預(yù)應(yīng)力混凝土梁斜裂縫傾角的概率計(jì)算模型

張 峰，高華睿，趙國(guó)浩

(1. 山東大學(xué)巖土與結(jié)構(gòu)工程研究中心，山東濟(jì)南 250061；2. 山東高速建設(shè)管理集團(tuán)有限公司，山東濟(jì)南 250002)

0引 言

預(yù)應(yīng)力混凝土梁(PC)的抗剪試驗(yàn)變量多，試件加工復(fù)雜，臨界斜裂縫傾角嚴(yán)重影響抗剪承載力的計(jì)算結(jié)果。斜裂縫傾角不同，裂縫穿過的箍筋數(shù)量不同；斜裂縫的傾角影響斜裂縫面上的混凝土骨料咬合力，進(jìn)而影響抗剪試驗(yàn)結(jié)果。肖光宏等[1]試驗(yàn)研究認(rèn)為，施加預(yù)應(yīng)力能提高斜截面抗剪強(qiáng)度，預(yù)應(yīng)力降低了斜縫傾角，增加了混凝土剪壓區(qū)的高度，并改善了骨料咬合性能，因而綜合提高了混凝土的抗剪能力，通?？商岣?0%～30%。彭天明等[2]認(rèn)為預(yù)應(yīng)力對(duì)抗剪強(qiáng)度的提高一般為20%～30%。因此，PC梁斜裂縫傾角會(huì)影響箍筋與混凝土的傳力機(jī)理，是PC梁抗剪承載力分析無(wú)法避開的重要參數(shù)。

已有規(guī)范對(duì)于預(yù)應(yīng)力混凝土梁斜裂縫傾角的定義方法有所差異。AASHTO規(guī)范[3]給出了PC梁斜裂縫傾角的計(jì)算公式，公式中將裂縫傾角和縱向預(yù)應(yīng)力作用下梁體1/2梁高位置的應(yīng)變聯(lián)系起來(lái)，該方法被加拿大規(guī)范[4]采用。中國(guó)公路橋梁規(guī)范認(rèn)為斜裂縫的水平投影長(zhǎng)度等于0.6倍的廣義剪跨比和梁截面有效高度的乘積。車惠民等[5]通過試驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)，PC梁的剪跨比為3時(shí)，2片試驗(yàn)梁斜裂縫的投影長(zhǎng)度為1.5倍有效梁高，其計(jì)算需要通過迭代方能最終準(zhǔn)確確定斜裂縫的傾角，過程繁瑣。中國(guó)《混凝土結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》[6]對(duì)集中荷載和均布荷載作用下的抗剪承載力分別給了設(shè)計(jì)條文，其中集中荷載作用下含有剪跨比參數(shù)，但是斜裂縫的傾角均采用45°近似，ACI規(guī)范[7]亦采納45°角度。Pan等[8]提出了RC梁的斜裂縫傾角計(jì)算公式，裂縫傾角僅和縱向鋼筋和箍筋配筋率相關(guān)，計(jì)算公式突破了以往計(jì)算公式需要迭代計(jì)算的缺陷，但是僅針對(duì)RC梁，對(duì)PC梁的適用性還有待深入研究。孟少平等[9]對(duì)GB 50010—2010規(guī)范、ACI規(guī)范、加拿大CSA規(guī)范的抗剪條文進(jìn)行了介紹，其中ACI規(guī)范通過查表來(lái)確定斜裂縫的傾角。

對(duì)于確定PC梁斜裂縫的角度，試驗(yàn)研究是最為有效的方法。張開敬等[10]認(rèn)為，隨預(yù)應(yīng)力值的增加，剪跨內(nèi)第一條斜裂縫在中性軸附近的傾角逐漸減小。鮑旭初等[11]針對(duì)20 m后張法寬幅空心板梁?jiǎn)瘟洪_展抗剪破壞試驗(yàn)，給出了不同荷載等級(jí)下的裂縫擴(kuò)展變化規(guī)律。De Silva等[12]對(duì)3片RC工字梁和4片PC工字梁開展了試驗(yàn)研究，重點(diǎn)分析了預(yù)應(yīng)力大小、混凝土保護(hù)層厚度、箍筋間距、箍筋的黏結(jié)特性及縱向鋼筋配筋率對(duì)裂縫寬度的影響。研究表明：預(yù)應(yīng)力有效降低了裂縫寬度，提出了裂縫寬度的計(jì)算表達(dá)式。De Wilder等[13]對(duì)11根矩形梁和12根工字形梁采用分配梁加載，研究了PC梁的抗剪性能，給出了最終的斜裂縫圖形，發(fā)現(xiàn)已有的抗剪承載力預(yù)測(cè)結(jié)果和試驗(yàn)結(jié)果偏差較大，試驗(yàn)值和預(yù)測(cè)值比值的平均值達(dá)到1.77，變異系數(shù)達(dá)到0.316。Di等[14]對(duì)20、16、10 m的PC先張法空心板梁進(jìn)行了抗剪破壞試驗(yàn)，其中7片梁給出了最終裂縫擴(kuò)展照片。Zheng等[15]針對(duì)活性粉末粉煤灰混凝土梁開展抗剪試驗(yàn)研究，對(duì)8片PC預(yù)應(yīng)力混凝土T梁進(jìn)行了試驗(yàn)加載和理論研究。Wang等[16]給出了4片15.6 m計(jì)算跨徑的PC空心板梁的抗剪試驗(yàn)測(cè)試結(jié)果，并結(jié)合拱-桁架模型提出了PC梁的抗剪承載力計(jì)算公式。Kim[17]對(duì)6片T形PC梁開展抗剪試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)彎起預(yù)應(yīng)力鋼束對(duì)裂縫控制更為有效，需要進(jìn)一步重視正常使用階段斜裂縫對(duì)服役性能的影響。賈艷敏等[18]統(tǒng)計(jì)了3片16 m的PC空心板梁抗剪破壞時(shí)斜裂縫的角度。胡勇[19]設(shè)計(jì)了4根縮尺比為1∶2的預(yù)制裝配整體式混凝土梁和2根現(xiàn)澆混凝土梁，通過兩點(diǎn)靜力對(duì)稱加載的方法對(duì)其抗剪性能進(jìn)行了研究分析，統(tǒng)計(jì)了3片PC梁的裂縫擴(kuò)展圖。

綜上所述，可得到以下結(jié)論：

(1)PC梁抗剪分析中預(yù)應(yīng)力對(duì)梁體抗剪能力的提升程度有差別。

(2)不同的規(guī)范對(duì)斜裂縫傾角定義差異較大，有的規(guī)范直接給出為45°(ACI規(guī)范、GB 50010—2010規(guī)范)，有的規(guī)范給出了較為復(fù)雜的表達(dá)式(AASHTO規(guī)范)，有的規(guī)范定義給計(jì)算帶來(lái)不便，需要迭代計(jì)算。已有研究提出了簡(jiǎn)化的斜裂縫傾角計(jì)算公式，但是僅針對(duì)RC梁，對(duì)PC梁的適用性存疑。

PC梁的斜裂縫傾角計(jì)算差異較大，本文基于PC空心板梁抗剪試驗(yàn)的15個(gè)斜裂縫傾角樣本，結(jié)合已有的文獻(xiàn)試驗(yàn)測(cè)試結(jié)果，基于Bayesian后驗(yàn)概率分布，提出對(duì)已有斜裂縫傾角的修正計(jì)算概率模型，為同類型研究提供借鑒。

1貝葉斯統(tǒng)計(jì)計(jì)算方法

1.1貝葉斯基本理論

貝葉斯定理通過機(jī)器學(xué)習(xí)，將先驗(yàn)概率分布轉(zhuǎn)化為后驗(yàn)分布[20]。

貝葉斯基本公式為[21]

(1)

式中：H為假設(shè)；D為數(shù)據(jù)；p(H)為先驗(yàn)概率；p(D)為邊緣概率；p(D|H)為后驗(yàn)概率。

1.2MCMC方法

如果先驗(yàn)分布不是共軛先驗(yàn)分布，那么后驗(yàn)分布往往不再是標(biāo)準(zhǔn)的分布。因此，需要計(jì)算的后驗(yàn)分布數(shù)字特征往往沒有顯式表達(dá)，這就需要一些特殊的方法。

圖1接受-拒絕采樣Fig.1Accept-reject Sampling

使用接受-拒絕采樣，可以解決一些概率分布不是常見的分布，得到其采樣集并用蒙特卡洛方法求和，但是接受-拒絕采樣也只能部分滿足需求，在很多時(shí)候還是很難得到需要的概率分布樣本集。比如對(duì)于一些高維的復(fù)雜非常見分布p(x1,x2,…,xn)，要找到一個(gè)合適的q(x)和k非常困難。

貝葉斯分析主要是通過馬爾科夫鏈-蒙特卡洛(Markow Chain Monte Carlo,MCMC)方法進(jìn)行。相比接受-拒絕采樣方法，MCMC方法的采樣效率更高。M-H(Metropolis-Hastings)是MCMC方法的易用版，算法過程如下[20]：

(1)輸入任意選定的馬爾科夫鏈狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Q，平穩(wěn)分布π(x)，設(shè)定狀態(tài)轉(zhuǎn)移次數(shù)閾值n1和需要的樣本個(gè)數(shù)n2。

(2)從任意簡(jiǎn)單概率分布采樣得到初始狀態(tài)值x0。

2PC梁斜裂縫傾角先驗(yàn)?zāi)Ｐ?/h2>

He等[22]斜裂縫傾角θu采用公式(2)、(3)計(jì)算。

θu=arccot-1[0.18-0.63ln(ω)]

(2)

(3)

圖2統(tǒng)計(jì)了有腹筋梁斜裂縫角度的計(jì)算結(jié)果。分析圖2可以看出：對(duì)于有腹筋梁而言，斜裂縫角度預(yù)測(cè)值θp和試驗(yàn)值θt比值的平均值為0.88，標(biāo)準(zhǔn)差為0.12，總體預(yù)測(cè)效果較好，故將He公式作為裂縫公式的先驗(yàn)?zāi)Ｐ汀?/p>

圖2He公式計(jì)算結(jié)果分布Fig.2Distribution of Calculation Results of He Formula

3PC梁斜裂縫傾角后驗(yàn)?zāi)Ｐ?/h2>

He公式表明，斜裂縫的傾角和箍筋配筋率、箍筋強(qiáng)度和混凝土強(qiáng)度相關(guān)，而斜裂縫的傾角還和預(yù)應(yīng)力及剪跨比密切相關(guān)。

Naaman[23]提出了指標(biāo)IPPR，描述預(yù)應(yīng)力的影響，采用公式(4)進(jìn)行計(jì)算。

(4)

式中：As為受拉鋼筋的截面面積；Aps為鋼絞線的截面面積；fps為鋼絞線的屈服應(yīng)力；fy為受拉鋼筋的屈服應(yīng)力。

已有文獻(xiàn)研究表明：初始預(yù)應(yīng)力越大，斜裂縫傾角越小。IPPR參數(shù)使用了預(yù)應(yīng)力鋼絞線的屈服應(yīng)力參數(shù)，無(wú)法體現(xiàn)初始有效預(yù)應(yīng)力的影響。因此，本文提出修正的PR指標(biāo)，描述預(yù)應(yīng)力的影響，即

最后是公安信息化的效用問題。公安信息化并沒有減輕基層民警的負(fù)擔(dān)，提高基層警務(wù)的效能，反而，層出不窮的信息系統(tǒng)和信息采集大會(huì)戰(zhàn)，逼迫基層民警重復(fù)采集、重復(fù)錄入，與此形成鮮明對(duì)比的是:在我們建起的貌似浩如煙海的海量數(shù)據(jù)庫(kù)面前，民警卻找不到有用的數(shù)據(jù)，增加的只是負(fù)擔(dān)，而沒有品嘗到信息化的“甜頭”，于是乎應(yīng)付和造假不可避免，你搞你的采集大會(huì)戰(zhàn)，我玩我的倒庫(kù)游戲，在這種現(xiàn)象面前，我們先不要責(zé)怪民警的素質(zhì)低，而要深刻反思為什么公安信息化沒有發(fā)揮出應(yīng)有的效能?是不是我們的組織和建設(shè)出現(xiàn)了問題?

(5)

式中：fpo為鋼絞線的初始預(yù)應(yīng)力。

根據(jù)規(guī)范[24]的描述，截面尺寸等一般可以用確定參數(shù)分析，鋼筋強(qiáng)度變異系數(shù)取值為0.08，混凝土強(qiáng)度(C30等級(jí)以上的混凝土)變異系數(shù)取值為0.12。

(6)

式中:σ為模型進(jìn)行修正后仍存在的誤差;ε為正態(tài)隨機(jī)變量。

更新He等[22]斜裂縫傾角計(jì)算公式為

2k4arccot[0.18-0.63ln(ω)]

(7)

式中：k1、k2、k3、k4為待定系數(shù)。

由圖3可知，該后驗(yàn)分布密度函數(shù)曲線接近于正態(tài)分布的函數(shù)曲線，參數(shù)估計(jì)值會(huì)在最大概率處取到它的固定值。利用PYMC3模擬出來(lái)的馬爾科夫鏈在運(yùn)行5 000次迭代分析后，后驗(yàn)樣本會(huì)趨于一個(gè)固定值，表明該鏈最終達(dá)到收斂，該值就是待估參數(shù)的統(tǒng)計(jì)值。計(jì)算得到的4個(gè)待定系數(shù)見表1。

表1待定系數(shù)計(jì)算結(jié)果Table 1Calculation Result of Undetermined Coefficient

將待定系數(shù)平均值代入式(7)，得到修正后的斜裂縫傾角后驗(yàn)?zāi)Ｐ褪?8)。

20.61arccot[0.18-0.63ln(ω)]

(8)

根據(jù)式(8)計(jì)算修正后的斜裂縫傾角，預(yù)測(cè)結(jié)果見表2。依據(jù)表2的數(shù)據(jù)分析He公式計(jì)算值和實(shí)測(cè)值的比值，結(jié)果見圖4。

分析圖4可以得到：

(1)He公式預(yù)測(cè)值和試驗(yàn)值比值的均值和變異系數(shù)分別為0.68和0.26，而經(jīng)過貝葉斯修正后，所得的預(yù)測(cè)值和試驗(yàn)值比值的均值和變異系數(shù)分別為0.98和0.25。二者方差接近，說(shuō)明離散程度相同，而后者的均值更接近1，說(shuō)明修正后的斜裂縫傾角更接近試驗(yàn)值。

(2)本文建議模型的計(jì)算值與試驗(yàn)值吻合良好，經(jīng)過修正后的裂縫傾角較原公式計(jì)算結(jié)果更接近試驗(yàn)值。先驗(yàn)?zāi)Ｐ陀?jì)算值與貝葉斯更新后的計(jì)算值整體分布相近，說(shuō)明了貝葉斯方法很好地繼承了歷史先驗(yàn)?zāi)Ｐ图皡?shù)先驗(yàn)信息的發(fā)展趨勢(shì)，這可避免試驗(yàn)數(shù)據(jù)的離散性對(duì)模型準(zhǔn)確性的過大干擾。同時(shí)，貝葉斯模型與歷史先驗(yàn)?zāi)Ｐ陀幸欢ǖ钠x，這種偏離正是貝葉斯方法較好地利用了自然信息準(zhǔn)確性好的優(yōu)勢(shì)，對(duì)先驗(yàn)信息進(jìn)行更新，使更新后的預(yù)測(cè)結(jié)果更加接近試驗(yàn)結(jié)果[27]。

4PC梁斜裂縫傾角后驗(yàn)?zāi)Ｐ万?yàn)證

本節(jié)基于預(yù)應(yīng)力混凝土空心板梁的試驗(yàn)測(cè)試結(jié)果，進(jìn)行斜裂縫傾角的計(jì)算。

4.1PC空心板梁抗剪試驗(yàn)方案

先張法預(yù)應(yīng)力混凝土空心板梁截面形狀復(fù)雜，預(yù)應(yīng)力對(duì)抗剪性能提升無(wú)法準(zhǔn)確確定，抗剪性能影 響因素多，有必要進(jìn)一步開展研究?；诩扔懈咚俟犯臄U(kuò)建項(xiàng)目拆除的10、13、16、20 m跨徑先張法預(yù)應(yīng)力混凝土空心板梁，開展PC梁斜裂縫傾角后驗(yàn)?zāi)Ｐ万?yàn)證，梁橫截面(無(wú)鋪裝)見圖5。

圖3模型參數(shù)的模擬軌跡圖和后驗(yàn)密度圖Fig.3Simulation Trajectory Diagram and Posterior Density Diagram of Model Parameters

圖4預(yù)測(cè)值和試驗(yàn)值的比值Fig.4Ratio of Predicted Value to Test Value

基于2 000 kN液壓伺服加載系統(tǒng)，采用位移加載方式對(duì)試驗(yàn)梁進(jìn)行分級(jí)加載，共進(jìn)行15次抗剪試驗(yàn)，試驗(yàn)裝置見圖6、7。

4.2PC空心板梁斜裂縫傾角測(cè)試結(jié)果

統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)得到的PC空心板梁斜裂縫傾角，見表3。通過表3可以看出，剪跨比、有效預(yù)應(yīng)力參數(shù)的不同均會(huì)引起PC梁斜裂縫的差異。

4.3后驗(yàn)?zāi)Ｐ万?yàn)證

基于PC空心板梁抗剪試驗(yàn)得到的斜裂縫傾角，對(duì)本文提出的后驗(yàn)?zāi)Ｐ蚚式(8)]進(jìn)行驗(yàn)證，計(jì)算 結(jié)果見表4。統(tǒng)計(jì)PC梁斜裂縫傾角后驗(yàn)?zāi)Ｐ陀?jì)算值和試驗(yàn)值的比值，見圖8。

表2He公式計(jì)算結(jié)果Table 2He Formula Calculation Results

圖5PC梁橫截面示意圖(單位:cm)Fig.5Schematic Diagram of PC Beam Cross Section (Unit:cm)

圖6加載裝置Fig.6Loading Equipment

從圖8可以看出，He公式預(yù)測(cè)值和試驗(yàn)值比值的均值和變異系數(shù)分別為0.57和0.19，本文提出 的PC梁斜裂縫傾角后驗(yàn)?zāi)Ｐ偷念A(yù)測(cè)值和試驗(yàn)值比值的均值和變異系數(shù)分別為0.81和0.21。二者方差接近，說(shuō)明離散程度相同，但后者的均值更接近1，說(shuō)明修正后的斜裂縫傾角更接近試驗(yàn)值，驗(yàn)證了斜裂縫傾角后驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臏?zhǔn)確性。

圖7現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)Fig.7Field Test

5結(jié)語(yǔ)

(1)本文基于Bayesian-MCMC方法，考慮箍筋配筋率、箍筋強(qiáng)度、混凝土抗壓強(qiáng)度、剪跨比、有效預(yù)應(yīng)力參數(shù)，針對(duì)預(yù)應(yīng)力混凝土梁修正了已有的斜裂 縫傾角計(jì)算模型，通過先張法預(yù)應(yīng)力混凝土空心板梁進(jìn)行驗(yàn)證。結(jié)果表明本文所提公式對(duì)先張法預(yù)應(yīng)力混凝土空心板梁具有較好的預(yù)測(cè)效果。

(2)基于已有文獻(xiàn)計(jì)算得到的先驗(yàn)?zāi)Ｐ皖A(yù)測(cè)值和試驗(yàn)值比值的均值和變異系數(shù)分別為0.68和0.26，而經(jīng)過貝葉斯修正后，所得的預(yù)測(cè)值和試驗(yàn)值 比值的均值和變異系數(shù)分別為0.98和0.25。二者方差接近，說(shuō)明離散程度相同，而后者的均值更接近1，說(shuō)明修正后的斜裂縫傾角更接近試驗(yàn)值。

表3試驗(yàn)梁斜裂縫傾角測(cè)試結(jié)果Table 3Test Results of Inclined Crack Angle of Test Beams

表4后驗(yàn)?zāi)Ｐ万?yàn)證Table 4Posterior Model Validation

圖8后驗(yàn)?zāi)Ｐ皖A(yù)測(cè)值和試驗(yàn)值比值Fig.8Ratio of Predicted Value to Test Value of Posterior Model

(3)基于PC空心板梁抗剪試驗(yàn)測(cè)得的斜裂縫傾角，對(duì)本文提出的后驗(yàn)?zāi)Ｐ瓦M(jìn)行驗(yàn)證。He公式預(yù)測(cè)值和試驗(yàn)值比值的均值和變異系數(shù)分別為0.57和0.19，后驗(yàn)?zāi)Ｐ偷念A(yù)測(cè)值和試驗(yàn)值比值的均值和變異系數(shù)分別為0.81和0.21。后驗(yàn)?zāi)Ｐ偷念A(yù)測(cè)值更接近試驗(yàn)值，能夠更加準(zhǔn)確預(yù)測(cè)PC梁斜裂縫傾角。