求參數(shù)取值范圍問題的方法探究

陳曉明

(安徽省寧國中學(xué))

求參數(shù)取值范圍的問題經(jīng)常出現(xiàn)在各級各類考試中,其綜合性較強(qiáng),主要考查函數(shù)的各種性質(zhì),考查學(xué)生的邏輯思維、運(yùn)算求解等關(guān)鍵能力,考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等學(xué)科素養(yǎng).解決問題的方法主要有分類討論法、分離參數(shù)法、圖像法、構(gòu)造函數(shù)法等.下面通過具體實(shí)例對求解這類試題的方法進(jìn)行探究.

例1已知函數(shù)f(x)＝(ax2－2x＋1)e－x(a∈R,e為自然對數(shù)的底數(shù)),若函數(shù)f(x)在[－1,1]上單調(diào)遞減,求a的取值范圍.

令g(x)＝ax2－2(a＋1)x＋3.

當(dāng)a＝0 時(shí),g(x)＝－2x＋3,在[－1,1]上,g(x)＞0,故f′(x)＜0,函數(shù)f(x)在[－1,1]上單調(diào)遞減.

當(dāng)a＞0時(shí),函數(shù)g(x)＝ax2－2(a＋1)x＋3,其圖像是開口向上的拋物線,且對稱軸x＝＞1,故g(x)在[－1,1]上單調(diào)遞減,當(dāng)且僅當(dāng)g(1)＝1－a≥0,即0＜a≤1 時(shí),在[－1,1]上,g(x)≥0,f′(x)≤0,函數(shù)f(x)在[－1,1]上單調(diào)遞減.

當(dāng)a＜0時(shí),g(x)＝ax2－2(a＋1)x＋3是開口向下的拋物線,當(dāng)且僅當(dāng)即－≤a＜0時(shí),在[－1,1]上,g(x)≥0,f′(x)≤0,函數(shù)f(x)在[－1,1]上單調(diào)遞減.

綜上,參數(shù)a的取值范圍為[－,1].

方法2(分離參數(shù)法) 根據(jù)題意可知f′(x)＝－e－x(ax2－2ax－2x＋3)≤0在[－1,1]上恒成立,即(x2－2x)a≥2x－3在[－1,1]上恒成立.

點(diǎn)評兩種方法都是將函數(shù)的單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題,方法1是對參數(shù)進(jìn)行分類討論,因此最后對參數(shù)的范圍求并集;而方法2 是對自變量進(jìn)行分類討論,因此最后對參數(shù)的范圍求交集.

例2已知函數(shù)f(x)＝sinωx＋acosωx(ω＞0,a＞0),對任意x1,x2∈R,f(x1)＋f(x2)的最大值為4,若f(x)在(0,π)上恰有兩個(gè)極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)ω的取值范圍是( ).

解析方法1因?yàn)閷θ我鈞1,x2∈R,f(x1)＋f(x2)的最大值為4,所以f(x)的最大值為2,所以＝2,又a＞0,所以a＝1,故

據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，2008-2016年有關(guān)數(shù)學(xué)文化的試題共34道(數(shù)學(xué)文化的標(biāo)準(zhǔn)不同，本文采用南開大學(xué)顧沛教授的數(shù)學(xué)文化廣義內(nèi)涵，包含數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)發(fā)展中的人文成分、數(shù)學(xué)與社會的聯(lián)系、數(shù)學(xué)與各種文化的關(guān)系等)，在高考數(shù)學(xué)試題中的分值比重已越來越大，涉及湖北、北京、上海、浙江、江蘇、江西、福建、全國卷等.其中，湖北卷幾乎年均有2-3題左右，全國卷從2015年開始重視，以后每年都有題目出現(xiàn).為更直接地體會全國各地高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)文、理試卷中的數(shù)學(xué)文化試題，按年份列出下表(見表1)，并總結(jié)出了數(shù)學(xué)文化背景試題的一些特征：

圖1

圖2

點(diǎn)評兩種方法都是通過觀察函數(shù)圖像判斷參數(shù)的取值范圍,方法1是根據(jù)原函數(shù)的極值點(diǎn)就是導(dǎo)函數(shù)的變號零點(diǎn),從而根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖像判斷;方法2是直接根據(jù)原函數(shù)的圖像判斷.另外,要注意取值范圍的端點(diǎn)值(臨界值)是否可取.

變式1函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋)(ω＞0)的圖像在[0,2]上恰有兩個(gè)最大值點(diǎn),則ω的取值范圍為( ).

圖3

點(diǎn)評本題通過構(gòu)造函數(shù)將不等式轉(zhuǎn)化為“函數(shù)值”大小關(guān)系,再利用函數(shù)的單調(diào)性將“函數(shù)值”大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為“自變量”大小關(guān)系(脫掉抽象符號“g”),進(jìn)一步將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題,從而求出參數(shù)的取值范圍.本題是選擇題,也可以利用排除法首先排除A:由已知a＞1,而＜1,所以不可能選A.

例4(2021年全國甲卷理21)已知a＞0且a≠1,函數(shù)f(x)＝(x＞0).

(1)當(dāng)a＝2時(shí),求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若曲線y＝f(x)與直線y＝1有且僅有兩個(gè)交點(diǎn),求a的取值范圍.

點(diǎn)評曲線y＝f(x)與直線y＝1有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)→方程有兩個(gè)不同的解→構(gòu)造函數(shù)g(x)＝函數(shù)g(x)的單調(diào)性→gmax(x)＝的取值范圍.關(guān)于含有參數(shù)的方程根的問題,經(jīng)常采用分離參數(shù)(式)法和構(gòu)造新函數(shù)法,通過研究新函數(shù)的單調(diào)性確定參數(shù)范圍,這是一種解決方程根問題常見的基本方法.由例3與例4知,含有參數(shù)的不等式和方程(等式),通過分離參數(shù)(式),利用構(gòu)造函數(shù)法解決問題是一種重要方法,應(yīng)引起我們的重視.

上述實(shí)例給出了求參數(shù)取值范圍的一些具體的方法.這些方法有時(shí)也不是“獨(dú)立”的,需要多種方法相互滲透,“聯(lián)合”起來解決問題.無論哪種方法,理解數(shù)學(xué)概念、掌握函數(shù)的各種性質(zhì)、領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決問題的根本.

筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)解題的最高境界必然是“無招”.無招的背后,必然是尋求以不變應(yīng)萬變的本質(zhì).數(shù)學(xué)解題中的“無招”,其實(shí)質(zhì)應(yīng)該是解題的通性通法.通性通法就是解決一類問題的最合理的想法、最基本的思路、最常用的方式、最普遍的操作程序.如果求參數(shù)的取值范圍有“絕招”,那應(yīng)該是立足課堂,抓住典型例題,讓學(xué)生真正掌握解決這類問題的通性通法.

通性通法教學(xué)不僅有利于學(xué)生快速抓住數(shù)學(xué)知識的本質(zhì),形成有效解決問題的策略,而且有利于消除學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)科的畏懼心理,增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心.因此,通性通法教學(xué)應(yīng)引起我們廣大教師的重視,以無招勝有招,才能讓學(xué)生笑傲考場.

鏈接練習(xí)

1.設(shè)a＞b＞c且恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.

2.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知sinA＋sinC＝psinB(p∈R),且ac＝.當(dāng)角B為銳角時(shí),參數(shù)p的取值范圍是_________.

3.已知函數(shù)f(x)＝sinωxcosωx－sin2ωx(ω＞0),若函數(shù)f(x)在(,π)上單調(diào)遞減,則實(shí)數(shù)ω的取值范圍是________.

4.已知f(x)是定義在R 上的奇函數(shù),且f(x＋1)是偶函數(shù).當(dāng)0≤x≤1時(shí),f(x)＝－log2(x＋1).設(shè)g(x)＝|f(x)|＋f(|x|),若關(guān)于x的方程g(x)－mx－2＝0有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_________.

鏈接練習(xí)參考答案

(完)