式（2） ～ （5）為約束條件，式（2）體現(xiàn)了路網(wǎng)中的同一支車流不可拆分原則，式（3）為經(jīng)過(guò)路網(wǎng)中的每個(gè)支點(diǎn)站的流量守恒約束，式（4）為路網(wǎng)中的弧段能力限制的約束，式（5）為運(yùn)輸服務(wù)水平約束，此處主要考慮走行距離，設(shè)置該約束可以避免少數(shù)車輛過(guò)度繞行.

2 基于動(dòng)態(tài)罰函數(shù)的改進(jìn)模型

鐵路車流分配按照運(yùn)輸組織原則將多支車流分配到給定的路網(wǎng)中，包含具有NP-hard 特性的多商品流結(jié)構(gòu)[13]，屬于帶容量約束的徑路問(wèn)題（capacitated vehicle routing problem，CVRP）[14]. 為方便對(duì)CVRP 問(wèn)題的求解，需要對(duì)模型進(jìn)行針對(duì)性的改進(jìn)，優(yōu)化約束條件.

2.1 懲罰函數(shù)對(duì)模型的改進(jìn)

懲罰函數(shù)具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、參數(shù)少的優(yōu)點(diǎn)，是解決約束優(yōu)化問(wèn)題的一種有效方法. 借助懲罰函數(shù)可以將難約束吸收到目標(biāo)函數(shù)中，便于問(wèn)題求解[15]. 其懲罰策略為：對(duì)在無(wú)約束的求解過(guò)程中企圖違反約束的迭代點(diǎn)給予很大的目標(biāo)函數(shù)值，迫使無(wú)約束的迭代點(diǎn)向可行域靠近，或者一直保持在可行域內(nèi)移動(dòng)，直到收斂到原來(lái)約束最優(yōu)化的極小值點(diǎn).

分析模型P 可知，路網(wǎng)的弧段能力約束式（4）是問(wèn)題的難約束，參考文獻(xiàn)[15]，并結(jié)合懲罰函數(shù)的思想，將弧段(s,t)分為真實(shí)弧和虛擬弧，并定義新的決策變量wij,st，若車流由于弧段能力限制，只能選擇弧段(s,t)的虛擬弧運(yùn)行，則wij,st取1，否則取0. 把新定義的變量加到目標(biāo)函數(shù)中，構(gòu)造增廣目標(biāo)函數(shù)：

式中：Z1為車流在真實(shí)弧中總的走行里程；σH(wij,st)為懲罰項(xiàng)，其中， σ 為懲罰力度，H(wij,st) 為懲罰因子.

當(dāng)分配的車流滿足弧段的容量約束時(shí)，虛擬弧上沒(méi)有分配流量，H(wij,st) =0 ，目標(biāo)函數(shù)不受額外懲罰；當(dāng)分配的車流不滿足弧段的容量約束，需要在虛擬弧上分配流量，此時(shí)H(wij,st) ＞0 ，目標(biāo)函數(shù)受額外懲罰； σH(wij,st) 越大，懲罰越重. 要使Z極小，H(wij,st)應(yīng)該充分小，當(dāng)其趨近于0 時(shí)，Z的極小值逼近了Z1的極小值. 于是，有容量約束的鐵路車流分配及徑路優(yōu)化問(wèn)題即轉(zhuǎn)化成了沒(méi)有容量約束的優(yōu)化問(wèn)題. 基于懲罰函數(shù)的鐵路車流分配及徑路優(yōu)化模型Q 如式（7）所示.

2.2 懲罰項(xiàng)的動(dòng)態(tài)更新策略

2.2.1 懲罰力度的更新

在懲罰函數(shù)的應(yīng)用過(guò)程中，需要選擇合適的懲罰力度. 若懲罰力度過(guò)小，則會(huì)大大降低懲罰項(xiàng)對(duì)目標(biāo)函數(shù)的影響，導(dǎo)致算法搜索時(shí)間作用于不可行域，嚴(yán)重影響算法求解效率；如果懲罰力度太大，則會(huì)造成增廣目標(biāo)函數(shù)Z過(guò)大，趨于病態(tài)，也會(huì)給模型的求解造成很大困難，甚至無(wú)法求解. 因此，選取合適懲罰力度的更新策略對(duì)算法的求解非常關(guān)鍵.

懲罰力度在優(yōu)化過(guò)程中的變化依賴于當(dāng)前群體中可行解所占的比例[16]，本文在文獻(xiàn)[16]基礎(chǔ)上提出一種動(dòng)態(tài)調(diào)整懲罰因子的策略. 第k次迭代過(guò)程中，懲罰力度的更新規(guī)則為

式中： ρk為在第k次迭代過(guò)程中，滿足弧段容量約束的個(gè)體所占種群數(shù)量的比值.

懲罰力度的更新規(guī)則具有以下性質(zhì)：

1） 函數(shù)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，其參數(shù)不需要人為調(diào)整.

2） σk隨著種群中可行解的比例而變化，種群中的可行解比例高，則 σk較??；反之，種群中的可行解比例低，則 σk較大. 該函數(shù)的初值并不是人為給出，是由當(dāng)前種群的狀態(tài)決定.

3） 在算法優(yōu)化的過(guò)程中，如果 σk較大，則會(huì)有更多的可行解進(jìn)入種群，此時(shí)的 σk將會(huì)隨之減??；反之，如果 σk較小，則會(huì)有更多的不可行解進(jìn)入種群， σk也將會(huì)隨之增大. 由此可以看出，本文設(shè)計(jì)σk的更新函數(shù)是動(dòng)態(tài)的，自適應(yīng)的.

4） 在可行解的比值 ρk從0 變化到1 的過(guò)程中，前期 σk急劇減小，后期 σk減小緩慢，如此可以使算法從搜索可行解的過(guò)程中快速轉(zhuǎn)移到最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)的搜索.

5） 式（8）中的 ( 2k-1)/k是值域?yàn)閇1, 2)的增函數(shù)，這樣設(shè)計(jì)可以在算法迭代的初期降低懲罰函數(shù)的影響，從而保留較多的不可行解來(lái)增加種群的多樣性，在后期增加懲罰函數(shù)的影響，從而保留較多的可行解來(lái)確保目標(biāo)函數(shù)的尋優(yōu).

2.2.2 懲罰因子的更新

通過(guò)非固定階段映射懲罰力度的方法可以解決約束優(yōu)化問(wèn)題，避免固定罰函數(shù)中懲罰因子難以確定的缺陷[17]. 基于該思路，結(jié)合文獻(xiàn)[17]的多階段映射罰函數(shù)的表達(dá)式，對(duì)優(yōu)化模型Q 中的懲罰因子修正為

式中：q為對(duì)容量約束的違背程度，其值等于虛擬弧中總車流量與真實(shí)弧中總車流量的比值，如式（10）所示；b為懲罰函數(shù)的強(qiáng)度大小，如式（11）所示；θ為分段映射函數(shù)，通過(guò)和真實(shí)弧的流量對(duì)比確定多階段映射罰函數(shù)各個(gè)區(qū)間的函數(shù)值，如式（12）所示.

3 灰狼算法的改進(jìn)

3.1 GWO

3.1.1 狼群的社會(huì)等級(jí)

灰狼算法在迭代過(guò)程中，根據(jù)適應(yīng)度值的大小，將狼群劃分 α 、 β 、 δ 、ω4 個(gè)等級(jí)，其中， α 、 β 、 δ 為適應(yīng)度值排名前3 的頭狼，剩余的狼群為ω. 計(jì)算過(guò)程中，狼群ω實(shí)現(xiàn)整個(gè)算法的尋優(yōu)過(guò)程，3 只高等級(jí)的狼 α 、 β 、 δ 被假設(shè)擁有獲取獵物位置的潛在能力，共同指揮狼群ω的移動(dòng)，然后狼群ω將信息反饋給上層的3 只狼，由他們決定是否需要更新信息. 當(dāng)達(dá)到算法的迭代次數(shù)時(shí)， α 、 β 、 δ 分別對(duì)應(yīng)所求解問(wèn)題的最優(yōu)解、次優(yōu)解、次次優(yōu)解.

3.1.2 狼群的捕食過(guò)程

狼群捕食過(guò)程分為包圍獵物和攻擊獵物，狼群先通過(guò)包圍獵物尋找到進(jìn)行狩獵的最佳路線，然后對(duì)獵物進(jìn)行攻擊，最后達(dá)到捕食獵物的目的. 狼群的捕食過(guò)程用式（13） ～ （15）進(jìn)行描述.

式中：X1,k、X2,k、X3,k分別為狼群ω相對(duì)3 只頭狼 α 、 β 、δ在第k次迭代時(shí)的位置向量；Xm,k為頭狼m在第k次迭代時(shí)的位置向量，m∈{α，β，δ}；Dm為頭狼m到狼群ω間的距離；Xk為第k次迭代時(shí)狼群ω的位置向量；Am、Cm為系數(shù)向量，分別為

其中：r1、r2為隨機(jī)向量，且0≤ |r1| ≤1，0≤ |r2| ≤1；ak= 2(1-k/K)，為收斂因子，K為最大迭代次數(shù).

3.2 IGWO

3.2.1 初始種群的優(yōu)化

對(duì)群智能算法而言，初始種群的好壞影響算法的求解效率和性能，多樣性較好的初始種群有助于提高群智能算法的尋優(yōu)能力. 根據(jù)文獻(xiàn)[18]可知：均勻取點(diǎn)能夠較好地保證初始種群的多樣性，并且佳點(diǎn)集序列的取點(diǎn)方式比其他方式的取點(diǎn)更為均勻. 但是，GWO 在形成初始種群的過(guò)程中是通過(guò)隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生，無(wú)法保證初始種群的個(gè)體在搜索空間中均勻分布. 因此，為克服這一不足，本文采取佳點(diǎn)集序列的方式對(duì)GWO 初始種群的形成進(jìn)行優(yōu)化. 圖2 給出了隨機(jī)序列和佳點(diǎn)集序列在二維搜索空間(x,y) （ 1 00×100 ）中生成的100 個(gè)個(gè)體的初始種群分布. 從圖2 可以看出：佳點(diǎn)集方式形成的初始種群個(gè)體分布更加均勻，并且具有較好的多樣性.

圖2 兩種方式下初始種群的分布Fig. 2 Distribution of initial population in two modes

3.2.2 收斂因子的改進(jìn)策略

在GWO 算法中，隨著算法的不斷迭代，收斂因子ak從2 線性遞減至0. 但是，線性變化的收斂因子不能很好地平衡算法的全局搜索能力和局部搜索能力[19]. 對(duì)此，本文根據(jù)余弦函數(shù)前期下降慢后期下降快的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)一種基于余弦函數(shù)的收斂因子，如式（18）所示.

ak隨著迭代次數(shù)呈非線性遞減. 在迭代初期，ak下降較慢，算法保持較大的搜索步長(zhǎng)，可以更好地尋找全局最優(yōu)解；而到了后期，ak下降較快，搜索步長(zhǎng)快速減小，從而使狼群更加集中，能夠更加精確地尋找到局部最優(yōu)解.

4 求解改進(jìn)模型的IGWO 算法設(shè)計(jì)

4.1 編碼策略

本文提出的IGWO 采用先路由后分組的策略生成多支車流的可行路徑集，為了滿足式（2）、（3），采用整數(shù)編碼，編碼規(guī)則為：將狼群中的第e個(gè)灰狼個(gè)體的位置向量Xe與各支車流序號(hào)形成映射關(guān)系，Xe= (xe,1,xe,2,···,xe,p,···,x1,n)，xe,p為第e個(gè)灰狼個(gè)體第p個(gè)OD 車流在其所在的可行路徑集中選擇的徑路編號(hào)，p= 1，2， · ··,n，n為OD 車流個(gè)數(shù)，然后按照車流的順序依次訪問(wèn)所對(duì)應(yīng)的可行路徑集，可行路徑集的大小由式（5）決定，每支車流在其所在的路徑集中有且只能選擇一條徑路. 具體的編碼操作如圖3 所示，圖中：mp為第p個(gè)OD 車流的可行路徑集中的徑路個(gè)數(shù)；x1,x2,···,xn為灰狼位置分量.

圖3 編碼操作Fig. 3 Encoding operation

4.2 求解步驟

IGWO 在求解模型Q 的步驟如圖4 所示.

圖4 IGWO 在求解模型Q 的流程Fig. 4 Flowchart of IGWO solving model Q

5 算例分析

5.1 基礎(chǔ)數(shù)據(jù)

本文采用模擬的車流OD 數(shù)據(jù)，在區(qū)域鐵路網(wǎng)[2]上對(duì)模型和算法進(jìn)行驗(yàn)證. 模型涉及的站點(diǎn)和弧段的鄰接關(guān)系如圖5 所示，該路網(wǎng)由14 個(gè)支點(diǎn)站和20 條弧組成.

圖5 某區(qū)域簡(jiǎn)化路網(wǎng)Fig. 5 Simplified railway network of a certain area

路網(wǎng)其他屬性參數(shù)、各區(qū)段之間的里程以及線路的容量見(jiàn)表1. 線路的容量為該弧段上、下行車流年通過(guò)能力的總和，20 支模擬車流OD 量及發(fā)到站見(jiàn)表2.

表1 路網(wǎng)相關(guān)參數(shù)Tab. 1 Railway network parameters

表2 年車流OD 量Tab. 2 Annual OD volume of cargo flow

5.2 模型求解

基于上述路網(wǎng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)，在處理器為i7-7 700 HQ 四核2.8 GHz 的個(gè)人計(jì)算機(jī)上，使用MATLAB 2018 進(jìn)行編程求解. 算法的參數(shù)設(shè)置如下：種群規(guī)模為80，最大迭代次數(shù)為100 次，最大繞行率為2.經(jīng)過(guò)37 s 的計(jì)算，各支車流優(yōu)化后的走行徑路如表3所示. 在20 支OD 車流中，按最短徑路運(yùn)輸?shù)挠? 支車流，分別為N7,14、N10,3、N2,12、N14,5、N10,1、N14,5，其余車流因?yàn)榫€路容量的限制均發(fā)生了不同程度的繞行.

5.3 結(jié)果分析

5.3.1 弧段容量限制檢驗(yàn)

為驗(yàn)證表3 中的最佳配流方案是否滿足容量的約束，需要對(duì)各個(gè)弧段的流量進(jìn)行統(tǒng)計(jì). 經(jīng)計(jì)算，各弧段的通過(guò)車流量及其通過(guò)能力占用情況如表4 所示. 在表4 中，部分弧段的能力利用率高達(dá)90%以上，如弧段(2,6)、(5,8)、(13,14)、(8,10)，而弧段(4,5)、(5,6)、(9,12)的能力利用率低于50%，并且所有弧段車流的通過(guò)量均小于弧段能力的上限，滿足模型中弧段容量限制約束.

表3 車流徑路的優(yōu)化方案Tab. 3 Optimization scheme of cargo flow route

表4 區(qū)間通過(guò)流量統(tǒng)計(jì)Tab. 4 Interval traffic statistics

5.3.2 改進(jìn)前后模型的結(jié)果對(duì)比分析

為驗(yàn)證動(dòng)態(tài)懲罰函數(shù)對(duì)模型求解的影響，應(yīng)用GWO 和IGWO 分別對(duì)改進(jìn)前、后的模型進(jìn)行求解，對(duì)其求解10 次，并取車流總走行公里的均值，結(jié)果如表5 所示.

表5 改進(jìn)前后模型的車流總走行公里Tab. 5 Cargo flow kilometers before and after improving model

從表5 可以看出：由于模型P中包含的弧段容量約束的限制，直接用GWO 和IGWO 難以在限定范圍內(nèi)找到可行解，這說(shuō)明，群智能算法在直接求解難約束問(wèn)題時(shí)有著自身的局限性.

對(duì)模型進(jìn)行約束優(yōu)化后，通過(guò)GWO 和IGWO可以求得滿足約束條件的可行解，這說(shuō)明本文基于懲罰函數(shù)提出的約束優(yōu)化策略，克服了群智能算法在求解難約束問(wèn)題時(shí)的局限性，并且可以應(yīng)用于CVRP 問(wèn)題的求解.

5.3.3 算法的性能分析

1） 解的質(zhì)量

本文選取20 個(gè)OD 車流徑路的平均繞行率、選擇最短路徑的OD 個(gè)數(shù)以及目標(biāo)函數(shù)作為衡量?jī)煞N算法解的質(zhì)量指標(biāo)，結(jié)果如表6 所示.

表6 兩種算法的質(zhì)量指標(biāo)Tab. 6 Quality metrics for two algorithms

從表6 可以看出：相比于GWO，IGWO 路徑平均繞行率下降了2.6%，車流總走行公里下降了5.2%，且IGWO 選擇最短路徑的OD 數(shù)也多于GWO.

2） 收斂性能

如圖6 所示，IGWO 在算法迭代的初期就開(kāi)始收斂，在第13 代的時(shí)候達(dá)到最優(yōu)，其收斂速度與求解的結(jié)果均優(yōu)于GWO.

圖6 GWO 和IGWO 的求解示意Fig. 6 Solution illustration of GWO and IGWO

綜上，本文提出的初始種群和收斂因子的改進(jìn)策略在一定程度上避免了GWO 容易陷入局部最優(yōu)的不足，使其在解空間的搜索能力上有了較大提高.

6 結(jié) 論

本文引入動(dòng)態(tài)更新的懲罰函數(shù)對(duì)鐵路車流分配及徑路優(yōu)化模型中的弧段容量約束進(jìn)行優(yōu)化，并設(shè)計(jì)改進(jìn)灰狼算法對(duì)其進(jìn)行求解，通過(guò)算例驗(yàn)證，得到以下結(jié)論：

1） 通過(guò)弧段容量限制的檢驗(yàn)分析發(fā)現(xiàn)，本文基于懲罰函數(shù)提出的改進(jìn)模型求得的配流方案滿足弧段容量約束.

2） 通過(guò)對(duì)改進(jìn)前后模型的結(jié)果分析發(fā)現(xiàn)，本文提出的對(duì)容量約束進(jìn)行優(yōu)化的策略可以有效解決GWO 無(wú)法處理難約束問(wèn)題的不足，使其可以在限定的條件下找到滿足約束條件的可行解.

3） 通過(guò)GWO 和IGWO 分別對(duì)改進(jìn)后的模型進(jìn)行求解可知，與GWO 的求解結(jié)果相比，IGWO 求得的配流方案使OD 車流的平均繞行率下降了2.6%，貨物走行公里數(shù)下降了5.2%，并且收斂速度也優(yōu)于GWO，從而體現(xiàn)了本文所提出的對(duì)GWO 改進(jìn)策略的有效性.