實施“呈題五化”法，培養(yǎng)初中學生數(shù)學求異思維能力
——基于素質(zhì)教育下數(shù)學“兩極分化”現(xiàn)象的應對策略探究

蔣 萍

在大力提倡素質(zhì)教育的今天，減少義務教育階段學生的“校內(nèi)作業(yè)”和“校外補課”負擔、減少“兩極分化”、要求學生全面發(fā)展，已成為全社會共識。然而人是具有個性差異的，同樣的學習內(nèi)容和學習要求對不同的人的負擔是完全不一樣的。所以說，面對當前存在的初中學生數(shù)學的“學習負擔”越來越重而班級成績“兩極分化”愈演愈烈的情況，不僅要治標更要治本。

研究表明，求異思維具有流暢性、多端性、靈活性、精細性、新穎性等特點；學生求異思維能力的高低，不僅對數(shù)學問題的解決有著直接的影響，更是對減輕學生的“學習負擔”、減少“兩極分化”有著舉足輕重的作用。在數(shù)學學習的過程中，學習者與眾不同的探求思路，別具一格的思考方法，靈活多變的解題技巧，就是學習者求異思維的發(fā)展，就是內(nèi)驅(qū)力涌發(fā)的標志，就是體現(xiàn)創(chuàng)新素質(zhì)的萌芽，就是撇開學習負擔的基礎。教師可通過培養(yǎng)學生具有舉一反三的數(shù)學求異思維的能力，使學生感覺做數(shù)學題目是輕松的，學習數(shù)學是快樂的。

要達到上述目的，數(shù)學題目的教學呈現(xiàn)尤其重要。筆者在初中數(shù)學課堂教學中，借助“呈題五化”法培養(yǎng)學生的數(shù)學求異思維，從而減輕學生“學習負擔”、減少班級“兩極分化”。

一、 題目設置梯度化，誘導求異，拓展流暢思維，減輕淤堵壓力

學生的求異思維是以其創(chuàng)造性思維作基礎的，而創(chuàng)造性思維是強調(diào)個體差異的智力品質(zhì)。由于各人的創(chuàng)造能力不同，所以對同一個數(shù)學問題所表現(xiàn)的創(chuàng)造性精神也不同。題目設置梯度化，一題多變，步步推進，可大大增強學生對解決問題思維的流暢性。梯度化題型所催生的思維慣導作用能減輕學生的解題壓力，使各層次的學生在問題解決的遨游過程中均有收獲。

已知在△中，=，∠=，求∠的度數(shù)(應用三角形內(nèi)角和性質(zhì))。

變形1：已知△中，=，∠是∠的補角?！?，求底角∠的度數(shù)(應用等腰三角形性質(zhì)和三角形外角性質(zhì))。

變形2：在等腰△中，若∠=40°，則∠=度(按∠、∠和∠是頂角時的三種情況分類討論)。

學生的求異思維，難度在于解決數(shù)學問題時的思維淤堵。設置的題目采取梯度形式，如本例，從基礎到變形1再到變形2，步步加深，在避免習題“一覽無余”的同時始終以一種“慣性”牽引著學生解決問題中的思維。這種促進以學生主動參與學習輔以教師指導為學習方式，設置最近發(fā)展區(qū)，誘導求異，暢通思維，避免淤堵，形成了一種有利于再創(chuàng)造的求異思維情境，在無形中減輕了學生的學習負擔。

二、 典型知識題組化，串珠成絡，構建多端思維，提高求異能力

數(shù)學問題的求異能力，不僅需要學生有相當?shù)闹R積累，而且能將這些知識在大腦中按自己特定的而又是科學合理的方式儲蓄，構建的多端集中思維能在知識應用時自由地選擇、提取、組合。在初中數(shù)學課堂教學中，教師將重要的、典型的知識題組化，串珠成絡，幫助學生解決問題思維的多端出擊，不僅便于學生發(fā)現(xiàn)和接受新知識，更能方便學生疏通、排查，提高其求異能力，從根本上減輕學生的學習負擔。

關于非負數(shù)的題組，使非負數(shù)的性質(zhì)展現(xiàn)無遺。

由上面例子可知：把零散的知識按一定解題規(guī)律串成網(wǎng)絡狀，形成了良好的知識組塊，有利于學生在數(shù)學問題的解決過程中產(chǎn)生多端的思維向認知結(jié)構的同化邁進，是減輕學生認知負擔的有效方法，也是促進學生形成求異思維的必要條件。

三、 探究方法多樣化，百花齊放，引發(fā)靈動思維，增進解題活力

初中學生注意力高度集中的時間短，半節(jié)課后就會出現(xiàn)疲勞癥狀，效率下降；還有，初中學生的成就欲不高，稍有成就就容易表現(xiàn)出滿足狀，這是形成數(shù)學“兩極分化”的原因之一。如果能經(jīng)常要求學生做到一題多解，采取獨立思考與兩人小組(四人小組)討論相結(jié)合的方式，有啟發(fā)、有爭論，有效地轉(zhuǎn)換大腦興奮點，激活腦細胞，實現(xiàn)多角度多方位地觀察、歸納、猜想，就能增加解題活力，也能減輕學生的學習負擔。

如2022年4月本?！皩W情診斷”七年級期中數(shù)學第16題：已知9=25=15，則代數(shù)式(-1)(-1)++3的值是。

對七年級學生而言，這個題目是有點難度的，多數(shù)學生初看此題感覺一時無從下手，但在經(jīng)過短暫的自慮、討論，很快有同學根據(jù)性質(zhì)“若≠0，=，則=”得到方法一：

由已知得32=52=3×5，∴32-1=5，52-1=3，∴(52-1)2-1=5，∴(2-1)(2-1)=1，∴+=2，∴原式=2-(+)+4=4。

接著，靈動的思維出現(xiàn)了。據(jù)此，很快有同學類推，得到方法二：

由已知得32=52=3×5，∴32-1=5，52-1=3，∴(32-1)2-1=3，∴(2-1)(2-1)=1，即+-2=0，∴原式=2-(+)+4=4。

到這里，學生的思維更加活躍，有學生提出，既然有性質(zhì)“若≠0，=，則=”，那么可否得到“若≠0，=，則=，即=”這樣的結(jié)論？老師當即指出，這里要增加“≠0”這個條件；于是又有了方法三：

設9=25=15=，則9=，25=，又∵+=·，∴+=9×25=15，又∵=15，∴2=15，∴+=2，∴+=2，∴原式=2-(+)+4=4。

這里的一題多探，不但激活了與問題相關的各知識點，而且學生通過活躍的觀察、嘗試、猜想等活動，在目的性、相似性、和諧性和批判性等指向原則指導下，形成解決問題方法的宏觀判斷，實現(xiàn)了學生已有知識、經(jīng)驗與問題情境的同化，不僅提高了問題探索的興趣，增加了解題的活力，而且減輕了學生學習的畏懼心理。

四、 呈題訓練三步化，鼓勵猜想，誘導精細思維，凝聚參與動力

數(shù)學的猜想是誘導學生精細思維的極好途徑，是思維登高的梯子。筆者對解題訓練按“讀、講、解”三步施行，誘導學生人人參與，使得學生個個都是學習的主體。

讀題：全體學生一起讀題，理解題意。從已知條件結(jié)合圖形，一步一步探究，尋找隱含條件，分門別類列舉在屏幕(黑板)上。

講題：四人(兩人)小組討論，大膽猜想，大步驟思維、判斷，選擇解題方向，同時發(fā)揮優(yōu)等生的“領頭雁”作用，調(diào)動困難學生的思維積極性，共同探討解題途徑，制訂解題策略。

解題：根據(jù)邏輯性和嚴密性原則，各人用數(shù)學語言表達完整的解題過程、方法。

已知是⊙的直徑，是延長線上的任意一點，切⊙于，⊥于，求證：∠=∠。

讀題(把重點內(nèi)容、關鍵詞畫線或板書)：

(1)是⊙的直徑，若連接，則△是直角三角形。直角三角形中兩銳角互余、勾股定理、射影定理能否使用……

(2)是⊙的切線，那么切線性質(zhì)……、弦切角性質(zhì)……

(3)是切線，是割線，那么切割線定理……

(4)弦⊥直徑，那么垂徑定理……

講題(大膽猜想，窮舉可能)：

生1：連接，則是Rt△斜邊上的高線，得出∠=∠，又由是圓的切線得∠=∠，∴∠=∠。

生1

生2

生2：連接，∵=，∴∠=∠，由是圓的切線得∠與∠互余，而∠與∠互余，∴∠=∠。

生3：延長交⊙于，連接，則由垂徑定理得∠=∠，而由切線得∠=∠，∴∠=∠。

生3

生4

生4：過點作⊙的切線與交于，則=，∴∠=∠，又∵∥，∴∠=∠，∴∠=∠。

生5：過點作⊥，連接，則∥，∴∠=∠，而∠=∠，∴∠=∠，∴∠=∠。

生5

解題：由學生自行完成(略)。

實行“讀、講、解”三步式析題，改變了老師說、學生聽或者是優(yōu)等生說、學困生聽的局面(對數(shù)學成績欠理想的同學，能說上一句、一點，都是進步，都可得到表揚)。人人參與題目的解讀，集思廣益，在參與過程中加強了學生思維的開放性和探索性，使學生的求異思維得到發(fā)展，個體參與的動力得到了凝聚與培養(yǎng)。

五、 展示數(shù)學美麗化，陶冶情操，激活新穎思維，驅(qū)發(fā)內(nèi)部學力

大千世界，數(shù)學花園風景獨異，教師在課堂上有意識地展示數(shù)學美，能給學生一種數(shù)學學習的享受感，使學生內(nèi)心有一種“想要學”的欲望。

例如，初三幾何中的“黃金分割”是數(shù)學美的典型，而三角形的“四心”更是數(shù)學美的體現(xiàn)：

內(nèi)心：三角形三內(nèi)角平分線的交點；

外心：三角形三邊垂直平分線的交點；

垂心：三角形三邊的高線的交點；

重心：三角形三邊的中線的交點。

愛美之心人皆有之，教師在講解類似的題目時，不可單純地為了解題而講題，應極力地滲透數(shù)學的美，激活學生的新穎思維，陶冶學生美的情操：

再看下面這組填空題，在空格處填以下4個之一：內(nèi)心、外心、垂心、重心：

(1)銳角三角形的內(nèi)心是它的切點三角形(即三個切點所組成的三角形)的心；

(2)銳角三角形的外心是它的中點三角形(即三邊的中點所組成的三角形)的心；

(3)銳角三角形的垂心是它的垂足三角形(即三邊高線的垂足所組成的三角形)的心；

(4)銳角三角形的重心是它的中點三角形(即三邊的中點所組成的三角形)的心。

學生進行分析：

(1)因為三角形的內(nèi)心是其內(nèi)切圓的圓心，、、為切點，如圖1，則==，根據(jù)定理“到一條線段的兩個端點的距離相等的點在這條線段的垂直平分線上”得：點在線段、、的垂直平分線上，故點是△三邊的中垂線的交點，故點是切點△的外心。

圖1

(2)如圖2，是△的外心，即是△三邊垂直平分線的交點，所以、、分別是△三邊的中點，所以∥、∥、∥，再由⊥、⊥、⊥可得、、分別垂直于、、，故是△三邊上的高線的交點，所以點是中點△的垂心。

圖2

(3)設是△的垂心，、、分別是垂足，如圖3，由∠=∠=90°得四邊形內(nèi)接于一個圓，由同弧得∠=∠，又由∠=∠=90°得四邊形內(nèi)接于圓，由同弧得∠=∠，所以∠=∠，所以是∠的平分線，所以可推得是△三內(nèi)角平分線的交點，所以是垂足△的內(nèi)心。

圖3

(4)如圖4，是△的重心，所以、、分別是△三邊的中點，所以∥，所以=，再由重心定理得=2，所以可得=2，于是可推得點是△的重心。

圖4

請看：三角形的內(nèi)心是它的切點三角形的外心；三角形的外心是它的中點三角形的垂心；三角形的垂心是它的垂足三角形的內(nèi)心。——這是一個多么美妙的循環(huán)??！它具有運動美，又具有形象美；它的美既顯得自然(循環(huán)的自然)，又顯得奇異(自然的循環(huán))。而重心，是物體的固有屬性，設想一下：若自然界的物體，其重心隨意變換，則我們的生活將會變得怎樣？……生活都亂套了!數(shù)學中亦是如此，三角形的重心是它的中點三角形的重心，它始終保持著生活中物體的重心規(guī)律。

學生感覺：這是多么典型的奇異美啊！細細品味，定會拍案叫絕，使人感到學習三角形的“四心”完全是一種美的享受，更不用提什么學習負擔了。

六、 結(jié)語

總之，初中學生在素質(zhì)教育的大背景下仍然面臨著升學的壓力，結(jié)合“教育要面向世界、面向未來、面向現(xiàn)代化”這個總要求，就必須把培養(yǎng)學生的學習素質(zhì)與傳授知識、發(fā)展智力放在同樣位置，關鍵是教師在數(shù)學教學中思維要開闊而敏捷，要因人、因課、因時、因地制宜，選擇最佳教學策略，激起學生的學習積極性，提高學生在課堂上的參與度，使接受式與活動式教學結(jié)合起來，減少“兩極分化”現(xiàn)象；要善于調(diào)控，使學生的學習潛能得以提升，使學生的求異思維盡快轉(zhuǎn)化為減輕“學習負擔”的一種能力。