2022年高考乙卷理科第20題的探究與推廣

湖北省天門中學(431700) 代成紅

一、考題呈現(xiàn)

題目1(2022年高考乙卷理科第20題)已知橢圓E的中心為坐標原點,對稱軸為x軸、y軸,且過A(0,-2),B(,-1)兩點.

(1)求E的方程;

(2)設過點P (1,-2)的直線交E于M,N兩點,過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點T,點H滿足證明:直線HN過定點.

圖1

答案(1)= 1; (2)直線HN過定點(0,-2).

二、解法探究

題目1雖然構圖簡單,但入手并不容易,計算量大,學生得分困難.第(1)問是容易的,以下主要研究第(2)問.

評注考慮直線MN在兩個特殊情形下的位置(比如N在A點處、橢圓上頂點處),通過作圖可以猜測出直線HN所過的定點為A.因此解法1直接計算截距b為定值,這是典型的先猜后證的做法.即使如此,題1計算量也相當大,對學生直觀想象、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)是極大的考驗.

評注(1)從幾何元素相互關系來看,點M與點N具有相同的地位,這是同構法能實行的條件;直線AM,AN斜率的倒數(shù)和等于3,直線AM,AH斜率的倒數(shù)和也等于3是解法2的要點. (2)直線MN,AM,AN的傾斜角可以為不能為0,為了回避分類討論,三條直線都采用了倒設斜率的方式給出方程.

(2)使用橢圓代數(shù)形式的參數(shù)方程可以直接算出直線HN的方程,從而明確HN經(jīng)過的定點.不需要先猜后證,運算量小是解法3的兩大亮點.

解法4(幾何法)過點N作直線NK//MH交直線AB于點K,延長NH交直線AB于A1,交直線AP于A2,設M (x1,y1),N (x2,y2),

圖2

在直線MN上取點Q(x3,y3),使,那么由知,

評注解析幾何問題終究是幾何問題,在解題中適當?shù)厥褂脦缀畏ㄍ梢允盏绞掳牍Ρ兜男Ч?

三、拓展推廣

將題目1一般化,可以得到以下命題:

命題1已知點P (m,-b)(m ≠ 0)是橢圓Γ1:= 1(a＞b＞0)外一點,點A(0,-b),是Γ 上兩個不同的點,過P的1直線交Γ1于M,N兩點,過M且平行于AP的直線l交直線AB于T,點H是l上的一點,那么T是MH中點的充要條件是直線HN過定點A.

與橢圓類似,雙曲線、拋物線也有相似的結果:

命題2已知點P (m,-a)(m ≠ 0,±b)是雙曲線1(a,b＞0)外一點,點A(0,-a),是Γ 上兩個不同的點,過P的2直線交Γ2于M,N兩點,過M且平行于AP的直線l交直線AB于T,點H是l上的一點,那么T是MH中點的充要條件是直線HN過定點A.

命題3已知點P (m,0)(m ≠ 0)是拋物線Γ3: x2=2py (p＞0)外一點,點B(2m,)是Γ上一點, A是坐標3原點,過P的直線交Γ3于M,N兩點,過M且平行于AP的直線l交直線AB于T,點H是l上的一點,那么T是MH中點的充要條件是直線HN過定點A.

為進一步地推廣,先引入與極線有關的定義定理:

定義1設P是不在圓錐曲線上的點,過點P引兩條割線依次交圓錐曲線于四點A,B,C,D,連接AC,BD相交于E,連接AD,BC相交于F,則直線EF為點P對應的極線.若P為圓錐曲線上的點,則過點P的切線即為P點對應的極線.

圖3

定理1設P是不在圓錐曲線上的點,直線EF為點P對應的極線, EF與過P點的割線AB相交于Q,那么

從極線視角來看,命題1, 2, 3是命題4的特例:

命題4已知點P是圓錐曲線Γ外一點,點P關于Γ的極線交Γ于A,B兩個不同的點,過P的直線交Γ于M,N兩點,過M且平行于AP的直線l交直線AB于T,點H是l上的一點,那么T是MH中點的充要條件是直線HN過定點A. (參見圖4)

圖4

證明過點N作MT的平行線交直線AB于S,設直線MN交AB于Q點.

(1)充分性

(2)必要性

在命題4中,如果改變平行線的位置,過P點作AB的平行線與直線AM,AN相交,會得到以下命題:

命題5已知點P是圓錐曲線Γ外一點,點P關于Γ的極線交Γ于A,B兩個不同的點,過P的直線交Γ于M,N兩點,過P且平行于AB的直線l交直線AM于S,交直線AN于T,那么|PS| = |PT|. (參見圖5)

圖5

命題5的證法與命題4類似,此處從略.將命題5特殊化,會得到.

題2(2020年北京高考第20題)已知橢圓C := 1過點A(-2,-1),且a = 2b. (1)求橢圓C的方程; (2)過點B (-4,0)的直線l交橢圓C于點M、N,直線MA、NA分別交直線x = -4于點P、Q,求的值.

顯然題2與題1背景相同,結構相似,因此題2的解法與題1大同小異,這里就不再贅述了.