思維提升從“畫”中來
——關(guān)于小學(xué)數(shù)學(xué)畫圖的思考

趙萬丹 錢 錦 毛鵬萊

數(shù)學(xué)是一門研究數(shù)量關(guān)系與空間形式的學(xué)科?，F(xiàn)實(shí)生活當(dāng)中蘊(yùn)含著大量與數(shù)量和圖形有關(guān)的問題?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》提出，義務(wù)教育階段要培養(yǎng)的學(xué)生核心素養(yǎng)有以下三個(gè)方面：第一，會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界；第二，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界；第三，會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界?！爱嫈?shù)學(xué)”即用數(shù)學(xué)的眼光（抽象能力和幾何直觀）觀察世界，并用數(shù)學(xué)的語言簡(jiǎn)約、直觀地描述現(xiàn)實(shí)世界中的簡(jiǎn)單數(shù)量關(guān)系與空間形式的過程。在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，畫圖貫穿始終。

一、為什么要“畫數(shù)學(xué)”

畫模型、畫流程、畫思維導(dǎo)圖等都可以稱之為“畫數(shù)學(xué)”?！爱嫈?shù)學(xué)”能夠幫助學(xué)生抽象出數(shù)學(xué)的研究對(duì)象及其屬性，形成概念、關(guān)系與結(jié)構(gòu)，理解背后蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理，體會(huì)數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)，能夠讓學(xué)生在數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活中及其他學(xué)科之間構(gòu)建普適的數(shù)學(xué)模型，表達(dá)和解決問題。

例如，在“數(shù)的認(rèn)識(shí)”教學(xué)中，用連線的方法找到數(shù)量之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，并進(jìn)行大小的比較，非常簡(jiǎn)潔明了。在“十以內(nèi)的加減運(yùn)算”教學(xué)中，用大括號(hào)、實(shí)線圈表示合起來，虛線圈、斜杠表示減去，就非常清楚直觀。在“筆算乘法、筆算除法”的教學(xué)中，借助小棒圖、點(diǎn)子圖等，可以讓學(xué)生很清楚地理解算理。

在解決復(fù)雜的問題時(shí)，利用線段等圖形理解數(shù)量關(guān)系，數(shù)形結(jié)合可以有效提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力。如在認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)時(shí)，利用圓、長方形、正方形、線段等圖形進(jìn)行平均分操作，可以使學(xué)生深入理解分?jǐn)?shù)的意義。在進(jìn)行長方體和正方體的表面積教學(xué)時(shí)，學(xué)生先畫出草圖、標(biāo)出數(shù)據(jù)，再進(jìn)行計(jì)算，就不會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤。

二、“畫數(shù)學(xué)”的相關(guān)實(shí)踐

如果在教學(xué)中，教師不教授給學(xué)生長方體、正方體“三視圖”的畫法，也沒有講解過如何標(biāo)注數(shù)據(jù)，同時(shí)，課堂上的畫圖只是“曇花一現(xiàn)”，課后“畫圖”作業(yè)又是空白，那么學(xué)生對(duì)畫圖就會(huì)表現(xiàn)出“躊躇不前”的畏難心理。為了改變老師一再強(qiáng)調(diào)畫圖，而學(xué)生卻不為所動(dòng)的狀態(tài)，并且讓學(xué)生能夠發(fā)自內(nèi)心認(rèn)可畫圖的重要性，自覺自愿地畫圖，教師要利用長方體和正方體這一單元的相關(guān)“畫材”，對(duì)學(xué)生進(jìn)行“畫”的能力訓(xùn)練。教師先示范，然后學(xué)生模仿畫出全圖，標(biāo)出相應(yīng)數(shù)據(jù)。在訓(xùn)練過程中，教師可以結(jié)合抽象程度，給出學(xué)生長方體的長、寬、高，或正方體的棱長等相關(guān)數(shù)據(jù)，讓學(xué)生試著畫出半圖，并利用半圖進(jìn)行表面積、體積的計(jì)算。

（一）畫出區(qū)別——讓概念的理解更加深刻

在長方體和正方體的教學(xué)過程中，學(xué)生對(duì)于表面積和體積涵義的理解上有時(shí)會(huì)發(fā)生混淆的現(xiàn)象，以一道辨析題為例：

例1 辨析題“棱長為6 cm 的正方體表面積和體積相等?！庇械耐瑢W(xué)通過計(jì)算后得出表面積和體積的結(jié)果都為216，因此有的學(xué)生判定這道題是正確的。原因在于學(xué)生錯(cuò)誤地認(rèn)為只要計(jì)算結(jié)果相等，那么這個(gè)正方體的表面積和體積就相等，卻忽略了計(jì)算過程、計(jì)算結(jié)果所蘊(yùn)含的實(shí)際意義。而學(xué)生通過畫圖（圖1、圖2）進(jìn)行辨析，就可以清晰的理解表面積和體積的推導(dǎo)過程和結(jié)果所表達(dá)的不同含義。

圖1

圖2

1.畫圖可以體現(xiàn)出推導(dǎo)過程的不同。雖然二者都用算式“6×6×6”計(jì)算，但是結(jié)合示意圖可以知道，兩個(gè)算式的含義并不相同。求表面積時(shí)的推導(dǎo)過程（圖1），“6× 6”求的是正方體一個(gè)面的面積，再乘以6 求的就是6 個(gè)面的總面積。而求體積時(shí)的推導(dǎo)過程（圖2），“6× 6×6”表示用棱長為1 cm 的小正方體擺出棱長為6 cm 正方體的小正方體的個(gè)數(shù)：一排有幾個(gè),也就是正方體的長是幾厘米；擺了幾排,也就是正方體的寬是幾厘米；有幾層,也就是正方體的高是幾厘米；一共用了幾個(gè)小正方體,小正方體的個(gè)數(shù)也就是正方體的體積推導(dǎo)過程。棱長為6 cm 的正方體體積就相當(dāng)于用棱長為1 cm 的小正方體一行擺6 個(gè)，一層可以擺6 行，一共可以擺這樣的6 層，一共用了216 個(gè)小正方體，即6（厘米）×6（行）×6（層）=216（個(gè)）。

2.畫圖可以體現(xiàn)出推導(dǎo)結(jié)果的不同。圖1 表示的是正方體的6 個(gè)面，其中陰影部分表示的是一個(gè)面的表面積，因此，可以很清晰地看出，正方體表面積表示的是正方體6 個(gè)面的面積之和，即棱長× 棱長，單位是cm。圖2 表示的是216 個(gè)小正方體擺出的正方體的大小，很顯然體積表示物體所占空間的大小，即棱長×棱長×棱長，體積的單位是cm。

（二）畫出聯(lián)系——讓整體與部分的關(guān)系更加清晰

例2“劉叔叔將一個(gè)長方體的木塊垂直于高裁去3 cm 后，木塊的表面積減少了60 cm，變成了一個(gè)正方體，原來長方體木塊的體積是多少？”根據(jù)問題，我們要想知道體積，就必須知道長、寬、高。這一問題，通過畫圖（圖3）就可以輕松解決。通過畫圖可以看出，減少的表面積等于裁去長方體木塊前、后、左、右4 個(gè)面面積之和即60 cm。而長方體裁去一部分后變成正方體，說明原長方體的長和寬相等（即裁去長方體的4 個(gè)側(cè)面面積相等），并且比高少3 cm。列式如下：

圖3

長方體的長、寬（截取之后正方體的棱長）：60÷4÷3=5 cm；

長方體的高：5+3=8 cm；

因此體積=5×5×8=200 cm。

學(xué)生畫出了圖之后，并標(biāo)明具體的數(shù)據(jù)，很快就可以看出整體與部分的關(guān)系，通過整理已知條件和問題，輕而易舉地實(shí)現(xiàn)文字信息—想象—圖形信息的轉(zhuǎn)換。

（三）畫出多種情境——讓數(shù)學(xué)思維得到深化

在長方體和正方體中教學(xué)中，還涉及到切割和拼接后，增加了切割面，同時(shí)體積大小也發(fā)生了變化。

例3“兩個(gè)完全相同的小長方體，長6 cm，寬5 cm，高3 cm，用它們拼成一個(gè)表面積最小的長方體，拼成后的長方體的體積是多少立方厘米？”兩個(gè)相同的長方體拼在一起，一共有三種拼法。哪一種拼法拼成后表面積最小呢？其實(shí)拼接問題也可以看作是切割問題，即把兩個(gè)長方體拼接在一起可以看作是把一個(gè)長方體切割成兩個(gè)長方體。我們把拼接問題轉(zhuǎn)化成切割問題后，問題就變成了有幾種切割方法，哪種切割方法增加的表面積最小。我們可以預(yù)設(shè)三種切割方法：

預(yù)設(shè)1：長方體沿垂直于長的方向切一刀（圖4），分成兩個(gè)完全一樣的長方體。

圖4

預(yù)設(shè)2：沿垂直于寬的方向切一刀（圖5），分成兩個(gè)完全一樣的長方體。

圖5

預(yù)設(shè)3：沿垂直于高的方向切一刀（圖6），分成兩個(gè)完全一樣的長方體。

圖6

比較哪種預(yù)設(shè)切法表面積增加的最多？哪種切法表面積增加的最少？

由畫圖可知，沿垂直于高的方向切一刀（圖6）表面積增加的最多。因?yàn)樵黾拥膬蓚€(gè)面，每個(gè)面的面積都等于長方體表面的6 個(gè)面中面積最大的面（此題中為上、下面）。因此，學(xué)生能夠很快想出要滿足“表面積最小”這一條件，則需要把兩個(gè)小長方體中最大的面拼接在一起。也就是把兩個(gè)長為6 cm，寬為5 cm的面拼接在一起，也即圖6切法。我們也分3種情況（圖7）進(jìn)行討論驗(yàn)證，同樣驗(yàn)證了，表面積最大的面拼接（圖7中的②），即沿垂直于高的切割方法（圖6）得到了最小的表面積。拼接后大長方體的長為6 cm、寬為5 cm、高為3+3=6（cm）。

圖7

三、怎樣“畫數(shù)學(xué)”

（一）畫出關(guān)鍵條件，充分發(fā)揮“畫數(shù)學(xué)”的直觀性優(yōu)勢(shì)

在實(shí)際的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，對(duì)于有畫圖條件的題，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生將問題中的關(guān)鍵條件畫出來，讓學(xué)生充分感知到幾何直觀，培養(yǎng)學(xué)生良好的“畫數(shù)學(xué)”習(xí)慣。引導(dǎo)學(xué)生在今后的學(xué)習(xí)過程中，通過畫圖來分析問題、解決問題，從而促進(jìn)幾何直觀思維的培養(yǎng)。

以一年級(jí)的排隊(duì)問題為例，例4“小朋友們排隊(duì)做游戲，從左往右數(shù)，樂樂排第十，從右往左數(shù)，樂樂排第五，這排一共有多少名同學(xué)？”大部分學(xué)生都是用10+5=15（人）。此時(shí)再引導(dǎo)學(xué)生用畫圖的方法進(jìn)行驗(yàn)證，先用△確定為題目中的“樂樂”，再用不同的圖形，如○等表示出從左開始數(shù)的前九個(gè)人，從右開始數(shù)的前四個(gè)人。從圖中可以發(fā)現(xiàn)，樂樂被算了兩次，因此，正確列式為：10 + 5 - 1 = 14（人）。通過比較兩次的解題過程引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：第一次列式計(jì)算得到的結(jié)果存在誤差，而用畫圖的方法能夠既快速又正確的得到答案，由此讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到畫圖對(duì)理解較為復(fù)雜、抽象的題目，起到了十分重要的作用。

（二）營造“畫數(shù)學(xué)”的氛圍，促使學(xué)生主動(dòng)“畫數(shù)學(xué)”

在具體教學(xué)中數(shù)學(xué)教師應(yīng)利用例題、習(xí)題中現(xiàn)有的“畫圖”資源，通過對(duì)比分析，向?qū)W生闡明“畫數(shù)學(xué)”在解決問題時(shí)的優(yōu)勢(shì)，并創(chuàng)造條件讓學(xué)生進(jìn)行有效應(yīng)用。對(duì)能闡明數(shù)學(xué)本質(zhì)的優(yōu)秀作品進(jìn)行講解，給予適當(dāng)表揚(yáng)和獎(jiǎng)勵(lì)，通過正強(qiáng)化促使學(xué)生增加“畫數(shù)學(xué)”這一行為出現(xiàn)的頻率，對(duì)于存在缺陷的畫圖給予學(xué)生引導(dǎo)和指正，不斷提高學(xué)生的畫圖能力，營造“畫數(shù)學(xué)”的氛圍，促使學(xué)生自覺自愿地畫圖。

在學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)的相關(guān)內(nèi)容以后，教師可以設(shè)計(jì)這樣的題目，例5“有一盤餃子，小立吃了這盤餃子的2/5，小會(huì)吃了剩下的2/5，誰吃得多？”以下是三位學(xué)生的解答。學(xué)生1：五分之二表示把單位“1”平均分成5 份，取了其中的2 份。單位“1”大的，每份的數(shù)量就大，那么5 份當(dāng)中的2 份也就比較大。所以，一盤餃子的五分之二大于剩下部分（五分之三盤餃子）的五分之二，小立吃得多。

學(xué)生1 雖然闡明了原因，并且正確判斷出了小立吃得更多，但我們還可以通過其它辦法來解決這個(gè)問題。而學(xué)生2 學(xué)生3 用不同的畫圖方式（見圖8），不僅將剩下部分的2/5 直觀表示出來，還通過不同的思考過程，將思維外顯。遇到此類題目時(shí)，教師講評(píng)的語言要具有明顯的導(dǎo)向性，以促使學(xué)生在深刻體驗(yàn)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中“畫數(shù)學(xué)”的優(yōu)勢(shì)之后，增強(qiáng)“畫數(shù)學(xué)”的主動(dòng)性。

圖8

（三）采用多樣畫圖方式，優(yōu)化畫圖方法與技巧

在畫數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，即使學(xué)生已經(jīng)充分體悟到了畫的主要特征與優(yōu)勢(shì)，并且能夠主動(dòng)采用畫圖的方法分析問題，解決問題。但是在遇到較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題時(shí)，學(xué)生往往不能很快找到便捷而有效的畫圖方式，甚至?xí)虼死速M(fèi)較多時(shí)間。因此教師除了教會(huì)學(xué)生各種畫圖的方式之外，還應(yīng)展示不同的畫圖技巧。然后讓學(xué)生分析他們之間的區(qū)別、聯(lián)系以及各自的優(yōu)缺點(diǎn)，從而促使學(xué)生掌握更多簡(jiǎn)單易懂的畫圖技巧，為培養(yǎng)和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力提供有力保障。

（四）“畫”“話”結(jié)合，共“hua”本質(zhì)

在“說理”課堂成長起來的孩子是敢于、樂于發(fā)表自己的數(shù)學(xué)理解的，他們不僅“聽得懂、理得透”數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，還“寫得明、說得清”其中的道理。因此，把“畫數(shù)學(xué)”和“說數(shù)學(xué)”相結(jié)合，可以讓課堂由傳統(tǒng)以教為主轉(zhuǎn)變成以學(xué)生的學(xué)為主，讓學(xué)習(xí)真實(shí)發(fā)生。

學(xué)生“畫數(shù)學(xué)”能力的培養(yǎng)并非是一蹴而就的，只有充分挖掘教材中“畫”的資源，在每一次的教學(xué)活動(dòng)中逐步滲透“畫數(shù)學(xué)”的意識(shí)，訓(xùn)練畫數(shù)學(xué)的方法技巧，才能真正實(shí)現(xiàn)以“畫”助力，提升學(xué)生的幾何直觀能力。