非常規(guī)不等式的解法探究

田素偉

(上海市泥城中學(xué))

不等式是高中數(shù)學(xué)考查的重點(diǎn)內(nèi)容,也是高考必考的內(nèi)容,對(duì)于常規(guī)的各類不等式的基本解法,這里不再重復(fù).而有很多數(shù)學(xué)知識(shí)以不等式為載體,考查最值、不等關(guān)系以及恒成立等問題.這類不等式問題構(gòu)思新穎、條件隱蔽、技巧性強(qiáng)、解法靈活.那么如何正確解答這類問題? 下面以具體的題目來探究一些非常規(guī)不等式的解法.

1 含偶次方根的無(wú)理不等式

點(diǎn)評(píng)本題極容易忽視偶次方根的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)這一隱含條件,所以在解題時(shí)要充分考慮題中的限制條件.

2 構(gòu)造函數(shù)解不等式

當(dāng)x1＞x2時(shí),f(x1)－f(x2)＜x1－x2,即f(x1)－x1＜f(x2)－x2;當(dāng)x1＜x2時(shí),f(x1)－f(x2)＞x1－x2,即f(x1)－x1＞f(x2)－x2.

設(shè)g(x)＝f(x)－x,則g(x1)＝f(x1)－x1,g(x2)＝f(x2)－x2.當(dāng)x1＞x2時(shí),g(x1)＜g(x2);當(dāng)x1＜x2時(shí),g(x1)＞g(x2),所以g(x)＝f(x)－x在定義域R上單調(diào)遞減.又因?yàn)閥＝f(x)是定義域?yàn)镽 的奇函數(shù),所以f(0)＝0,所以g(0)＝f(0)－0＝0.

由f(m)＞m,得f(m)－m＞0,又g(m)＝f(m)－m,g(0)＝0,所以g(m)＞g(0),而g(x)在R 上單調(diào)遞減,所以m＜0.

綜上,不等式f(m)＞m的解集為{m|m＜0}.

點(diǎn)評(píng)根據(jù)題意可構(gòu)造函數(shù)g(x)＝f(x)－x,利用單調(diào)函數(shù)的定義可以判斷函數(shù)g(x)＝f(x)－x在定義域R 上單調(diào)遞減,由g(0)＝0,則f(m)＞m等價(jià)于g(m)＞g(0),再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性脫去“f”.

3 利用反函數(shù)的性質(zhì)解不等式

點(diǎn)評(píng)根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì),本題可轉(zhuǎn)化為當(dāng)x＞3時(shí),求函數(shù)f(x)＝(x＞0)的值域,這樣可以不用求反函數(shù)的解析式,只需解不等式即可,簡(jiǎn)化運(yùn)算.本題考查反函數(shù)的概念與性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)值域的求法.

4 利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式

例4若定義在區(qū)間[－3,3]上的函數(shù)f(x)＝,求f(x＋1)＋f(2x－1)＞0的解集.

點(diǎn)評(píng)先判斷函數(shù)在定義域上的奇偶性和單調(diào)性,再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于自變量的不等式,注意不要忽略函數(shù)的定義域.

例5已知定義在R上的函數(shù)y＝f(x＋1)是偶函數(shù),且在(0,＋∞)上單調(diào)遞增,求滿足f(2x)＞f(x＋2)的x的取值范圍.

解析因?yàn)閥＝f(x＋1)是偶函數(shù),所以f(－x＋1)＝f(x＋1),故函數(shù)y＝f(x)的圖像關(guān)于直線x＝1對(duì)稱.

因?yàn)楹瘮?shù)f(x＋1)在(0,＋∞)上單調(diào)遞增,所以函數(shù)f(x)在(1,＋∞)上單調(diào)遞增.

又由f(2x)＞f(x＋2),得|2x－1|＞|x＋2－1|,即|2x－1|＞|x＋1|,兩邊平方并化簡(jiǎn)得x2＞2x,解得x＞2或x＜0.

綜上,x的取值范圍為(－∞,0)∪(2,＋∞).

點(diǎn)評(píng)本題利用函數(shù)的性質(zhì),確定函數(shù)f(x)關(guān)于直線x＝1對(duì)稱,且在(1,＋∞)上單調(diào)遞增,結(jié)合函數(shù)對(duì)稱性和單調(diào)性去“f”再解不等式.

5 利用向量構(gòu)造不等式

因?yàn)閨m|＝1,|n|＝|a|,所以

f(x)＝m·n＝|m|·|n|cosθ≤|m|·|n|≤|a|.

又因?yàn)閒max(x)＝2,所以|a|＝2,解得a＝±2,故實(shí)數(shù)a的值為2或－2.

點(diǎn)評(píng)本題考查根據(jù)函數(shù)最值求解參數(shù)的值,解題關(guān)鍵是能夠利用化歸轉(zhuǎn)化思想,將函數(shù)表示為向量數(shù)量積的形式,進(jìn)而根據(jù)m·n≤|m|·|n|構(gòu)造不等式確定參數(shù)的取值范圍.

6 與正整數(shù)n 有關(guān)的不等式

點(diǎn)評(píng)對(duì)于含(－1)n的不等式要分為n為奇數(shù)和n為偶數(shù)兩種情況討論,在利用單調(diào)性、最值和極限思想解題時(shí),需要注意在正整數(shù)中奇數(shù)的最小值是1,而偶數(shù)的最小值是2.

7 利用函數(shù)圖像數(shù)形結(jié)合解不等式

例8(2020年北京卷6)已知函數(shù)f(x)＝2xx－1,則不等式f(x)＞0的解集是( ).

A.(－1,1) B.(－∞,－1)∪(1,＋∞)

C.(0,1) D.(－∞,0)∪(1,＋∞)

解析f(x)＞0等價(jià)于2x＞x＋1,在同一平面直角坐標(biāo)系中作出y＝2x和y＝x＋1的圖像,如圖1所示.兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),(1,2),不等式2x＞x＋1的解是函數(shù)y＝2x的圖像位于函數(shù)y＝x＋1的圖像上方的部分所對(duì)應(yīng)的x的取值范圍.觀察圖像可知:不等式2x＞x＋1的解為x＜0或x＞1,所以不等式f(x)＞0的解集為(－∞,0)∪(1,＋∞),故選D.

圖1

點(diǎn)評(píng)在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y＝2x和y＝x＋1的圖像,觀察圖像可得結(jié)果,對(duì)于超越不等式常利用函數(shù)圖像求解集.

8 與取整函數(shù)有關(guān)的不等式

例9對(duì)于實(shí)數(shù)x,設(shè)[x]表示不超過x的最大整數(shù),則不等式[x]2－3[x]－10≤0的解集是_________.

解析因?yàn)閇x]2－3[x]－10≤0,所以－2≤[x]≤5,故－2≤x＜6,從而所求不等式的解集是{x|－2≤x＜6}.

點(diǎn)評(píng)根據(jù)不等式先解析出[x],進(jìn)而根據(jù)[x]的定義即可得到答案,這里要注意不等式的端點(diǎn)的取值.

9 與分段函數(shù)有關(guān)的不等式

綜上,m的取值范圍是(－1,0)∪(1,＋∞).

點(diǎn)評(píng)本題考查對(duì)數(shù)不等式的求解問題,解題關(guān)鍵是能夠?qū)懗龊瘮?shù)f(m)和f(－m)的解析式,再利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解,考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想.

(完)