新高考引領(lǐng)下一道高考切線問題引發(fā)的探究

劉江輝

(北京市首都師范大學(xué)教師教育學(xué)院)

縱觀近幾年的高考數(shù)學(xué)以及高考模擬題,可以發(fā)現(xiàn)切線問題是命題的一個熱點(diǎn),也是常考的一類問題,所以它成為一線教師引導(dǎo)學(xué)生備考的重點(diǎn)內(nèi)容.切線問題通常以不同的知識內(nèi)容作為試題背景,具有一定的綜合性,有利于同時考查學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).本文以一道高考真題為例,輔以變式練習(xí),探討此類問題的解題策略.

1 試題呈現(xiàn)

例(2021年新高考Ⅰ卷7)若過點(diǎn)(a,b)可以作曲線y＝ex的兩條切線,則( ).

A.eb＜aB.ea＜b

C.0＜a＜ebD.0＜b＜ea

分析該題以指數(shù)函數(shù)作為背景,著重考查切線問題、數(shù)形結(jié)合思想及邏輯推理素養(yǎng).該題打破了傳統(tǒng)的呈現(xiàn)形式,檢驗(yàn)學(xué)生靈活處理問題的能力,依據(jù)解決問題的常規(guī)思路通過數(shù)形結(jié)合把試題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)以及函數(shù)圖像交點(diǎn)的問題.

2 解法探究

視角1圖像法

解法1圖1為y＝ex的大致圖像,過點(diǎn)(a,b)可以作曲線y＝ex的兩條切線,不妨設(shè)曲線上方區(qū)域?yàn)棰駞^(qū),曲線下方、x軸上方區(qū)域?yàn)棰騾^(qū),x軸下方區(qū)域Ⅲ區(qū).

圖1

當(dāng)點(diǎn)(a,b)位于Ⅰ區(qū)時,無法作出切線;當(dāng)點(diǎn)(a,b)位于曲線y＝ex上時,只能作出一條切線;當(dāng)點(diǎn)(a,b)位于Ⅱ區(qū)時,能作出兩條切線,且有0＜b＜ea;當(dāng)點(diǎn)(a,b)位于x軸上時,因?yàn)閤軸為y＝ex的漸近線,所以只能作出一條切線;當(dāng)點(diǎn)(a,b)位于Ⅲ區(qū)時,只出作出一條切線.

綜上,0＜b＜ea,故選D.

點(diǎn)評本法通過畫出函數(shù)的圖像,對點(diǎn)(a,b)的位置進(jìn)行分類討論,有助于減少運(yùn)算和思維上的難度,但要求解題者具有較強(qiáng)的數(shù)形結(jié)合思想,因而平時要注意數(shù)學(xué)思想方法的積累.

視角2代數(shù)法

解法2設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為,因?yàn)閥′＝ex,所以切線的方程為(x－x0).因?yàn)榍芯€過點(diǎn)(a,b),所以(a－x0),化簡可得(ax0＋1)－b＝0,則該方程有兩個不同的解.

令f(x)＝ex(a－x＋1)－b,則f′(x)＝ex(ax),故f(x)在(－∞,a)上單調(diào)遞增,在(a,＋∞)上單調(diào)遞減,因?yàn)閒(x)有兩個零點(diǎn),所以f(a)＞b,則b＜ea.

不妨設(shè)x1,x2為f(x)的零點(diǎn),x1∈(－∞,a),x2∈(a,＋∞),則

綜上,0＜b＜ea,故選D.

解法3設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,),因?yàn)閥′＝ex,所以切線的方程為(x－x0).

因?yàn)榍芯€過點(diǎn)(a,b),所以(a－x0),化簡可得(a－x0＋1)＝b,令f(x)＝b,g(x)＝ex(a－x＋1),則函數(shù)f(x)與g(x)有兩個交點(diǎn).對g(x)求導(dǎo)有g(shù)′(x)＝ex(a－x),故g(x)在(－∞,a)上單調(diào)遞增,在(a,＋∞)上單調(diào)遞減,因?yàn)間(x)與f(x)有兩個交點(diǎn),所以b＜g(a),則b＜ea.

對于指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù),我們要注意考慮它們與x軸的關(guān)系,一般用極限思想探索極端的情況.

當(dāng)x→＋∞時,g(x)＜0;當(dāng)x→－∞時,g(x)→0,所以b＞0.

綜上,0＜b＜ea,故選D.

點(diǎn)評解法2和解法3都是從代數(shù)的角度出發(fā)思考問題,解法2 把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問題,思路清晰,在證明b＞0的情況時,需要較強(qiáng)的發(fā)現(xiàn)能力.解法3把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像的交點(diǎn)問題進(jìn)行探索,難點(diǎn)是判斷左側(cè)函數(shù)圖像的趨勢,需要一定的極限思維.

3 變式拓展

變式1若過點(diǎn)(a,b)可以作曲線y＝lnx的兩條切線,則b的取值范圍是_________.

當(dāng)a≤0時,f′(x)＞0在(0,＋∞)上恒成立,所以f(x)在(0,＋∞)上單調(diào)遞增,不滿足條件.

當(dāng)a＞0 時,f(x)在(a,＋∞)上單調(diào)遞增,在(－∞,a)上單調(diào)遞減,所以f(x)min＝f(a)＝lna.因?yàn)間(x)＝b與f(x)的函數(shù)圖像有兩個交點(diǎn),所以b＞lna.

點(diǎn)評指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)具有緊密的聯(lián)系,改變函數(shù)的類型,運(yùn)用類比的思維,將原來涉及指數(shù)函數(shù)的問題類比到對數(shù)函數(shù)中,即可得到本題,難度比原題目有所降低,卻有助于對此類思想方法的領(lǐng)悟.

變式2若過點(diǎn)(a,0)可以作曲線y＝xex的兩條切線,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________.

點(diǎn)評設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,x0ex0),由y′＝(x＋1)·

ex,可得切線的方程為

由于切線過點(diǎn)(a,0),故

化簡得

因?yàn)檫^點(diǎn)(a,0)可以作曲線y＝xex的兩條切線,即方程①有兩個不同的解,所以Δ＝a2＋4a＞0,解得a＞0或a＜－4.

點(diǎn)評對原問題進(jìn)行進(jìn)一步的變式拓展,融合二次函數(shù)的內(nèi)容,增加問題的難度,有利于探索和歸納出解決此類問題的通性通法,為解決更高難度的問題奠定基礎(chǔ).

變式3已知函數(shù)f(x)＝x3－3x,過點(diǎn)A(1,m)(m≠－2)可以作曲線f(x)的三條切線,則m的取值范圍是________.

因?yàn)檫^點(diǎn)A(1,m)可以作曲線f(x)的三條切線,所以方程①有三個不同的解.

令h(x)＝2x3－3x2＋m＋3,則h′(x)＝6x2－6x,令h′(x)＝0,解得x＝0或1.

由三次函數(shù)的圖像特征可知h(x)＝2x3－3x2＋m＋3有三個零點(diǎn),故h(0)h(1)＜0,即(m＋3)(m＋2)＜0,解得－3＜m＜－2.

點(diǎn)評三次函數(shù)是高考數(shù)學(xué)命題的重要知識點(diǎn),通過思想方法的對比,以三次函數(shù)為載體,進(jìn)行深層次的變式,探究切線問題,加強(qiáng)知識的聯(lián)系,有利于強(qiáng)化思想方法與知識的融合,提升學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的綜合運(yùn)用能力.

變式4若函數(shù)f(x)＝lnx＋(a為常數(shù))存在兩條均過原點(diǎn)的切線,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.

因?yàn)榇嬖趦蓷l均過原點(diǎn)的切線,故x0－x0lnx0＝2a有兩個不同的解.

令g(x)＝x－xlnx,h(x)＝2a,則g(x)與h(x)有兩個不同的交點(diǎn),對g(x)求導(dǎo)可得g′(x)＝－lnx,所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,＋∞)上單調(diào)遞減,gmax(x)＝g(1)＝1.

當(dāng)x→＋∞時,g(x)→－∞,當(dāng)x→0 時,g(x)→0.因?yàn)間(x)與h(x)的函數(shù)圖像有兩個不同的交點(diǎn),所以0＜2a＜1,故0＜a＜.

點(diǎn)評該變式打破常規(guī)的呈現(xiàn)形式,在函數(shù)解析式中設(shè)置未知數(shù)以及隱性的已知條件,增加了試題內(nèi)容的豐富性和價值,有助于極限數(shù)學(xué)思想方法的滲透.

一題多解可以較好地促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)和數(shù)學(xué)知識的融合,變式練習(xí)有助于提升學(xué)生的綜合能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng).因此,在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中,學(xué)生要進(jìn)一步深入關(guān)注教材中的典型問題,對其進(jìn)行合理的變式研究,以期提升數(shù)學(xué)思維,提高解決問題的能力,促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的綜合發(fā)展.

(完)