從“數學活動”探索中獲得數學“再發(fā)現”
——以人教版八年級下冊數學活動“折紙做60°,30°,15°的角”為例

倪方友

(云南省昆明市滇池度假區(qū)實驗學校,650228)

“數學活動”是為了落實課程標準提出的基本數學活動經驗的積累,是實施“綜合與實踐”的知識領域.教師通過問題引領,引導學生自主全程參與的活動過程,體現數學教學的活動性、綜合性和探究性的要求.“平行四邊形”章節(jié)的重點是突出圖形性質定理和判定定理的探索與發(fā)現過程,由觀察度量、實驗操作、圖形變化等方式,培養(yǎng)學生的合情推理和演繹推理能力.下面筆者以人教版八年級下冊“平行四邊形”章節(jié)中數學活動“折紙做60°,30°,15°的角”為例,談談挖掘“數學活動”的教育價值,發(fā)展學生的問題意識和創(chuàng)新意識.

一、數學活動內容與活動設計

1.折紙做60°,30°,15°的角

如果我們身旁沒有量角器或三角尺,又需要作60°,30°,15°等大小的角,可以采用下面的方法(如圖1):

(1)對折矩形紙片ABCD,使AD與BC重合,得到折痕EF,把紙片展平.

(2)再一次折疊紙片,使點A落在EF上,并使折痕經過點B,得到折痕BM.同時,得到了線段BN.

觀察所得的∠ABM,∠MBN,∠NBC,這三個角有什么關系?你能證明嗎?

通過證明可知,這是從矩形得到30°角的好方法,簡單而準確,由此,15°,60°,120°,150°等角就容易得到了.

2.數學活動設計

(1)活動準備:讓學生準備好一張矩形紙片,三角板,量角器,筆;

(2)活動過程:學生分小組按活動步驟動手實踐折紙,學生自主探究并度量出折出的角度的大小,并證明折出的角度的度數,小組內合作交流自己的想法;

(3)分小組在全班進行展示活動的結果.

二、活動后的數學“再發(fā)現”

折紙活動完成后,教師對活動進行延伸和追問,通過問題引領激發(fā)學生更深入的思考,引導學生關注數學前后知識之間的聯系,形成數學的整體觀念,體現數學知識的綜合應用,進一步培養(yǎng)學生的探究能力.由已知條件執(zhí)因索果而來的結論,通過關聯式的追問,遞進式的延伸和發(fā)散式的拓展,對活動進行深入地探究和挖掘,以得到進一步的發(fā)現,找到題目的固有結論和點線之間的位置關系和大小關系,提升學生提出問題、發(fā)現問題、分析問題和解決問題的能力(2020年昆明市中考數學壓軸題第23題就是基于折紙活動的數學“再發(fā)現”的思想而命制).

1.基本模型再現

模型1如圖2,點E,F分別為矩形ABCD的邊AB,CD的中點;你能得到什么結論?并證明.

模型2如圖3,點P是邊AD上的一點,將ABP沿BP對折,點A落在矩形內部一點M處.你能得到什么結論?并說明理由.

結論猜想:對給出的基本圖形及題目中的已知條件,猜想出可能得到的結論,并證明猜想的正確性.

模型2由軸對稱的性質可得ABP≌MBP,從而可得AB=MB,PA=PM,∠M=∠A=90°.(理由略)

2.關聯式追問

在原有兩模型的圖形和條件的基礎上，對部分圖形的關系進行追問或疊加后，再探圖形的關系.

追問1在模型2中,如果點P在邊AD上運動,你能猜想點M的軌跡是什么嗎?

追問2模型1和模型2疊加:如果點M恰好落在線段EF上,你會有什么發(fā)現?

分析因為點M到點B的距離不變,即到定點的距離等于定長的點在圓上,所以點M在以A為圓心,AB為半徑的一段弧上(如圖4).

如果點M恰好落在線段EF上(如圖5),就是我們在折紙活動中得到的圖形,可以得到以下結論:(1)?ABM是等邊三角形,從這個結論我們還可以得到折疊等邊三角形或30°角的方法;(2)OB=OM;(3)BP是線段AM的垂直平分線;(4)?POM是等邊三角形.

結論OB=OM的證明有如下方法:

方法一如圖5,連結AO.由對折可以得到BP是AM的垂直平分線,可得AO=OM,由四邊形AEFD為矩形,容易得到EF是AB的垂直平分線,從而有AO=BO,所以BO=OM.

3.遞進式延伸

通過上面的探索,我們可以在原有圖形模型上通過增加條件或添加線段得到一個在原有的圖形基礎上遞進式的圖形,再探究該圖形的性質和結論.

延伸1如圖6,作MG∥AD交BP于點G,請判斷四邊形AGMP的形狀.

延伸2如圖6,如果AB=5,BC=8,連結DM,是否存在DM的長度最小?如果有,請求出最小值?

4.發(fā)散式拓展

在上面的題目現有條件基礎上進行發(fā)散式拓展,對圖形進行延伸,對前后知識進行綜合,提升學生的思維層次,從而培養(yǎng)學生的探究能力和創(chuàng)新意識.

拓展:如圖7,AB=5,BC=8,當點P在直線AD上運動時,如果?AMD為等腰三角形,請求出AP的長.

這樣拓展以后,題目的難度更大,能考查學生的探究能力、幾何直觀能力、空間想象能力、運算能力、分類討論思想和化歸思想.通過分析,我們發(fā)現有五種情況:

情況2當MA=MD,點P在邊AD的延長線上時(如圖9),過點M作ME⊥AD于E,交BC于F,同理可得MF=3,從而得ME=8,設AP=PM=x,PE=x-4，由勾股定理得(x-4)2+82=x2，解得AP=10.

情況5當DA=DM,此時點P與點D重合(如圖12),得到AP=AD=8.

5.探究反思

通過對折紙活動進行不同角度的探索,我們獲得一些解題方法、數學活動經驗和重要啟示:

啟示1通過折紙可以獲得等邊三角形的方法.(1)對折矩形紙片ABCD,使得AD與BC重合,得到折痕EF,把紙片展平.(2)再一次折疊紙片,使點A落在EF上,并使折痕經過點B,得到折痕BM.同時,得到了BN,從而?ABM是等邊三角形.

啟示2在動點問題中,一個點的位置隨另一個點的位置變化而變化,該點的軌跡可循,比如本題點M的軌跡是圓弧,強化對圖形的基本性質和概念的理解.

啟示3拓展題目是一個關于構建等腰三角形分類討論的題型,基本方法是分成三種情況進行討論.本題也可以這樣探究,如圖13,因為點M在以B為圓心,BA為半徑的圓上,要使?AMD為等腰三角形有三種情況:第一,點M是AD的垂直平分線與⊙B的交點,得到M1和M2;第二,點M是以A為圓心,AD為半徑的圓與⊙B的交點,得到M3和M4;第三,點M是以D為圓心,AD為半徑的圓與⊙B的交點,得到M5.

三、結語

數學活動是幫助學生積累數學活動經驗,不但要讓學生經歷相對完整的活動過程,教師還要進行深入挖掘,讓學生經歷活動后的數學“再發(fā)現”過程.讓學生勇于探索一些開放性的、非常規(guī)的實際問題與數學問題,體會數學知識之間的聯系,在探索數學問題解決蘊含的數學規(guī)律過程中,發(fā)現問題和提出問題,并運用數學知識與方法分析問題和解決問題.