從射影幾何視角看2022年高考甲卷第20題

云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院(650500) 陳碧興 馬紹文

題目(2022年高考甲卷第20題)設(shè)拋物線(xiàn)C : y2=2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)D(p,0),過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)交C于M, N兩點(diǎn).當(dāng)直線(xiàn)MD垂直于x軸時(shí), |MF| = 3.

(1)求C的方程;

(2)設(shè)直線(xiàn)MD, ND與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A, B,記直線(xiàn)MN, AB的傾斜角分別為α,β.當(dāng)α-β取得最大值時(shí),求直線(xiàn)AB的方程.

簡(jiǎn)析易得C的方程為y2= 4x.可使用常規(guī)的解析方法求解第(2)問(wèn).設(shè)出A, B, M, N四點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)直線(xiàn)斜率、韋達(dá)定理、三點(diǎn)共線(xiàn)等條件表示出tan(α-β),從而轉(zhuǎn)化為解不等式問(wèn)題,此方法符合高中學(xué)生的認(rèn)知,思路清晰,但計(jì)算繁瑣.

其實(shí)本題含有豐富的射影幾何背景,克萊因曾說(shuō):基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的教師應(yīng)該站在更高的視角來(lái)審視、理解初等數(shù)學(xué)問(wèn)題,只有觀點(diǎn)高了,事物才能顯得簡(jiǎn)單明了[1].下面針對(duì)第(2)問(wèn)給出射影幾何理論下的兩種解法,供廣大教師參考,首先給出射影幾何中的部分相關(guān)理論.

1 射影幾何相關(guān)理論[2]

1.1 點(diǎn)列交比

特別地有:一線(xiàn)段被它的中點(diǎn)和這直線(xiàn)上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)所調(diào)和分割.

1.2 線(xiàn)束交比

若a, b, c, d是共點(diǎn)的四條直線(xiàn),則(ab,cd) =叫做a, b, c, d的交比,若(ab,cd) = -1,則稱(chēng)a, b, c, d為調(diào)和線(xiàn)束.

特別地有: (1)若任意一條直線(xiàn)s截線(xiàn)束a, b, c, d于點(diǎn)A, B, C, D,則有(ab,cd) = (AB,CD).

(2)若共點(diǎn)四直線(xiàn)a, b, c, d的斜率分別為k1, k2, k3, k4,則(ab,cd) =.

(3)交比經(jīng)中心射影后不變.

1.3 極點(diǎn)極線(xiàn)理論

如圖1,如果不在二次曲線(xiàn)Γ上的兩點(diǎn)M, N的連線(xiàn)被它和Γ的交點(diǎn)P1, P2所調(diào)和分割,則稱(chēng)兩點(diǎn)M, N關(guān)于二次曲線(xiàn)Γ成共軛點(diǎn).

圖1

通過(guò)一已知點(diǎn)P引諸直線(xiàn),這些直線(xiàn)與Γ的每一對(duì)交點(diǎn)有P的一個(gè)調(diào)和共軛點(diǎn),即P關(guān)于Γ的一個(gè)共軛點(diǎn).這些共軛點(diǎn)的軌跡是一條直線(xiàn),稱(chēng)為點(diǎn)P的極線(xiàn),點(diǎn)P稱(chēng)為這條直線(xiàn)的極.

如圖2, P為不在二次曲線(xiàn)上的點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P引兩條割線(xiàn)依次交二次曲線(xiàn)于點(diǎn)E, F, G, H連接EH, FG交于點(diǎn)N,連接EG, FH交于點(diǎn)M,則MN為點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的極線(xiàn).特別地,若P是二次曲線(xiàn)上的點(diǎn),則過(guò)點(diǎn)P的切線(xiàn)即為極線(xiàn).同理直線(xiàn)PN為點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的極線(xiàn),直線(xiàn)PM為點(diǎn)N對(duì)應(yīng)的極線(xiàn)[3].

圖2

設(shè)二次曲線(xiàn)方程為: Ax2+ Cy2+ 2Dx + 2Ey + F = 0,則點(diǎn)(x0,y0)對(duì)應(yīng)的極線(xiàn)方程為Ax0x+Cy0y+D(x0+x)+E(y0+ y) + F = 0.特別地有:

2 射影幾何背景下的兩種解法

2.1 第一種解法

當(dāng)直線(xiàn)MN斜率不存在時(shí),α=β= 90°,此時(shí)α-β= 0.

要使α-β最大,則tan(α-β)最大,且易知當(dāng)直線(xiàn)MN,AB的斜率為正時(shí),α-β為正才能達(dá)到最大.由基本不等√式可知,當(dāng)且僅當(dāng)tanβ=時(shí), tan(α-β)最大,α-β取得最大值,此時(shí)直線(xiàn)AB的方程為x -- 4 = 0.

圖3

在此解法中,由于交比在中心射影下不變,所以H(GK,MB) = H (D∞D(zhuǎn),PQ) = -1(D∞為點(diǎn)D的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)),即線(xiàn)段PQ被點(diǎn)D和點(diǎn)D的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)調(diào)和分割,所以點(diǎn)D為PQ的中點(diǎn).該結(jié)論由于其幾何圖形形似蝴蝶,被稱(chēng)為蝴蝶定理,最先于1815年英國(guó)的雜志《先生日記》中作為一個(gè)征求證明的問(wèn)題首次刊出, 1944年,《美國(guó)數(shù)學(xué)月刊》第2期首次將其稱(chēng)為蝴蝶定理[4].該定理的證明方法數(shù)不勝數(shù),至今仍被許多數(shù)學(xué)愛(ài)好者研究.

下面利用蝴蝶定理給出本題的第二種解法.

2.2 第二種解法

設(shè)直線(xiàn)MN方程為: y = mx - m,直線(xiàn)AB交x軸于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線(xiàn)分別交MN, AB于點(diǎn)P, Q,由極點(diǎn)極線(xiàn)的幾何定義知GH為點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的極線(xiàn),則GH方程為x = -2;又因?yàn)镸N交GH于點(diǎn)H,則H(-2,-3m);由蝴蝶定理可得PD = QD,則P(2,m), Q(2,-m),所以|PQ| = 2m, |HP| =在ΔEFH中∠EFH = 180°-α,∠FEH =β,則∠EHF =α-β;所以

不難發(fā)現(xiàn),本題中GH⊥x軸,且交點(diǎn)I與點(diǎn)D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),α-β最大時(shí),恰有kMN·kAB= 1.我們自然想到將題中的條件一般化之后,這些結(jié)論是否仍然成立?

3 試題中的結(jié)論

經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn),點(diǎn)F、D為x軸上任意兩點(diǎn)時(shí),結(jié)論仍然成立,即有:

結(jié)論1設(shè)拋物線(xiàn)C : y2= 2px(p＞0),點(diǎn)F, D分別為x軸上任意兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)交C于點(diǎn)M, N,設(shè)直線(xiàn)MD, ND與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A, B,直線(xiàn)BM, AN相交于點(diǎn)G,直線(xiàn)MN, AB相交于點(diǎn)H,直線(xiàn)GH交x軸于點(diǎn)I,則GH⊥x軸,且OI = OD.

證明設(shè)D(x0,0),由極點(diǎn)極線(xiàn)的幾何定義知GH為點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的極線(xiàn),則GH方程為x = -x0,所以GH⊥x軸,且OI = OD.

結(jié)論2設(shè)拋物線(xiàn)C : y2= 2px(p＞0),點(diǎn)F, D分別為x軸正半軸上任意兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)交C于點(diǎn)M, N,設(shè)直線(xiàn)MD, ND與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A, B,記直線(xiàn)MN,AB的傾斜角分別為α,β,則當(dāng)kMN·kAB= 1時(shí)|α-β|最大.

證明設(shè)D(x0,0), F(x1,0),直線(xiàn)MN方程為y =k(x - x1),直線(xiàn)MN, AB相交于點(diǎn)H;由結(jié)論1得H(-x0,-kx0- kx1),由蝴蝶定理得P(x0,kx0- kx1),Q(x0,-kx0+ kx1);則|PQ| = 2k(x0- x1), |HP| =在ΔPQH中

4 推廣

結(jié)論1和結(jié)論2,還可以推廣到橢圓和雙曲線(xiàn)中,即有:

推廣1設(shè)橢圓C := 1,點(diǎn)F, D分別為x軸上任意兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)交C于點(diǎn)M, N,設(shè)直線(xiàn)MD,ND與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A, B,直線(xiàn)BM, AN相交于點(diǎn)G,直線(xiàn)MN, AB相交于點(diǎn)H,直線(xiàn)GH交x軸于點(diǎn)I,則GH⊥x軸,且OI·OD = a2.

推廣2設(shè)雙曲線(xiàn)C := 1,點(diǎn)F, D分別為x軸上任意兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)交C于點(diǎn)M, N,設(shè)直線(xiàn)MD,ND與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A, B,直線(xiàn)BM, AN相交于點(diǎn)G,直線(xiàn)MN, AB相交于點(diǎn)H,直線(xiàn)GH交x軸于點(diǎn)I,則GH⊥x軸,且OI·OD = a2.

推廣3設(shè)橢圓C := 1,點(diǎn)F, D分別為橢圓內(nèi)坐標(biāo)軸上任意兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)交C于點(diǎn)M, N,設(shè)直線(xiàn)MD, ND與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A, B,記直線(xiàn)MN,AB的傾斜角分別為α,β,則當(dāng)kMN·kAB= 1時(shí)|α-β|最大.

推廣4設(shè)雙曲線(xiàn)C := 1,點(diǎn)F, D分別為雙曲線(xiàn)一支內(nèi)部坐標(biāo)軸上任意兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)交C于點(diǎn)M, N,設(shè)直線(xiàn)MD, ND與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A, B,記直線(xiàn)MN, AB的傾斜角分別為α,β,則當(dāng)kMN·kAB= 1時(shí)|α-β|最大.

橢圓和雙曲線(xiàn)中的證明方法與拋物線(xiàn)相同,這里不再贅述.