高中數(shù)學(xué)中基本不等式的常見(jiàn)問(wèn)題及處理策略

郭興甫

(云南省會(huì)澤縣東陸高級(jí)中學(xué)校)

基本不等式是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,也是高考、高校自主命題的熱點(diǎn)內(nèi)容,其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)潔、形式優(yōu)美.基本不等式主要用于處理與最值相關(guān)問(wèn)題以及不等關(guān)系的探求和論證.基本不等式常與函數(shù)、數(shù)列、解析幾何、平面向量等相關(guān)知識(shí)相結(jié)合,考查數(shù)學(xué)建模、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng).有時(shí)不能直接利用基本不等式解決問(wèn)題,需要對(duì)條件改造、變形、配湊,因此基本不等式是培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題能力的重要載體.本文就基本不等式常見(jiàn)問(wèn)題及處理策略進(jìn)行解析,以期對(duì)讀者的復(fù)習(xí)有所幫助.

1 直接利用基本不等式求最值

例1(1)(多選題)若a＞0,b＞0,且a＋b＝4,則下列不等式成立的是( ).

綜上,選BD.

(2)若a＞0,b＞0,由基本不等式得

點(diǎn)評(píng)利用基本不等式直接求一個(gè)式子的最值時(shí),要注意“一正、二定、三相等”的原則.即一正是要判斷各項(xiàng)是否為正數(shù);二定是要看和或積是否為定值(和定積最大,積定和最小);三相等是一定要驗(yàn)證等號(hào)能否成立(注意兩點(diǎn),一是等號(hào)成立時(shí)變量是否在定義域內(nèi),二是多次用不等式時(shí)等號(hào)能否同時(shí)成立).以上三點(diǎn)缺一不可.

2 通過(guò)配湊系數(shù)后利用基本不等式求最值

例2設(shè)正實(shí)數(shù)a,b滿足ab(a＋b)＝4,則2a＋b的最小值是_________.

解析由正實(shí)數(shù)a,b滿足ab(a＋b)＝4,故利用待定系數(shù)法配湊系數(shù),使用均值不等式,則有

點(diǎn)評(píng)本題初看不易入手,但如果觀察到題設(shè)條件是三個(gè)因式的積的形式,則易聯(lián)想到基本不等式積定和最大的法則,通過(guò)配湊積中因式的系數(shù),把和轉(zhuǎn)化為關(guān)于結(jié)論的一個(gè)代數(shù)式,進(jìn)而巧妙地解決問(wèn)題.同時(shí)也可以對(duì)結(jié)論進(jìn)行等價(jià)變形后結(jié)合約束條件進(jìn)行配湊,使之滿足基本不等式的條件.在配湊因式的系數(shù)時(shí),可以通過(guò)待定系數(shù)法求出需要的系數(shù).解決本題的關(guān)鍵是審清條件和結(jié)論之間的關(guān)系,把結(jié)論看成整體,利用整體思想和基本不等式的條件配湊系數(shù),易錯(cuò)點(diǎn)是忽視等號(hào)成立的條件.

3 通過(guò)消元再利用基本不等式求最值

例3正實(shí)數(shù)x,y滿足xy(x＋y)＝4,則2x＋y的最小值為( ).

點(diǎn)評(píng)本題考查了利用消元法結(jié)合基本不等式求最值的應(yīng)用,用約束條件中的一個(gè)變量表示出另一個(gè)變量,或?qū)⒓s束條件及所求代數(shù)式進(jìn)行變形,使其滿足利用基本不等式的條件,再采用恰當(dāng)方法求最值.同時(shí)要注意變形過(guò)程中的等價(jià)性,否則容易出錯(cuò).

4 通過(guò)常數(shù)代換利用基本不等式求最值

點(diǎn)評(píng)常數(shù)代換法的基本步驟:一是根據(jù)已知條件或其變形確定定值(常數(shù));二是把確定的定值(常數(shù))變形為“1”;三是把“1”的表達(dá)式與所求最值的表達(dá)式相乘(或相除),進(jìn)而構(gòu)造和或積的形式;四是利用基本不等式求解最值.

5 通過(guò)變項(xiàng)法求多變量最值

點(diǎn)評(píng)本題對(duì)已知條件和所求最值的代數(shù)式恒等變形之后進(jìn)而應(yīng)用基本不等式求解.使用基本不等式求最值,有時(shí)需要從已知條件、求解目標(biāo)代數(shù)式這兩個(gè)方面進(jìn)行變換,以達(dá)到符合基本不等式條件的目的,同時(shí)需要注意等號(hào)是否成立.

6 多次利用基本不等式求最值

點(diǎn)評(píng)在求解最值或證明不等式時(shí),如果多次使用基本不等式,要根據(jù)各次不等式中等號(hào)成立的條件是否一致確定最后等號(hào)是否成立,即等號(hào)成立的條件要同時(shí)滿足,否則容易產(chǎn)生錯(cuò)誤.

7 利用基本不等式判斷不等式是否成立

例7(多選題)已知a＞0,b＞0,且a＋b＝1,則下列說(shuō)法中正確的有( ).

綜上,選BCD.

點(diǎn)評(píng)利用基本不等式判斷不等式正確性的基本策略是從已知不等式及問(wèn)題的條件出發(fā),借助基本不等式及性質(zhì)的相關(guān)定理,經(jīng)過(guò)逐步推理,將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化,其特征是根據(jù)已知條件逐步推出未知.特別地,要注意不等式串(a＞0,b＞0)的靈活應(yīng)用.

8 利用基本不等式證明不等式問(wèn)題

點(diǎn)評(píng)利用基本不等式證明不等式時(shí),常常利用不等式的可加性.累加法是證明不等式的一種常用方法,對(duì)于不能直接使用基本不等式進(jìn)行證明的問(wèn)題,可重新拆分、組合,也可利用由基本不等式可加性直接得到的形如a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca,a＋b＋等結(jié)論.

9 利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題

例9(1)現(xiàn)在需要制作一個(gè)長(zhǎng)和寬分別為am和bm 的矩形大裱框,要求其長(zhǎng)和寬使用不同的材質(zhì),長(zhǎng)和寬材質(zhì)的單價(jià)分別為10 元·m－1和20 元·m－1,在總制作費(fèi)用不超過(guò)100元的條件下,可裱框相片的最大面積為( ).

(2)某污水處理廠為使處理后的污水達(dá)到排放標(biāo)準(zhǔn),需加入某種藥劑,加入該藥劑后,藥劑的濃度Cmg·m－3隨時(shí)間th 的變化關(guān)系可近似地用函數(shù)C(t)＝(t＞0)刻畫(huà).由此可以判斷,若使被處理的污水中該藥劑的濃度達(dá)到最大值,需經(jīng)過(guò)( ).

A.3h B.4h C.5h D.6h

(3)某單位為節(jié)約成本,進(jìn)行技術(shù)更新,將細(xì)顆粒物進(jìn)行處理.已知該單位每月的處理量最少300t,最多600t,月處理成本y元與月處理量xt之間的函數(shù)關(guān)系可近似地表示為y＝－100x＋80000,則每噸細(xì)顆粒物的平均處理成本最低為( ).

A.100元 B.200元

C.300元 D.400元

解析(1)由已知得20a＋40b≤100,所以a＋2b≤5,所以

(3)由題意得每噸細(xì)顆粒物的平均處理成本為

點(diǎn)評(píng)利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題時(shí),應(yīng)先仔細(xì)閱讀題目信息,理解題意,明確其中的數(shù)量關(guān)系,并引入變量,依題意列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式,然后用基本不等式求解;設(shè)變量時(shí)一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù);在求所列函數(shù)的最值時(shí),若用基本不等式時(shí)等號(hào)無(wú)法取到,則可利用函數(shù)單調(diào)性求解.解題時(shí)要注意變量的實(shí)際意義及其取值范圍.

對(duì)于基本不等式的復(fù)習(xí),應(yīng)掌握基本知識(shí)和基本方法的應(yīng)用,掌握基本概念及其性質(zhì)的聯(lián)系,熟悉基本不等式串關(guān)系的應(yīng)用,重視與其他知識(shí)的整合交會(huì)滲透,挖掘基本不等式的本質(zhì),掌握基本不等式應(yīng)用的常見(jiàn)問(wèn)題,注重基本不等式成立的條件及等價(jià)轉(zhuǎn)化思想在基本不等式中的應(yīng)用.同時(shí)要注重抓住基本不等式問(wèn)題的核心,感悟問(wèn)題本質(zhì),熟悉?？碱}型,善于正用、逆用、變形應(yīng)用公式,配湊構(gòu)建定值,創(chuàng)造使用基本不等式的條件,進(jìn)而解決問(wèn)題.

(完)