分析·解答·結(jié)論·聯(lián)想·運(yùn)用—以2022年一道高考填空壓軸題為線索的復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì)

安徽省太湖中學(xué)(246400) 李昭平

1 題目

已知x = x1,x = x2分別是函數(shù)f(x) = 2ax- ex2(a＞0,且a ≠ 1)的極小值和極大值點(diǎn).若x1＜x2,則a的取值范圍是______. (2022年高考全國(guó)乙卷理科第16題)

2 分析

本題結(jié)構(gòu)新、立意新、解法新,具有較大難度.主要有三個(gè)特點(diǎn):一是從結(jié)構(gòu)形式上看,跳出了過去常見的ex模型,而以一般的指數(shù)函數(shù)ax與二次函數(shù)的復(fù)合型函數(shù)形式出現(xiàn);二是從設(shè)置方式上看,屬于逆向設(shè)置,由已知抽象的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn),反過來確定待定參數(shù)a的取值范圍;三是從解題思路上看,要研究f′(x) = 0有兩根x1,x2,且在x1附近f′(x)左負(fù)右正,在x2附近f′(x)左正右負(fù),靠繼續(xù)求導(dǎo)研究f′′(x)的符號(hào),比較復(fù)雜,思路受阻.這讓我們聯(lián)想到:能否直接將方程f′(x) = 2lna·ax- 2ex = 0“一分為二”成兩個(gè)函數(shù),即axlna = ex,利用函數(shù)y = axlna(動(dòng)曲線)和y = ex(定直線)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)和位置來解決問題呢?基于這種想法,得到下述解答.

3 解答

由f′(x) = 2axlna - 2ex =0得, axlna = ex.令g(x) =axlna,h(x) = ex,則x1,x2應(yīng)是這兩個(gè)函數(shù)圖象兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo).函數(shù)g(x) = axlna的圖象形狀與位置由參數(shù)a確定,必須對(duì)a分類討論.

(1)若a＞1,則從如圖1可以看出,在x1左邊附近, g(x)＞h(x),即f′(x)＞0;在x1右邊附近,g(x)＜h(x), f′(x)＜0.因此x1是極大值點(diǎn),不合題意.

圖1

(2)若0＜a＜1,則從如圖2可以看出, x1,x2分別是極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn),符合題意.

圖2

顯然,當(dāng)曲線y = g(x)過原點(diǎn)的切線斜率小于直線h(x)的斜率e時(shí),才能保證曲線y = g(x)與直線y = h(x)相交于兩點(diǎn).設(shè)切點(diǎn)為(x0,ax0lna), g′(x) = axln2a,g′(x0) =ax0ln2a.則= ax0ln2a,x0== logae.于是eln2a＜e,-1＜lna＜0,＜a＜1.故a的取值范圍是

4 結(jié)論

由上述解答,得到以下結(jié)論:設(shè)φ(x) = g(x) - h(x),則φ(x)的零點(diǎn)?φ(x) = 0的實(shí)數(shù)根?g(x)與h(x)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo).其中y = g(x)和y = h(x)是定曲線(含直線)或動(dòng)曲線(含直線).這里的y = h(x)可以是函數(shù)f(x)或f′(x)等等.對(duì)于關(guān)于含有參數(shù)的函數(shù)φ(x),要研究其零點(diǎn)、單調(diào)性、極值、最值、圖象等,往往涉及到φ(x) = 0的實(shí)數(shù)根問題,以及不等式g(x)＞h(x)(或g(x)＜h(x))問題,利用“一分為二、圖象交點(diǎn)”的思想方法將復(fù)合型函數(shù)方程φ(x) = 0或不等式φ(x)＞0(φ(x)＜0),分成兩條曲線y = g(x)和y = h(x),即g(x) = h(x)或不等式g(x)＞h(x)(g(x)＜h(x)),分類討論參數(shù)確定圖象的位置和交點(diǎn)的個(gè)數(shù),常常能化繁為簡(jiǎn)、化難為易,順利實(shí)現(xiàn)解題目標(biāo).

5 聯(lián)想

5.1 改變條件

★將高考題中的條件“x1,x2分別是極小值和極大值點(diǎn)”改為“x1,x2分別是極大值和極小值點(diǎn)”,則得到:

聯(lián)想1已知x = x1,x = x2分別是函數(shù)f(x) =2ax- ex2(a＞0,且a ≠ 1)的極大值和極小值點(diǎn).若x1＜x2,則a的取值范圍是______.

解析由高考題的解答知a＞1,如圖1符合.顯然,當(dāng)曲線g(x)過原點(diǎn)的切線斜率小于直線h(x)的斜率e時(shí),才能保證曲線g(x)與直線h(x)相交于兩點(diǎn).于是eln2a＜e,0＜lna＜1,1＜a＜e.故a的取值范圍是(1,e).

★將高考題中的條件“x1,x2分別是極小值和極大值點(diǎn)”改為“沒有極值點(diǎn)”,則得到:

聯(lián)想2已知函數(shù)f(x) = 2ax- ex2(a＞0,a ≠ 1)沒有極值點(diǎn),則a的取值范圍是______.

解析由高考題和聯(lián)想1的解答知, a的取值范圍是

★將高考題函數(shù)中的“a”與“e”互換位置,條件“x1,x2分別是極小值和極大值點(diǎn)”改為“x1,x2分別是極大值和極小值點(diǎn)”,則又得到:

聯(lián)想3已知x = x1,x = x2分別是函數(shù)f(x) =2ex-ax2(a＞0且a ≠ 1)的極大值和極小值點(diǎn).若x1＜x2則a的取值范圍是______.

解析由f′(x) = 2ex- 2ax = 0得, ex= ax.令g(x) = ex,h(x) = ax,則x1,x2應(yīng)是這兩個(gè)函數(shù)圖象兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo).觀察圖象可知,當(dāng)曲線g(x)過原點(diǎn)的切線斜率小于直線h(x)的斜率a時(shí),才能保證曲線g(x)與直線h(x)相交于兩點(diǎn).設(shè)切點(diǎn)為(x0,ex0),則= ex0,x0= 1.于是a＞e.故a的取值范圍是(e,+∞).

注聯(lián)想3則是我們常見的ex與二次函數(shù)的復(fù)合型,比高考題簡(jiǎn)單得多.

5.2 逆向思考

★對(duì)高考題作逆向思考,題設(shè)與結(jié)論互換得到:

聯(lián)想4若＜a＜1,試判斷函數(shù)f(x) = 2ax-ex2極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).

解析由高考題的解答知,如圖2符合.當(dāng)＜a＜1時(shí),曲線g(x)過原點(diǎn)的切線斜率小于直線h(x)的斜率e,曲線g(x)與直線h(x)相交于兩點(diǎn),其橫坐標(biāo)為x1,x2,x1＜x2,x1為極小值點(diǎn), x2為極大值點(diǎn).

★對(duì)聯(lián)想1作逆向思考,題設(shè)與結(jié)論互換又得到:

聯(lián)想5若1＜a＜e,試判斷函數(shù)f(x) = 2ax- ex2極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).

解析由高考題和聯(lián)想1的解答知,如圖1符合.x1＜x2, x1為極大值點(diǎn), x2為極小值點(diǎn).

5.3 類比引申

★將高考題函數(shù)中的“e”一般化為“b”,類比引申則得到:

聯(lián)想6已知x = x1,x = x2分別是函數(shù)f(x) =2ax- bx2(a＞0, a ≠ 1,b＞0)的極小值和極大值點(diǎn).若x1＜x2,則a的取值范圍是______.

解析由高考題的解答知, a的取值范圍是

注顯然,當(dāng)b = e時(shí),就是高考題.

★將聯(lián)想1函數(shù)中的“e”一般化為“b”,類比引申則得到:

聯(lián)想7已知x = x1,x = x2分別是函數(shù)f(x) =2ax- bx2(a＞0,且a ≠ 1,b＞0)的極大值和極小值點(diǎn).若x1＜x2,則a的取值范圍是_____.

解析由聯(lián)想1的解答知, a的取值范圍是

注顯然,當(dāng)b = e時(shí),就是聯(lián)想1.

★ax與logax互為反函數(shù),是一對(duì)孿生兄弟,將高考題函數(shù)中的“ax”變?yōu)椤發(fā)ogax”,適當(dāng)改變條件,又得到:

聯(lián)想8已知函數(shù)f(x) = 2logax-ex2(a＞0,且a ≠ 1)有唯一極值點(diǎn),則a的取值范圍是_____.

解析由聯(lián)想8的解答知, a的取值范圍是(0,1).

6 運(yùn)用

6.1 處理零點(diǎn)問題

例1(2022年高考全國(guó)乙卷理科第21題)已知函數(shù)f(x) = ln(1 + x) + axe-x,a∈R.

(1)當(dāng)a = 1時(shí),求曲線y = f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程;

(2)若f(x)在區(qū)間(-1,0),(0,+∞)各恰有一個(gè)零點(diǎn),求a的取值范圍.

解析(1)易得曲線y = f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為y = 2x,過程從略.

(2)函數(shù)f(x) = ln(1 + x) + axe-x的定義域是(-1,+∞).由ln(1 + x) + axe-x= 0得到: exln(1 + x) =-ax.

令g(x) = exln(1 + x),h(x) = -ax.函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,0),(0,+∞)各恰有一個(gè)零點(diǎn),即函數(shù)g(x)和函數(shù)h(x)的圖象在區(qū)間(-1,0),(0,+∞)各恰有一個(gè)交點(diǎn). g′(x) =ex[ln(1 + x) +],再令φ(x) = ln(1 + x) +,x＞-1,則由φ′(x) == 0解得x = 0.在(-1,0)內(nèi)φ′(x)＜0,φ(x)單減;在(0,+∞)內(nèi)φ′(x)＞0,φ(x)單增.因此φ(x)≥φ(0) = 1,g′(x)＞0, g(x)單增,且g(0) = 0, g(x)的圖象如圖3所示.

圖3

g′(0) = 1,g(x)的圖象在(0,0)處的切線是y = x.顯然,當(dāng)a＞0時(shí),不合題意.當(dāng)a＜0時(shí),要保證曲線y = g(x)與直線y = h(x)在區(qū)間(-1,0),(0,+∞)各恰有一個(gè)交點(diǎn),只要滿足-a＞1,a＜-1.故a的取值范圍是(-∞,-1).

點(diǎn)評(píng)將方程ln(1 + x) + axe-x= 0“一分為二”成exln(1+x) = -ax處理,比“一分為二”成或a = -處理簡(jiǎn)單得多.

6.2 處理極值點(diǎn)問題

例2(2022年安徽合肥?？碱})若函數(shù)f(x) =axlnx - ex存在唯一的極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.

解析由題意知, f′(x) = alnx + a - ex= 0有唯一正實(shí)數(shù)根,即alnx + a = ex有唯一正實(shí)數(shù)根.令g(x) = alnx + a,h(x) = ex,其圖象在第一象限只能有唯一公共點(diǎn).

當(dāng)a＞0時(shí)(如圖4),在x0附近,始終有g(shù)(x)＞h(x),則f′(x)＞0,保號(hào),此時(shí)x0不是f(x)的極值點(diǎn).當(dāng)a＜0時(shí)(如圖5),在x0附近, f′(x)異號(hào).此時(shí)x0是f(x)唯一的極值點(diǎn).故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,0).

圖4

圖5

點(diǎn)評(píng)本題考查函數(shù)的極值點(diǎn)問題,是對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的復(fù)合型函數(shù),“一分為二”成兩個(gè)函數(shù)y = g(x)(動(dòng)曲線)和y = h(x)(定曲線),則立即轉(zhuǎn)化為動(dòng)曲線與定曲線的位置關(guān)系與交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題,結(jié)合極值點(diǎn)的含義(在極值點(diǎn)兩旁附近f′(x)異號(hào)),確定參數(shù)a的取值范圍.

6.3 處理圖象交點(diǎn)問題

例3(2021年高考全國(guó)甲卷第21題)已知a＞0且a ≠ 1,函數(shù)f(x) =

(1)當(dāng)a = 2時(shí),求f (x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若曲線y = f (x)與直線y = 1有且僅有兩個(gè)交點(diǎn),求a取值范圍.

6.4 處理恒成立問題

例4(2022年新高考Ⅱ卷第22題)已知函數(shù)f(x) =xeax- ex,a∈R.

(1)當(dāng)a = 1時(shí),討論f(x)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)x＞0, f(x)＜-1,求a的取值范圍;

(3)設(shè)n∈N?,證明:

解析(1) f(x)的單增區(qū)間是(0,+∞),單減區(qū)間是(-∞,0).過程從略.

成立.

點(diǎn)評(píng)本題考查恒成立不等式中的參數(shù)范圍和數(shù)列不等式,利用“一分為二”思想,將原不等式化成＞eax(x＞0),研究?jī)蓚€(gè)函數(shù)圖象的位置關(guān)系與交點(diǎn)個(gè)數(shù).涉及到極限位置、洛必達(dá)法則和函數(shù)不等式的特殊化(特殊化成數(shù)列),有較高的思維深度和運(yùn)算難度,直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算三種核心素養(yǎng)貫穿其中.

6.5 處理能成立問題

例5(2022年江西南昌模考題)設(shè)f(x) = x+xlnx.若存在x1＞1,使得2f(x1) - (k + 1)x1+ k＜0成立,則整數(shù)k的最小值是_____.

解析2f(x) - (k + 1)x + k＜0?f(x)＜-

圖6

以上我們從一道最新高考題出發(fā),通過分析、解答,歸納出“一分為二、圖象交點(diǎn)”的解題思想方法.再通過九個(gè)聯(lián)想和五種運(yùn)用,強(qiáng)化對(duì)這種思想方法的認(rèn)識(shí)與理解.在整個(gè)過程中,融觀察分析、直覺邏輯、提煉概括、猜想證明于一體,錘煉了數(shù)學(xué)思維,拓寬了解題空間.其關(guān)鍵點(diǎn)是“一分為二”成什么形式比較恰當(dāng),這需要我們?nèi)フJ(rèn)真思考、認(rèn)真實(shí)踐和認(rèn)真感悟.由此可見,對(duì)一道好的高考題進(jìn)行多方向、多側(cè)面、多角度研究,運(yùn)用到復(fù)習(xí)課堂上,必能收獲豐盈,并讓學(xué)生充分感受數(shù)學(xué)高考題的巨大魅力.