2022年新高考I卷三角試題分析及備考建議

深圳外國語學(xué)校(518000) 許茂鋒

三角題蘊(yùn)含了消元、構(gòu)造、轉(zhuǎn)化與化歸、多變量轉(zhuǎn)化為單變量、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想方法,也體現(xiàn)著數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)[1],三角題是考查學(xué)生綜合素質(zhì)的重要載體. 2022年三角題注重對三角函數(shù)、三角恒等變換、解三角形等必備知識的考查,且考查形式較為靈活.

1 試題呈現(xiàn)與分析

1.1 試題評析

題目1(2022年新高考I卷第6題)記函數(shù)f(x) =sin(ωx+)+b (ω＞0)的最小正周期是T,若＜T＜π,且y = f(x)的圖像關(guān)于點(,2)中心對稱,則=( )

題目2(2022年新高考I卷第18題)記ΔABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知(1)若C =,求B; (2)求的最小值.

2022年新高考I卷三角試題考查內(nèi)容如下表:

題目1題目2必備知識三角函數(shù)圖像和性質(zhì)三角恒等變換、正弦定理關(guān)鍵能力運算求解能力邏輯思維能力、運算求解能力學(xué)科素養(yǎng)理性思維理性思維、數(shù)學(xué)探索考查要求基礎(chǔ)性綜合性考查載體課程學(xué)習(xí)情境課程學(xué)習(xí)情境

題目1需要根據(jù)函數(shù)圖像的對稱中心求出b,并初步研究ω的取值情況,再結(jié)合最小正周期范圍進(jìn)一步確定ω的值,從而確定函數(shù)解析式,最后求解函數(shù)值.此題考查了三角函數(shù)模型y = Asin(ωx +φ) + b的周期性和對稱性,突出考查了三角函數(shù)的基礎(chǔ)性知識.

題目2(1)要根據(jù)題干中的等式探索出角A,B,C之間的關(guān)系,再根據(jù)角C的值算出角B.題目2(2)求的最小值,需要學(xué)生首先探索角A,B,C之間的關(guān)系,運用正弦定理實現(xiàn)邊角互化,利用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化為單變量問題,再結(jié)合基本不等式或函數(shù)單調(diào)性知識進(jìn)一步求出的最小值.

三角考題對于重要公式的考查不落俗套,考查了三角函數(shù)的圖像和性質(zhì),倍角公式,正弦定理,誘導(dǎo)公式,和角差角公式,半角公式,基本不等式,簡單函數(shù)的單調(diào)性等重要知識點;考查了學(xué)生把多變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題的能力;也考查了等量代換,構(gòu)造函數(shù),化歸思想,方程與函數(shù)思想;突出考查了學(xué)生的理性思維,邏輯思維能力、運算求解能力.綜合性較強(qiáng),強(qiáng)化了基礎(chǔ)考查,加強(qiáng)了素養(yǎng)考查,充分發(fā)揮了選拔功能.

1.2 全國卷命題分析

近三年新高考全國卷三角部分知識考査分布如表1:

表1 近三年新高考全國卷三角知識考察表

由表1可知,新高考全國卷的三角試題的特點有:考查形式靈活,在題型上有選擇題、填空題和解答題,在整體難度不大的前提下也有難度梯度設(shè)置;考查主干知識,考查知識覆蓋了三角函數(shù)、三角恒等變換和解三角形,要求學(xué)生深刻理解基本概念和重視知識間的內(nèi)在聯(lián)系;考查關(guān)鍵能力,試題著重考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力和邏輯思維能力;考查思想方法,要求學(xué)生深度理解概念和認(rèn)識問題的本質(zhì),以此考查學(xué)生的思維靈活性,如2022全國I卷第18題需要結(jié)合正弦定理把多變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題.

2 試題解析

題目2(1)解法一(公式化簡)

思路4

即

化簡得sin B = -(cos2B + sin2B)cos C = -cos C,所以sin B = -,得B =.

評注思路1至思路4均利用倍角公式,和角差角公式化簡等式,再結(jié)合誘導(dǎo)公式求解.此題對于學(xué)生三角的基本公式運用提出了要求,考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力.

題目2 (1)解法二(消元思想)

思路1 由題設(shè)得

即

思路2

所以

評注思路1和思路2,則結(jié)合角C =確定A + B =,把兩個角的問題轉(zhuǎn)化為一個角的問題,再結(jié)合倍角公式和正余弦的和角差角公式進(jìn)行化簡求解,體現(xiàn)了思維的靈活性.

題目2 (1)解法三(同構(gòu)函數(shù))

思路1

評注思路1至思路4,觀察題干等式發(fā)現(xiàn)其對稱性的特點,以函數(shù)同構(gòu)來研究等式,切入點巧妙,思路4在此基礎(chǔ)上還進(jìn)行數(shù)形結(jié)合,充分體現(xiàn)了在數(shù)學(xué)知識方法應(yīng)用上的靈活性和創(chuàng)造性.

題目2 (2)解答

評注題目2(2)在上一問研究出A和B關(guān)系的基礎(chǔ)上,結(jié)合正弦定理先把邊化為角,再把三個角的問題轉(zhuǎn)化為一個角的問題,最后運用基本不等式、函數(shù)單調(diào)性的知識求解出最小值.此題的關(guān)鍵點在于三個邊的問題轉(zhuǎn)化為一個角的問題,這充分考查了學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題本質(zhì)的能力.

縱觀題目2,解答方法較多,也體現(xiàn)了起點低,入口廣,多維度,高落差的新高考試題特點.

3 典型答卷及分析

下面以題目2(2022年新高考1卷第18題)為例,分析考生在答卷中反映出來的錯誤與問題作簡要分析.通過表2可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生對于基本知識和概念出現(xiàn)了認(rèn)知錯誤;對于三角的重要公式也出現(xiàn)了記憶錯亂的問題;對于正弦定理,余弦定理的應(yīng)用不夠靈活;未熟練掌握多變量問題轉(zhuǎn)變?yōu)閱巫兞繂栴}的思想方法.

表2 答題主要失分情況

4 備考建議

4.1 注重知識生成,強(qiáng)化課后鞏固

新高考已明確要求深化基礎(chǔ)性考查,對數(shù)學(xué)基本概念提出了要深刻理解的要求[2].為適應(yīng)新高考,平時的新授課教學(xué)要注意不為了趕進(jìn)度而忽視知識生成過程.新知識的學(xué)習(xí),要引導(dǎo)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)和總結(jié),以此進(jìn)一步提高學(xué)生對于基本概念理解的深度;同時也要注意到,知識生成后的鞏固記憶也非常重要,結(jié)合三角板塊知識概念多,基本公式多的特點,尤其要重視概念學(xué)習(xí)和公式學(xué)習(xí)后的鞏固和記憶工作,這也能幫助學(xué)生建立知識間的內(nèi)在聯(lián)系.如倍角公式的學(xué)習(xí),引導(dǎo)學(xué)生研究倍角問題,總結(jié)公式,課后及時加強(qiáng)鞏固記憶,以免出現(xiàn)概念混淆和公式記憶錯亂的現(xiàn)象.

4.2 淡化解題技巧,注重通性通法

新高考注重本源性方法,淡化解題技巧,注重通性通法的考查;同時要求學(xué)生掌握知識之間的內(nèi)在聯(lián)系,構(gòu)建數(shù)學(xué)學(xué)科知識體系.如題目1就要結(jié)合三角函數(shù)模型的周期性和對稱性共同確定ω的取值.三角解題教學(xué)中,培養(yǎng)學(xué)生把多變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題的能力和同構(gòu)思想非常重要,要培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)不同問題間的共性,和提煉不同問題解決中體現(xiàn)的相同的數(shù)學(xué)思想方法.如題目2(2),很多考生在第(1)問其實已知悉角A,B,C之間的關(guān)系,在第(2)問結(jié)合正弦定理實現(xiàn)了邊角轉(zhuǎn)化后,未能把三個角繼續(xù)化為一個角,導(dǎo)致無法進(jìn)一步作答.

4.3 選題突出本質(zhì),培養(yǎng)靈活思維

新高考試題突出學(xué)科基本概念、基本原理,平時教學(xué)采用的例題在充分掌握學(xué)情的前提下,要突出暴露學(xué)生對于概念和性質(zhì)的理解層次不夠深刻的問題,積極促進(jìn)學(xué)生把知識和方法內(nèi)化為自身的知識結(jié)構(gòu).以題目2(2)考查的正弦定理性質(zhì)和運用為例,其關(guān)鍵在于齊次式,注意到很多考生明顯想結(jié)合正弦定理把邊的問題化為角,可是對于二次齊次式卻束手無策,這其實和平時對于正弦定理運用的訓(xùn)練多是或者這類一次齊次式化簡有關(guān),如若平時訓(xùn)練的例題多注重齊次式本身,而不局限于一次齊次式,那么學(xué)生對于正弦定理的運用,就能更靈活自如了;此外也要注意到有相當(dāng)一部分考生在處理時只結(jié)合余弦定理把a(bǔ)2+ b2用2abcos C + c2替換后無法繼續(xù)作答,這給我們帶來的教學(xué)思考是要注意幫助學(xué)生突破思維定勢,選題在突出本質(zhì)的前提下,也要和其他知識點和例題做好交叉比對,幫助學(xué)生認(rèn)識問題本質(zhì),提高思維靈活性.