平移齊次化解高考全國(guó)卷圓錐曲線題及其推廣

廣東省湛江一中培才學(xué)校(524037) 魏 欣

平移齊次化方法在解決圓錐曲線中關(guān)于斜率之和或積為定值的問(wèn)題,是通過(guò)坐標(biāo)系的平移,過(guò)任意點(diǎn)的直線斜率問(wèn)題均可轉(zhuǎn)化為過(guò)原點(diǎn)的斜率問(wèn)題,齊次聯(lián)立直線方程與圓錐曲線方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程,進(jìn)而由根與系數(shù)的關(guān)系來(lái)求解,可以避免繁瑣運(yùn)算,提高解題正確率.

一、平移齊次化的解法

如圖1所示,設(shè)O′在原坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(h,k),平移原坐標(biāo)系,得到以O(shè)′為原點(diǎn)的新的坐標(biāo)系x′o′y′.設(shè)M在原坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(x,y),在新坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(x′,y′),則坐標(biāo)平移公式

圖1

據(jù)此,可以得到平移齊次化解圓錐曲線問(wèn)題的一般解法是:若直線l : ax + by + c = 0與圓錐曲線C : f(x,y) = 0相交于兩點(diǎn),聯(lián)立方程將直線方程適當(dāng)變形,代入圓錐曲線方程式,總可以消去一次項(xiàng)及常數(shù)項(xiàng),得關(guān)于x,y的齊次方程:

設(shè)P (x0,y0)為平面上一定點(diǎn),若不重合兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)的坐標(biāo)滿足方程①,則將方程①變形為:

P1(x1,y1),P2(x2,y2)的坐標(biāo)滿足方程①,即有

由韋達(dá)定理可以得到以下結(jié)論:

(1)若直線PP1與直線PP2的傾斜角互補(bǔ),則由kPP1+ kPP2= 0?B = 0.

(2)若直線PP1與直線PP2相互垂直,則由kPP1·kPP2= -1?A + C = 0.

(3)若直線PP1與直線PP2的斜率之和為m,則由kPP1+ kPP2= m?Am + B = 0.

(4)若直線PP1與直線PP2的斜率之積為n,則由kPP1·kPP2= n?An - C = 0.

二、平移齊次化解圓錐曲線高考題的解法探究

下面通過(guò)近年的高考題為例加以闡述.

例1(2022年高考全國(guó)I卷第21題)如圖2所示,已知點(diǎn)A(2,1)在雙曲線C := 1(a＞1)上,直線l交C于P,Q兩點(diǎn),直線AP,AQ的斜率之和為0.

圖2

(1)求l的斜率;

解析(1)易求雙曲線C的方程為= 1.如圖3所示,將原坐標(biāo)系平移成以點(diǎn)A(2,1)為原點(diǎn)的的坐標(biāo)系,記新原點(diǎn)為O′,點(diǎn)P,Q分別對(duì)應(yīng)點(diǎn),則坐標(biāo)平移公式為雙曲線C := 1對(duì)應(yīng)C′:- (y′+ 1)2= 1.

圖3

考慮到直線l不經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,故與直線l對(duì)應(yīng)的l′不經(jīng)過(guò)O′,故可設(shè)l′的方程為mx′+ ny′= 1.將直線l′與雙曲線C′的方程聯(lián)立代換常量“1”,齊次化得

整理得

方程兩邊同除以x′2得

點(diǎn)評(píng)本題第(1)問(wèn)利用平移齊次化方法迅速求解后,第(2)在此基礎(chǔ)上順勢(shì)而下,直接利用平移后的坐標(biāo)系進(jìn)行求解.此種平移齊次化解法實(shí)際上是簡(jiǎn)化運(yùn)算的技巧.

例2(2021年高考全國(guó)I卷第21題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)點(diǎn)M滿足|MF1| - |MF2| = 2,記M的軌跡為C.

(1)求C的方程;

點(diǎn)評(píng)坐標(biāo)系平移前后,直線的斜率、角的大小、線段的長(zhǎng)度與圖形的面積均未發(fā)生改變,思路還是原來(lái)的思路,但通過(guò)平移坐標(biāo)系大大簡(jiǎn)化了運(yùn)算的難度,對(duì)于思維水平好的同學(xué)來(lái)說(shuō),不失為一種考試節(jié)省時(shí)間的解法.

例3(2020年高考全國(guó)I卷第20題)如圖4所示,已知A、B分別為橢圓E := 1(a＞1)的左、右頂點(diǎn), G為E的上頂點(diǎn),= 8, P為直線x = 6上的動(dòng)點(diǎn), PA與E的另一交點(diǎn)為C, PB與E的另一交點(diǎn)為D.

圖4

(1)求E的方程; (2)證明:直線CD過(guò)定點(diǎn).

解析(1)= 1(過(guò)程從略) ;

(2)證明:如圖5所示,連接BC,不妨設(shè)PA,PB,BC斜率為k1,k2,k3, C(x0,y0),P(6,t0),由k1=則k =23k1,且k1·k3=如圖6所示.

圖5

圖6

將橢圓E : x2+9y2= 9和直線CD沿n = (-3,0)平移變換,得到曲線E2: (x + 3)2+9y2= 9,即x2+9y2+6x = 0,

點(diǎn)評(píng)上述平移齊次化的解法可謂是“大道至簡(jiǎn)”,利用了過(guò)原點(diǎn)直線的斜率的簡(jiǎn)潔特性,也展現(xiàn)了截距式直線方程在解題中的妙用,大大降低了運(yùn)算,揭示了圓錐曲線問(wèn)題的本質(zhì),同時(shí)也促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算和直觀想象數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展.

例4(2020年新高考I卷第22題)已知橢圓C := 1(a＞b＞0)的離心率為,且過(guò)點(diǎn)A(2,1).

(1)求C的方程:

(2)點(diǎn)M, N在C上,且AM⊥AN, AD⊥MN, D為垂足.證明:存在定點(diǎn)Q,使得|DQ|為定值.

解(1)由題意知:= 1.易得橢圓方程為:

因?yàn)锳,F為兩個(gè)定點(diǎn),所以|AF|為定值.又因?yàn)锳D⊥MN,所以D在|AF|為直徑的圓上,取AF中點(diǎn)為Q點(diǎn),存在,使得|DQ|為定值.

點(diǎn)評(píng)上述平移齊次化的解題過(guò)程可以歸納為兩步:一是由直線與圓錐曲線方程得到齊次式y(tǒng)2= (x - my)x,這是通過(guò)代換橢圓方程中的常量“1”實(shí)現(xiàn)的,而不是消去x或y,這是與常規(guī)的聯(lián)立的不同所在,也是齊次化處理的關(guān)鍵一步;二是將齊次式變形成關(guān)于的一元二次方程,這樣方程的兩根即為斜率kOA與kOB.

例5(2018年高考全國(guó)I卷理科第20題)如圖7所示,設(shè)橢圓C := 1的右焦點(diǎn)為F,過(guò)F的直線l與C交于A, B兩點(diǎn),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,0).

圖7

(1)略; (2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),證明:∠OMA =∠OMB.

解(2)如圖8所示,將橢圓E : x2+2y2= 2和直線CD沿n = (-2,0)平移變換,得到曲線E′: (x + 2)2+ 2y2= 2,即x2+ 2y2+ 4x + 2 = 0.

圖8

(1)求C的方程;

(2)設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A,B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1,證明: l過(guò)定點(diǎn).

圖9

解(1) C的方程為+ y2= 1(過(guò)程從略).

(2)如圖10所示,將橢圓C : x2+ 4y2= 4和直線l沿n = (0,-1)平移變換,得到曲線C2: x2+4(y + 1)2= 4,即x2+ 4y2+ 8y = 0.

圖10

設(shè)l經(jīng)過(guò)變換后的直線l′: mx + ny = 1,代入上述方程齊次化得x2+ 4y2+ 8y (mx + ny) = 0,整理后得+ 1 = 0,設(shè)平移后A(x3,y3),B (x4,y4),而P2(0,0),由題意,根據(jù)韋達(dá)定理有- 1,即m = n +,即l′:(n +)x + ny = 1,故直線l′過(guò)定點(diǎn)T′(2,-2),將直線l′沿-n = (0,1)變換為l,則直線l過(guò)定點(diǎn)T (2,-1).

點(diǎn)評(píng)用平移齊次化的思想處理該題,其目的是便捷的利用“兩斜率之和為定值”的條件,但方程的代換和化簡(jiǎn)是一個(gè)難點(diǎn),學(xué)生比較難想到,這需要教師給出一個(gè)示范解答,而學(xué)生掌握這種方法的意義在于拓展該方法能處理的其它題型范圍.

三、平移齊次化解圓錐曲線問(wèn)題的結(jié)論推廣

根據(jù)以上解法探究,可以將圓錐曲線問(wèn)題推廣到一般的情況,得到平移齊次化方法在解決圓錐曲線中關(guān)于斜率之和或積為定值的問(wèn)題的結(jié)論.

結(jié)論1已知橢圓C := 1(a＞b＞0)上的定點(diǎn)P(x0,y0),動(dòng)點(diǎn)A, B(不同于P),直線PA與PB的斜率之和為λ(λ為定值).

(2)當(dāng)λ= 0且y0≠ 0時(shí),直線AB的斜率為

(3)當(dāng)λ= 0且y0= 0時(shí),直線AB的斜率不存在.

圖11

整理得

兩邊同時(shí)除以x2,得

易知k1, k2是方程的兩個(gè)解,

聯(lián)立直線方程mx + ny = 1,得

證明由結(jié)論1的分析過(guò)程①式知,

聯(lián)立方程mx + ny = 1,得

化簡(jiǎn)得,

以上有關(guān)雙曲線的結(jié)論的證明可類比于橢圓的證法,此處從略.

結(jié)論9已知拋物線C :y2= 2px(p＞0)上的定點(diǎn)P(x0,y0),動(dòng)點(diǎn)A, B(不同于P),直線PA與PB的斜率之和為λ(λ為定值).

(2)當(dāng)λ= 0且y0≠ 0時(shí),直線AB的斜率為-

圖12

(3)當(dāng)λ= 0且y0= 0時(shí),直線AB的斜率不存在.

結(jié)論10、11、12的證明與結(jié)論9的方法類似,此處從略.

平移齊次化方法充分體現(xiàn)了運(yùn)用坐標(biāo)法求解圓錐曲線綜合問(wèn)題的整體構(gòu)思,平移齊次化聯(lián)立能得到什么樣的結(jié)論、解決什么樣的問(wèn)題,平移齊次化又能達(dá)到什么樣的效果,平移后的“變”與“不變”怎樣來(lái)解釋平移前的問(wèn)題.只有對(duì)平移齊次化方法有了整體的認(rèn)知,才能將求解的思路形成一個(gè)整體構(gòu)思,從而大大降低了運(yùn)算,揭示了圓錐曲線問(wèn)題的本質(zhì),從而更好地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和直觀想象的數(shù)學(xué)素養(yǎng).