轉(zhuǎn)化思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

文/陳銀珠

引 言

新課程改革對各個(gè)學(xué)科的教學(xué)都提出了較高的要求。數(shù)學(xué)作為一門貫穿小學(xué)、初中、高中乃至大學(xué)的重要學(xué)科，教師在教學(xué)過程中并非單純地為學(xué)生傳授知識與技能，而是應(yīng)該善于應(yīng)用思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力[1]。轉(zhuǎn)化思想是一種將待解決和未解決的問題通過轉(zhuǎn)化、歸納、總結(jié)成易解決和已解決的問題，達(dá)到順利且高效解決問題的目的。初中生抽象思維和邏輯思維能力較為薄弱，教師應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想能夠幫助學(xué)生將陌生復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單熟悉的解題形式，提高學(xué)習(xí)和解題的效率，實(shí)現(xiàn)預(yù)期的課程目標(biāo)。

一、化繁為簡，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

教師在為學(xué)生傳授數(shù)學(xué)知識的同時(shí)，需要為學(xué)生傳授一些技巧，減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)壓力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)信心。目前大部分初中生在學(xué)習(xí)中能熟練掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，卻在運(yùn)用知識分析和解決問題時(shí)頻繁出現(xiàn)問題。究其原因，多半是學(xué)生未能真正掌握轉(zhuǎn)化的思想方法[2]。

對此，教師在日常教學(xué)過程中應(yīng)積極引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，讓學(xué)生在解決問題時(shí)能夠做到化繁為簡，提高解題效率，增強(qiáng)思維能力。與此同時(shí)，教師還要善于激發(fā)學(xué)生探究數(shù)學(xué)知識的興趣，全面調(diào)動學(xué)生參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極性和主動性。

例如，若x1和x2是方程x2+x-1=0 的兩個(gè)根，求出的值。由題意可知，雖然題干直接給出了x1和x2是方程x2+x-1=0 的兩個(gè)根這一條件，卻無法直接求出x1與x2的值，自然也無法得出x21+x22的值。教師在教學(xué)過程中可引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用完全平方公式，對x21+x22進(jìn)行變形。這樣學(xué)生不但能了解根與系數(shù)的關(guān)系，而且鞏固了完全平方公式的知識。

又如，已知x2+x-1=0，求出x3+2x2+2009 的值。題干并未直接給出x的值，我們可將原式變形為x(x2+x-1)+(x2+x-1)+1+2009，從而得出答案。

上述類型的問題通常無法通過直接求解而得出答案。教師可以引導(dǎo)學(xué)生在分析問題和解決問題時(shí)巧妙地運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，化未知為已知，提高解題的效率和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。

二、以舊引新，深化知識理解

眾所周知，數(shù)學(xué)知識有從特殊到一般的規(guī)律。換言之，就是通過分析特殊情況去挖掘知識涵蓋的普遍規(guī)律。初中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過程中往往會慣性地運(yùn)用特殊的題目，引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行分析，并歸納總結(jié)普遍的特征。然而，縱觀初中生的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀，大部分學(xué)生在分析和解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，無法較好地應(yīng)用從特殊到一般的轉(zhuǎn)化思想，甚至不知如何轉(zhuǎn)變，在解題過程中受阻，長此以往會降低探究數(shù)學(xué)知識的興趣。

對此，初中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過程中應(yīng)主動為學(xué)生傳授轉(zhuǎn)化的思想方法，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般，再從一般到特殊這一過程，使學(xué)生在強(qiáng)化思維能力的同時(shí)高效解決問題。以勾股定理為例，教師可以分別從以下方面展開教學(xué)。

首先，創(chuàng)設(shè)情境，提出問題：“此前我們已學(xué)過三角形的相關(guān)知識。已知一個(gè)直角三角形兩條直角邊為6和8，請問該如何知道直角三角形斜邊的長度？”學(xué)生表示可運(yùn)用畫圖測量第三邊的長度。教師回應(yīng)道：“這確實(shí)是一種方式，然而這種方式的弊端在于畫圖與測量會存在誤差，因而無法準(zhǔn)確地解決上述問題。請問還有其他方式可得到斜邊長度嗎？”教師在上述教學(xué)過程中，從學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)著手，有效地激發(fā)學(xué)生探究知識的興趣，成功地引出新知。

其次，實(shí)踐探索：“我們可以運(yùn)用哪種方式來探求直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系？”學(xué)生相互討論，課堂氣氛極其熱烈，但未討論出結(jié)果。教師繼續(xù)引導(dǎo)：“誰知道以前在學(xué)習(xí)時(shí)運(yùn)用哪些公式可求出圖形的面積？”有的學(xué)生指出單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，也有的學(xué)生指出多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式。教師提示：“是否還有平方差公式與完全平方公式？”學(xué)生回答：“是的”。隨即，教師運(yùn)用PPT 為學(xué)生展示圖1 和圖2 所示圖形，要求學(xué)生結(jié)合圖形分別解釋平方差及完全平方式公式表示的含義。

圖1

圖2

對于圖1，左圖陰影部分的面積為a2-b2，右圖陰影部分的面積為(a-b)(a+b)，兩個(gè)圖陰影部分的面積大小相等，即，a2-b2=(a-b)(a+b)。圖2 中，大正方形的面積可表示為(a+b)2，等于內(nèi)部兩個(gè)小正方形和兩個(gè)小長方形的面積，即(a+b)2=a2+2ab+b2。

上述的教學(xué)方式是先帶領(lǐng)學(xué)生回顧舊知，提升學(xué)生解決問題的信心。該題目有一定的難度，因此教師可以給學(xué)生提供解決問題的思路，為其后續(xù)的自主探究做好鋪墊。

最后，教師可以讓每位學(xué)生在紙上畫一個(gè)等腰直角三角形，并以該直角三角形的各邊為一邊向外分別作三個(gè)正方形，在計(jì)算三個(gè)正方形面積的同時(shí)，讓學(xué)生猜想三個(gè)正方形的面積與圍成直角三角形三條邊間的數(shù)量關(guān)系（如圖3 所示）。

圖3

由圖3 可直觀地看到，兩個(gè)小正方形陰影部分的面積剛好等于大正方形陰影部分的面積，分別對應(yīng)直角三角形三邊的平方。

在上述教學(xué)過程中，教師讓學(xué)生畫出多個(gè)特殊的直角三角形，并借助面積法猜想直角三角形三邊關(guān)系，讓學(xué)生經(jīng)歷了從特殊到一般的思維過程。學(xué)生根據(jù)教材自主學(xué)習(xí)的提示，對圖形進(jìn)行“割補(bǔ)”，將無法利用網(wǎng)格線直接計(jì)算面積的圖形轉(zhuǎn)化為可直接計(jì)算面積的圖形，再經(jīng)歷計(jì)算網(wǎng)格中圖形的面積（特殊）至無網(wǎng)格圖形的面積（一般）這一過程，成功地驗(yàn)證了猜想。

三、分解轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)思維能力

初中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過程中應(yīng)改變以往陳舊的觀念，積極地運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，幫助學(xué)生高效地理解和記憶知識，提高解題能力。分解轉(zhuǎn)化是轉(zhuǎn)化思想方法之一，所謂分解轉(zhuǎn)化其實(shí)就是一種將一個(gè)難度較大的問題分解為多個(gè)簡單小問題的方法。教師在具體的教學(xué)中可適當(dāng)設(shè)置一些問題障礙，強(qiáng)化學(xué)生運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想的意識。

例如，某個(gè)商場計(jì)劃購買電梯，從兩個(gè)電梯供貨商了解，相同型號的電梯報(bào)價(jià)為6000 元且兩個(gè)供貨商有著不同的優(yōu)惠力度。其中，A 廠商提出的優(yōu)惠條件為：首臺電梯按照原價(jià)收費(fèi)，剩余電梯收取原價(jià)的95%；B 廠商提供的優(yōu)惠條件為：每個(gè)電梯收取原價(jià)的95%。請問何種情況下在A 廠商購買電梯更為優(yōu)惠？

學(xué)生要想解決上述這一問題就可運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，即先列出A、B 兩個(gè)供貨商的收費(fèi)價(jià)格Y與購買電梯數(shù)量x之間的關(guān)系式，最后滿足“A 廠商價(jià)格低于B 廠商價(jià)格”這個(gè)不等關(guān)系，從而得出答案。通過上述的教學(xué)案例可知，學(xué)生在解決綜合性較強(qiáng)的應(yīng)用題時(shí)可以先將問題化解為多個(gè)小問題，通過解答小問題實(shí)現(xiàn)深入研究，進(jìn)而成功解題。

四、數(shù)形轉(zhuǎn)化，鍛煉解題能力

數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)化是初中數(shù)學(xué)中應(yīng)用較為廣泛的轉(zhuǎn)化，包括數(shù)向形的轉(zhuǎn)化和形向數(shù)的轉(zhuǎn)化兩類。其中，由數(shù)向形轉(zhuǎn)化可使問題變得更為直觀，降低理解難度。而形向數(shù)的轉(zhuǎn)化主要借助坐標(biāo)系實(shí)現(xiàn)，可讓學(xué)生更深入地研究形之間的關(guān)系。在教學(xué)實(shí)踐中，教師要做好相關(guān)例題講解，提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)形轉(zhuǎn)化解題的意識。例如，在講解反比例函數(shù)知識時(shí)，教師可聯(lián)系學(xué)生所學(xué)的一次函數(shù)知識，設(shè)計(jì)如下問題。

在解答該題時(shí)，學(xué)生需要根據(jù)題意畫出對應(yīng)圖形，將數(shù)之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為形之間的關(guān)系，展示出相關(guān)坐標(biāo)之間的內(nèi)在聯(lián)系，通過計(jì)算得出答案，解題過程如下。

根據(jù)題意畫出如圖4 所示圖形，過點(diǎn)A、點(diǎn)B均在x軸作垂線，垂足分別為A1、B1。過點(diǎn)C向BB1作垂線，垂足為C1。

圖4

因BC所在直線由x向上平移4 個(gè)單位得到，因此，對應(yīng)直線且和直線平行。由平行線的性質(zhì)可知∠BCC1=∠AOA1，則直角△BCC1∽△AOA1，由OA=3BC可得設(shè)則a=3b，則A點(diǎn)坐標(biāo)為因A、B兩點(diǎn)均在曲線上，則解得b=1 或0（舍去），則，則選擇D 項(xiàng)。顯然，學(xué)生通過數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，借助三角形的相似順利地找到了坐標(biāo)之間的關(guān)系，達(dá)到了化抽象為具體，提高解題效率的目的。

五、動靜轉(zhuǎn)化，提升解題技巧

動點(diǎn)是初中數(shù)學(xué)非常重要的一類題型，因點(diǎn)的具體坐標(biāo)不確定，很多學(xué)生遇到相關(guān)習(xí)題不知如何解答。實(shí)際上，運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想，實(shí)現(xiàn)動靜轉(zhuǎn)化，可迅速找到解題的切入點(diǎn)，達(dá)到事半功倍的效果。例如，在二次函數(shù)教學(xué)時(shí)，教師可為學(xué)生講解如下例題。

圖5

該題屬于動點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵在于化動為靜。已知拋物線方程為可知其關(guān)于y軸對稱，則原點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，AO=OB。同時(shí)，Q為線段PA的中點(diǎn)，因此，連接BP，則OQ為△ABP的中位線，即要求線段OQ的最大值，只需求BP的最大值。顯然，當(dāng)BP的連線過點(diǎn)C，即過圓心時(shí)BP的值最大，因此只需求出BC兩點(diǎn)的長度加上圓的半徑。令解得x1=4，x2=-4，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4，0)，則而圓C的半徑為2，因此BP=5+2=7，則OQ的最大值為，選擇C 項(xiàng)。該題看似無從下手，但只要認(rèn)真分析給出的圖形，回顧三角形中位線的性質(zhì)，化動為靜，通過求解兩點(diǎn)間距離，就能順利解題。

結(jié) 語

總之，在初中數(shù)學(xué)中應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想符合新課程標(biāo)準(zhǔn)提出的“發(fā)展學(xué)生思維能力和提升綜合水平”的目標(biāo)，更符合初中數(shù)學(xué)教育大綱的要求。與此同時(shí)，該思維方式大多以辯證的方式呈現(xiàn)，能夠激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，極大地提高數(shù)學(xué)教學(xué)的效率和質(zhì)量，為學(xué)生更高層次的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。