自極三角形下圓錐曲線定點(diǎn)問題的背景與命題探究

華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(510631) 黃麗純 陳俊陽

1 “自極三角形”模型

在高考試題中,以極點(diǎn)極線理論為背景的圓錐曲線定點(diǎn)問題屢見不鮮,蘊(yùn)含了豐富的解題思想、方法、工具和技巧,是常見的解析幾何難題之一.綜合來看,這些題目可以歸結(jié)在如下的“自極三角形”模型中.

定義[1]對(duì)圓錐曲線Γ: Ax2+ By2+ Cx + Dy + E =0(A2+ B2≠ 0),點(diǎn)Q為不在Γ上的點(diǎn),過點(diǎn)Q引兩條割線依次交Γ于點(diǎn)M,N,M′,N′,連接M′M, NN′交于點(diǎn)P,連接MN′,M′N交于點(diǎn)S,則稱ΔPQS為自極三角形.其中,ΔPQS的每個(gè)頂點(diǎn)和對(duì)邊所在直線為極點(diǎn)和極線的關(guān)系(如圖1).

圖1

特殊地,若點(diǎn)Q是Γ上的點(diǎn),則過點(diǎn)Q的切線即為極線;若點(diǎn)Q是Γ的焦點(diǎn),則點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)的極線為準(zhǔn)線.代數(shù)上,與點(diǎn)Q(x0,y0)(非Γ的中心)對(duì)應(yīng)的極線方程為Ax0x + By0y +++ E = 0.

2 命題背景

以“自極三角形”模型為背景的題目大多與極點(diǎn)極線的兩個(gè)基本定理(定理1, 2)及兩個(gè)特殊定理(定理3, 4)有關(guān),下面給出相關(guān)命題背景.

定理1[2]點(diǎn)Q和直線l是圓錐曲線Γ的一對(duì)極點(diǎn)和極線,M′N′是過點(diǎn)Q的割線, MN是另一條割線, M′M和NN′相交于點(diǎn)P.則點(diǎn)P在l上的充要條件是MN過點(diǎn)Q(如圖2).

圖2

切線是割線的極限情形,于是有定理2.

定理2點(diǎn)Q和直線l是圓錐曲線Γ的一對(duì)極點(diǎn)和極線, MN是曲線Γ的割線,Γ在M, N兩點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)P.則點(diǎn)P在l上的充要條件是MN過點(diǎn)Q(如圖3).

圖3

實(shí)際上,由射影幾何中的配極原則,定理2中過點(diǎn)Q的割線MN也是點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的極線.

除了上述基本定理外,下面探究?jī)深愄厥怅P(guān)系:一是當(dāng)極點(diǎn)為圓錐曲線的焦點(diǎn)時(shí)的垂直關(guān)系;二是當(dāng)圓錐曲線的兩個(gè)極點(diǎn)互為另一點(diǎn)對(duì)應(yīng)極線與曲線對(duì)稱軸的交點(diǎn)時(shí)的等角關(guān)系,并利用圓錐曲線定義的統(tǒng)一性及圖象性質(zhì)的統(tǒng)一性進(jìn)行簡(jiǎn)潔、統(tǒng)一的證明.

定理3點(diǎn)F是圓錐曲線Γ的一個(gè)焦點(diǎn),直線l是與點(diǎn)F對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線,點(diǎn)P在l上, MN是過點(diǎn)F的割線.則PM,PN是Γ的切線的充要條件是FP⊥MN(如圖4).

圖4

證明不失一般性,不妨設(shè)圓錐曲線的焦點(diǎn)F為原點(diǎn),與點(diǎn)F對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線方程為l : x = -p.由圓錐曲線的統(tǒng)一定義有= e,整理得(1 - e2)x2-2e2px+y2-e2p2=0.因?yàn)辄c(diǎn)P在l上,設(shè)P (-p,y0),則點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的極線為px - y0y = 0.

(1)充分性:因?yàn)镸N過點(diǎn)F且PM,PN是Γ的切線,所以MN是點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的極線.當(dāng)y0= 0時(shí), FP : y = 0,MN : x = 0,可得FP⊥MN;當(dāng)y0≠ 0時(shí),,可得kFP·kMN= -1,所以FP⊥MN.

(2)必要性:當(dāng)y0= 0時(shí), FP : y = 0,點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的極線為x = 0.因?yàn)镸N過點(diǎn)F且FP⊥MN,所以MN : x = 0,即MN是點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的極線;當(dāng)y0≠ 0時(shí), kFP·kMN= -1.因?yàn)閗FP= -,可得kMN=.又因?yàn)镸N過點(diǎn)F,所以MN : y =,即MN是點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的極線.綜上,PM,PN是Γ的切線.

由(1) (2)可得, PM,PN是Γ的切線的充要條件是FP⊥MN.證畢.

定理4點(diǎn)P,Q是圓錐曲線Γ的一條對(duì)稱軸l上的兩點(diǎn)(不在Γ上),且點(diǎn)P,Q分別在點(diǎn)Q,P對(duì)應(yīng)的極線上, M,N是Γ上兩點(diǎn).則MN過點(diǎn)Q的充要條件是∠MPQ =∠NPQ(如圖5).

圖5

證明對(duì)任意圓錐曲線Γ的一條對(duì)稱軸l上的兩點(diǎn)P,Q,延長(zhǎng)PM,PN交曲線Γ于M′,N′,如圖6.

圖6

(1)充分性:因?yàn)镸N過點(diǎn)Q,點(diǎn)P在點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)的極線上, M′M與NN′相交于點(diǎn)P,由定理1, M′N′過點(diǎn)Q.又因?yàn)辄c(diǎn)P,Q在Γ的對(duì)稱軸l上,所以M′,N和M,N′分別關(guān)于l對(duì)稱,即∠MPQ =∠NPQ.

(2)必要性:因?yàn)椤螹PQ =∠NPQ,所以M′,N和M,N′分別關(guān)于l對(duì)稱,即M′N′與MN的交點(diǎn)S在l上.又因?yàn)镾在點(diǎn)P的極線上,所以點(diǎn)S與點(diǎn)Q重合,即MN過點(diǎn)Q.

由(1) (2)可得, MN過點(diǎn)Q的充要條件是∠MPQ =∠NPQ.證畢.

實(shí)際上,對(duì)定理3、4的證明也可以通過代數(shù)法聯(lián)立直線與橢圓、雙曲線、拋物線的一般方程逐個(gè)論述,但運(yùn)算量較大且過程繁雜,留給讀者自行探究.此外,除垂直關(guān)系和等角關(guān)系外,定理3、4的結(jié)論也可以等價(jià)得到斜率關(guān)系、向量積關(guān)系、線段比關(guān)系等.綜上,定理1至4的條件與結(jié)論間有如圖7的關(guān)系.

圖7

3 命題實(shí)踐

為實(shí)現(xiàn)《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》[2]“一核”“四層”“四翼”的評(píng)價(jià)要求,加強(qiáng)對(duì)學(xué)生創(chuàng)新能力的考查,采取多樣化的條件呈現(xiàn)方式與設(shè)問方式命制開放性試題、結(jié)構(gòu)不良試題等創(chuàng)新題型成為了新高考的命題趨勢(shì).

因此,本節(jié)依據(jù)第2節(jié)的4個(gè)充要條件,給出命制圓錐曲線定點(diǎn)問題從常規(guī)問題(題1)到結(jié)構(gòu)不良問題(題2, 3, 4)、開放創(chuàng)新問題(題5)這3種不同層次試題的命題范式.

原創(chuàng)題1已知橢圓E := 1(a＞b＞0)的焦距等于短軸長(zhǎng)的倍,長(zhǎng)軸右端點(diǎn)為A, M (1,0)為線段OA的中點(diǎn).

(1)求橢圓E的方程;

(2)過點(diǎn)M任作一條直線,與橢圓E相交于P,Q兩點(diǎn).試問在x軸上是否存在定點(diǎn)N,使得若存在,求出點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

答案(1) E :+ y2= 1; (2)存在, N(4,0).

評(píng)析本問題依據(jù)定理4,從線段比的方式對(duì)等角條件進(jìn)行表征進(jìn)行命題.實(shí)際上,依據(jù)定理1至4,可以命制一系列圓錐曲線定點(diǎn)問題,如2020年全國(guó)I卷理科第20題(依據(jù)定理1)、2015年全國(guó)I卷理科第20題(依據(jù)定理4)、2012年福建卷理科第19題(依據(jù)定理3)等.

原創(chuàng)題2已知A,B是坐標(biāo)軸上的點(diǎn), M (x,y)是平面上一點(diǎn).記直線MA,MB的斜率分別為k1,k2,______,點(diǎn)M的軌跡為曲線E.

(1)求曲線E的方程;

(2)設(shè)動(dòng)直線l(斜率存在)與曲線E相切于點(diǎn)P,且l與直線x = -2相交于點(diǎn)Q.試探究:在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)N,使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)N?若存在,求出點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

注從下面三個(gè)條件中選一個(gè)補(bǔ)充到橫線中,并求解此題. ①A,B分別為圓x2+ y2= 2與x軸的兩個(gè)交點(diǎn),k1·k2= -;②A,B分別為圓x2+y2= 6與x軸的兩個(gè)交點(diǎn), k1·k2=;③,圓心在x軸上移動(dòng)的圓經(jīng)過點(diǎn)C (-8,0),且與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A(x,0), B (0,y)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn).

答案(1)①E :=1(y ≠ 0); ③E : y2= 8x; (2)無論在(1)中選①或②或③,x = -2均為曲線E的準(zhǔn)線,記E中與x = -2對(duì)應(yīng)的焦點(diǎn)為F.因?yàn)镼P是曲線E的切線,由定理3,有PF⊥FQ,即以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)F.故對(duì)①,定點(diǎn)N (-1,0);對(duì)②,定點(diǎn)N (-3,0);對(duì)③,定點(diǎn)N (2,0).

評(píng)析本問題依據(jù)定理3進(jìn)行命題,第(1)問對(duì)所研究的曲線方程設(shè)置了多樣化的條件呈現(xiàn)方式;第(2)問將不同的圓錐曲線方程統(tǒng)一到探究焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的關(guān)系中,體現(xiàn)了極點(diǎn)極線理論“居高臨下”的作用.

原創(chuàng)題3(改編自2022年深圳二模第21題)已知橢圓E := 1(a＞b＞0)的左右頂點(diǎn)為A,B,上下頂點(diǎn)為C,D,左焦點(diǎn)為F,且ΔFCD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形.

(1)求橢圓E的方程;

(2)若M (s,t)是平面上的動(dòng)點(diǎn),從下面的兩個(gè)條件中任選一個(gè),證明:直線PQ經(jīng)過定點(diǎn).

①s = 4,t∈R,直線MA,MB與橢圓E的另一交點(diǎn)分別為P,Q;

②t = 2,s∈R,直線MC,MD與橢圓E的另一交點(diǎn)分別為P,Q.

答案(1) E := 1; (2)若選①,即點(diǎn)M在直線x = 4上,對(duì)應(yīng)的極點(diǎn)為(1,0),故AB和PQ交于定點(diǎn)(1,0).若選②,即點(diǎn)M在直線y = 2上,對(duì)應(yīng)的極點(diǎn)為,故CD和PQ交于定點(diǎn)

評(píng)析本問題依據(jù)自極三角形的定義,第(1)問為常規(guī)的求橢圓一般方程的問題,第(2)問設(shè)置了不同的極線,為學(xué)生解題時(shí)選擇不同的設(shè)直線方程方法提供空間.

原創(chuàng)題4已知橢圓E := 1(a＞1)的右焦點(diǎn)為點(diǎn)F, F到直線l : x = 4的距離為a2- 1, M,N在橢圓E上.

(1)求橢圓E的方程;

(2)從以下①, ②, ③中選取兩個(gè)作為條件,另外一個(gè)作為結(jié)論,形成一個(gè)真命題,并證明之.

注①點(diǎn)P在l上; ②E在M,N兩點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)P; ③MN過點(diǎn)F.

答案(1) E := 1; (2) ①③?②為假命題,①②?③以及②③?①均為真命題,證明略.

評(píng)析本問題依據(jù)定理2進(jìn)行命題,是初始條件及求解目標(biāo)均不定的結(jié)構(gòu)不良試題,如2022年新高考II卷第21題,2021年全國(guó)甲卷理科第18題等均采用了此種試題呈現(xiàn)方式,對(duì)學(xué)生邏輯推理的素養(yǎng)要求較高,是貫徹新高考要求的一種創(chuàng)新命題方式.

原創(chuàng)題5已知橢圓E := 1,點(diǎn)直線l : y = kx + m與E交于M,N兩點(diǎn),請(qǐng)寫出滿足條件“PA平分∠MPN”的一條直線MN方程______.

答案直線MN斜率存在且不為零,并過點(diǎn)即可.

評(píng)析本問題依據(jù)定理4進(jìn)行命題.學(xué)生既可以一般性地利用MN : y = kx + m,分析條件推導(dǎo)出+ m = 0,即MN恒過點(diǎn);特殊地,學(xué)生也可以先任意取定點(diǎn)M的坐標(biāo),再利用條件計(jì)算得出點(diǎn)N的坐標(biāo),同樣可以得到滿足題意的直線MN的方程.因此,本題具有較強(qiáng)的靈活性、開放性和創(chuàng)新性.

4 結(jié)語

本文基于射影幾何中自極三角形的定義,探究圓錐曲線定點(diǎn)問題的問題背景,得到了4個(gè)重要的充要條件.以此為基礎(chǔ),給出了命制常規(guī)問題、結(jié)構(gòu)不良問題、開放創(chuàng)新問題這3種不同層次創(chuàng)新試題的命題范式.為此,教師可以類似地針對(duì)不同知識(shí)模塊,通過高觀點(diǎn)的角度挖掘一類問題的本質(zhì)和命題背景,從不同層次命制創(chuàng)新試題,充分考查學(xué)生的關(guān)鍵能力與核心素養(yǎng).