可調(diào)共振型超表面對(duì)透射聲波的三維波前調(diào)控

陳阿麗， 杜興岳， 王昊煜

(北京交通大學(xué) 力學(xué)系， 北京 100044)

波動(dòng)現(xiàn)象是自然界中一種常見的物質(zhì)運(yùn)動(dòng)與能量傳輸?shù)男问?，一直以來都備受學(xué)者們關(guān)注，實(shí)現(xiàn)對(duì)光波、電磁波、聲波和彈性波等的靈活操控是科學(xué)家和工程師們的研究熱點(diǎn)之一。學(xué)者們提出并設(shè)計(jì)了一系列的超構(gòu)材料如光子晶體[1-2]、聲子晶體[3]、超材料[4]和超表面[5-6]，通過對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行人工設(shè)計(jì)來實(shí)現(xiàn)對(duì)波傳播性質(zhì)的調(diào)控。光子晶體和聲子晶體主要是通過設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)的周期性來對(duì)光波和聲波的能帶結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)控。超材料的物理性質(zhì)主要取決于其微結(jié)構(gòu)單元，通過設(shè)計(jì)不同的構(gòu)型可以獲得不同的材料性能，并實(shí)現(xiàn)許多反常的物理現(xiàn)象和效應(yīng)，如異常折反射、超透鏡、非對(duì)稱傳輸、反向多普勒頻移等[7-9]。超表面是一種具有亞波長厚度子結(jié)構(gòu)的二維超材料，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、體積小和易加工的特點(diǎn)。一經(jīng)提出便受到研究者們的青睞，最早用于電磁波領(lǐng)域，Li等[10]將超表面概念推廣到聲學(xué)領(lǐng)域，設(shè)計(jì)了超薄的反射型聲學(xué)超表面，實(shí)現(xiàn)了異常反射、聲波聚焦等多種聲學(xué)功能。之后，聲學(xué)超表面被廣泛用于調(diào)控聲波，主要有透射型、反射型和吸收型[6]，按其單元的結(jié)構(gòu)形式也可主要分為空間折疊型[10-13]、共振型[14-16]和薄膜型[17-19]等。

利用上述聲學(xué)超表面實(shí)現(xiàn)了多種多樣新奇的聲學(xué)功能如異常折反射、聚焦、波束自彎曲、聲源幻象、聲波渦旋和全息等。但大多數(shù)已有的聲學(xué)超表面一經(jīng)加工制造，其所實(shí)現(xiàn)的功能和適應(yīng)的工作頻率便不能更改，這極大程度上限制了超表面的實(shí)際應(yīng)用?？烧{(diào)聲學(xué)超表面[20]的出現(xiàn)，一定程度上打破了這個(gè)局限性。總體來說，可調(diào)性可通過3種方式實(shí)現(xiàn)：1)設(shè)計(jì)機(jī)械可重構(gòu)的單胞[21-25]；2)調(diào)整超表面整體方位[26-28]；3)利用壓電、壓磁等智能材料設(shè)計(jì)單胞或結(jié)構(gòu)，通過外加偏場(chǎng)進(jìn)行調(diào)控[29-32]?？烧{(diào)聲學(xué)超表面實(shí)現(xiàn)了多功能性和寬頻的特點(diǎn)，使波場(chǎng)的調(diào)控更加靈活，也提高了超表面的適用性。但目前相關(guān)研究還比較有限，可重構(gòu)或可調(diào)的胞元形式還比缺乏?；诖耍疚脑O(shè)計(jì)了有開口的可重構(gòu)共振筒單胞，通過簡(jiǎn)單的旋轉(zhuǎn)操作改變開口的大小進(jìn)而改變單胞的共振特性，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)透射聲波的相位調(diào)節(jié)?；趶V義Snell定律[33]，利用此可重構(gòu)單胞構(gòu)建超表面對(duì)聲波進(jìn)行三維波前調(diào)控，實(shí)現(xiàn)了透射聲波的異常折射、空間任意一點(diǎn)聚焦和波束自彎曲。

1 可重構(gòu)單胞

超表面功能的實(shí)現(xiàn)依賴于其功能單胞對(duì)相位和透射率的調(diào)控能力，因此本文首先設(shè)計(jì)單胞并驗(yàn)證其調(diào)控能力。如圖1所示，是設(shè)計(jì)的可重構(gòu)共振筒單胞模型，主要有內(nèi)筒和外部套筒組成。內(nèi)筒是空心圓柱體，由5個(gè)橫隔板將其分成了6層，即將單胞分成了6個(gè)空氣腔。每層側(cè)壁上有4個(gè)關(guān)于中心軸對(duì)稱的開口，開口對(duì)應(yīng)圓心角為45°。外部套筒內(nèi)側(cè)的薄壁套筒內(nèi)徑與內(nèi)筒的外徑相同，并且其上分布有與內(nèi)筒完全相同的開口，通過旋轉(zhuǎn)即可改變內(nèi)筒開口的大小。當(dāng)內(nèi)筒的開口與套筒完全重合時(shí)整個(gè)共振筒結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)的開口角度α=45°，開口完全錯(cuò)開時(shí)整個(gè)共振筒結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)的開口角度為α=0°。為方便實(shí)際操作最外側(cè)的薄壁筒通過4個(gè)豎隔板與內(nèi)部的薄壁套筒相連接。單胞的幾何尺寸為：外筒厚度為t=1 mm，直徑為D=29 mm，筒高為H=43 mm，薄壁套筒厚度t2=0.5 mm，內(nèi)筒直徑為d=10 mm，厚t3=0.5 mm，橫隔板厚度為t=1 mm，6個(gè)共振腔高度均為h=6 mm，開口高度為h1，外筒與套筒之間空氣腔的厚度為T=3.5 mm，豎隔板厚度為t1=0.8 mm。

圖1 可重構(gòu)單胞示意Fig.1 The diagram of the reconfigurable unit cell

單胞模型確定后，即可利用有限元軟件Comsol Multiphysics檢驗(yàn)其對(duì)透射波相位和幅值的調(diào)控能力。如不特殊說明，本文以工作頻率f=3 700 Hz為例來驗(yàn)證設(shè)計(jì)的單胞和超表面的性能。圖2給出了此頻率下透射波相位和幅值隨可重構(gòu)單胞開口角度的變化曲線。可以看出，隨著開口角度的變化，透射波的相位變化覆蓋了一個(gè)完整的2π范圍，這確保了后續(xù)超表面可以對(duì)聲波進(jìn)行靈活的波前調(diào)控。從圖2(b)可以看出透射率也隨著開口角度的變化而改變，開口角度小于3°或者大于20°時(shí)都具有較高的透射率。后續(xù)依據(jù)廣義Snell定律進(jìn)行超表面設(shè)計(jì)時(shí)，在滿足相位要求的同時(shí)還需考慮聲波的透射率，盡量避免選擇透射率較低的單胞。

圖2 單胞對(duì)聲波相位和幅值的調(diào)節(jié)Fig.2 Modulation of phase and transmittance of the acoustic wave by the unit cell

2 三維廣義Snell定律

超表面通過設(shè)計(jì)其亞波長結(jié)構(gòu)，在聲波的傳播路徑中引入相位改變進(jìn)而對(duì)聲波進(jìn)行波前調(diào)控，這使得傳統(tǒng)的Snell定律不再適用。Yu等[33]基于費(fèi)馬原理首先在光學(xué)領(lǐng)域提出了廣義Snell定律。Aieta等[34-35]考慮了光波的平面外反射和折射，利用費(fèi)馬原理推導(dǎo)出了調(diào)節(jié)三維光波波場(chǎng)的廣義Snell定律。Li等[36]推導(dǎo)了三維聲波波場(chǎng)滿足的廣義Snell定律，并設(shè)計(jì)可調(diào)超表面對(duì)反射聲波進(jìn)行了面外調(diào)控。如圖3所示，假設(shè)入射聲波位于xoz平面，則調(diào)控透射聲波和反射聲波的三維廣義Snell定律可分別表示為：

(1)

式中：θ為聲波與其在yoz平面上的投影之間的角度；φ為聲波在yoz平面的投影與z軸之間的角度；下角標(biāo)i、t和r分別對(duì)應(yīng)入射波、折射波和反射波；入射聲波位于xoz平面故φi=0；φ(x,y)為超表面的相位分布函數(shù)，可依據(jù)設(shè)定的功能和工作頻率來確定。本文主要實(shí)現(xiàn)了聲波異常折射、聚焦和自彎曲功能，利用式(1)的第1個(gè)式子，可分別給出所需的超表面相位分布函數(shù)的表達(dá)式。

圖3 三維廣義Snell定律示意Fig.3 The schematic diagram of the 3D-Generalized Snell′s law

異常折射功能可調(diào)控透射聲波沿空間任意方向傳播，是超表面實(shí)現(xiàn)其他復(fù)雜功能的基礎(chǔ)。超表面實(shí)現(xiàn)異常折射功能時(shí)的相位分布函數(shù)為：

(2)

式中：Φ0為初始相位；c0=343 m/s為空氣中聲波的波速。

波束聚焦功能使透射聲波的能量聚集到空間任一點(diǎn)F(x0,y0,z0)，此時(shí)超表面的相位分布函數(shù)為：

(3)

任意一個(gè)與xoy平面垂直的平面內(nèi)，波束自彎曲功能可使入射平面波轉(zhuǎn)變?yōu)檠厍€路徑r=g(z)傳播的非衍射波束，并且具有繞過障礙物后還可以沿原路徑傳播的自愈合功能[37]，此時(shí)超表面的相位分布函數(shù)為：

(4)

式中：z=h(r)為r=g(z)的反函數(shù)?？臻g的波束自彎曲可以看作是由超表面上每一點(diǎn)透射的聲束組成的包絡(luò)面。本文所討論的包絡(luò)面為球面的一部分，其軌跡為x2+y2+z2=R2的一部分，R為球的半徑，代入式(4)可以得到此時(shí)超表面上的相位分布函數(shù)：

(5)

3 超表面及其功能實(shí)現(xiàn)

利用上節(jié)得到的不同功能對(duì)應(yīng)的相位分布函數(shù)，結(jié)合圖2可以確定超表面上每一個(gè)單胞對(duì)應(yīng)的開口角度，即可完成超表面的設(shè)計(jì)。通過調(diào)整各個(gè)單胞的開口角度即可實(shí)現(xiàn)超表面的重構(gòu)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)不同聲學(xué)功能或者不同工作頻率之間的切換。本節(jié)利用有限元軟件Comsol Multiphysics數(shù)值上實(shí)現(xiàn)了聲波的三維異常折射、聚焦和自彎曲功能。

平板狀超表面如圖4(a)所示，xoy平面內(nèi)的超表面在x和y方向上各有11個(gè)單胞，一共121個(gè)單胞，每個(gè)單胞與其相鄰單胞之間的圓心距為40 mm；超表面長和寬均為480 mm，超表面厚度H=43 mm。聲學(xué)通道有限元模型如圖4(b)所示，以超表面上表面的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，坐標(biāo)系如圖中所示。為了方便觀察透射場(chǎng)信息，將入射場(chǎng)設(shè)置在超表面下方，在模型最下層施加沿z軸負(fù)向的平面波面聲源，聲壓幅值為1 Pa；模型四周和上下表面施加平面波輻射條件來減少反射聲波的影響。超表面的材料為聚氯乙烯(PVC)，其阻抗與空氣中的聲波相差較大，故模型與空氣接觸的界面均可當(dāng)作硬邊界，在有限元計(jì)算時(shí)不考慮流固耦合的作用。網(wǎng)格劃分要確保計(jì)算結(jié)果收斂。

圖4 超表面和聲學(xué)通道的有限元模型Fig.4 Schematic diagram of a metasurface and acoustic channel model in Comsol

對(duì)于異常折射功能，給定θt和φt后，由圖3可以計(jì)算出折射平面與入射平面xoz的夾角表達(dá)式β=arctan(cosθtsinφt/sinθt)，在折射平面內(nèi)，折射波與z軸的夾角可表示為γ=arccos(cosθtcosφt)。本文考慮入射角θi=22.5°，折射角θt=0,φt=60°和θt=60°，φt=30° 2種情況，第1種情況對(duì)應(yīng)β=90°，γ=60°；第2種情況對(duì)應(yīng)β=16.1°，γ=64.3°。超表面所需各單胞的開口角度分別見表1和表2，其中nx表示沿超表面x方向的單胞編號(hào)，ny表示沿超表面y方向的單胞編號(hào)。

表1 異常折射功能(f=3700 Hz,θi=22.5°,θt=0,φt=60°)所需的各單胞開口度數(shù)Table1 The opening angles of each unit cell for abnormal refraction (f=3700 Hz,θi=22.5°,θt=0,φt=60°)

表2 異常折射功能(f=3700 Hz,θi=22.5°, θt=60°,φt=30°)所需的各單胞開口度數(shù)Table2 The opening angles of each unit cell for abnormal refraction (f=3700 Hz, θi=22.5°, θt=60°,φt=30°)

圖5(a)和(b)分別給出了入射平面和折射平面內(nèi)歸一化聲壓場(chǎng)p/p0的模擬結(jié)果。為了顯示地更清楚，圖中選取的視角稍有差別。圖中白色射線表示折射面內(nèi)平面波的傳播方向，其與z軸夾角與計(jì)算出來的2個(gè)γ值吻合。結(jié)果顯示，經(jīng)超表面調(diào)控后可在與入射面不同的平面內(nèi)沿著預(yù)定方向傳播，設(shè)計(jì)的超表面對(duì)波陣面的三維調(diào)控效果明顯。

圖6(a)和(b)分別模擬了超表面的中心聚焦和任意點(diǎn)聚焦功能，焦點(diǎn)分別設(shè)定為(0 mm, 0 mm, -200 mm)和(140 mm, -60 mm, -200 mm)。圖中顯示的是歸一化之后的能量場(chǎng)(p/p0)2的分布，可以看出聲波能量都聚集在設(shè)定的焦點(diǎn)處，焦點(diǎn)處的聲場(chǎng)強(qiáng)度可以達(dá)到背景聲場(chǎng)的35倍(中心聚焦情況)或25倍(任意點(diǎn)聚情況)左右。算例證明設(shè)計(jì)的超表面對(duì)不同位置的點(diǎn)聚焦都具有良好的效果。其中超表面所需各單胞的開口角度分別見表3和表4。

圖5 入射角θi=22.5°時(shí)的異常折射功能Fig.5 Functionality of abnormal refraction in case ofθi=22.5°

圖6 聚焦功能Fig.6 Functionality of wave focusing

圖7展示了超表面的波束自彎曲功能。圖中選取了2個(gè)不同方位的平面來顯示其空間自彎曲功能，白色虛線是設(shè)計(jì)的自彎曲軌跡。為了顯示本文設(shè)計(jì)的可重構(gòu)超表面也可在不同工作頻率之間切換，這里選擇了2個(gè)頻率進(jìn)行數(shù)值模擬。圖7(a)對(duì)應(yīng)的工作頻率為3 700 Hz，球面半徑R=150 mm；圖7(b)對(duì)應(yīng)的工作頻率為3 400 Hz，球面半徑R=250 mm。可以看出對(duì)于不同的工作頻率和不同的球面半徑，超表面都很好地實(shí)現(xiàn)了波束自彎曲功能，相比之下，設(shè)定的半徑較大的時(shí)候，自彎曲的效果較好。其中超表面所需各單胞的開口角度分別見表5和表6。

表3 f=3700 Hz, 焦點(diǎn)為(0 mm,0 mm,-200 mm)時(shí)點(diǎn)聚焦功能所需的各單胞開口度數(shù)Table3 The opening angles of each unit cell for wave focusing withf=3700 Hz and the focus being (0,0,-200 mm)

表4 f=3700 Hz, 焦點(diǎn)為(140 mm,-60 mm,-200 mm)時(shí)點(diǎn)聚焦功能所需的各單胞開口度數(shù)

圖7 波束自彎曲功能Fig.7 Functionality of wave self-bending

表5 f=3700 Hz,R=150 mm時(shí)波束自彎曲功能所需的各單胞開口度數(shù)Table5 The opening angles of each unit cell for wave self-bending withf=3700 Hz andR=150 mm

表6 f=3400 Hz,R=250 mm時(shí)波束自彎曲功能所需的各單胞開口度數(shù)Table6 The opening angles of each unit cell for wave self-bending withf=3400 Hz andR=250 mm

4 結(jié)論

1)設(shè)計(jì)了共振型可重構(gòu)單胞，通過旋轉(zhuǎn)改變開口角度的大小來改變單胞的共振性能，進(jìn)而改變透射聲波的相位。

2)利用有限元模擬驗(yàn)證了單胞對(duì)相位和透射率的調(diào)控能力，隨著開口角度的變化，透射波的相位變化覆蓋了一個(gè)完整的2π范圍。有些開口角度下透射波幅值較低，構(gòu)建超表面時(shí)盡量避免選用這些單胞。

3)基于廣義Snell定律構(gòu)建可調(diào)超表面對(duì)透射聲波進(jìn)行三維波前調(diào)控，在不重新加工制作超表面的前提下，僅通過調(diào)整各單胞的開口角度就實(shí)現(xiàn)了異常折射、聚焦和波束自彎曲功能之間的轉(zhuǎn)換，同樣也實(shí)現(xiàn)了不同工作頻率之間的切換。

模擬結(jié)果顯示設(shè)計(jì)的超表面很好地實(shí)現(xiàn)了既定功能，驗(yàn)證了設(shè)計(jì)的可調(diào)超表面的靈活性和有效性，后續(xù)可通過3D打印加工試件，并進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。本文的研究對(duì)新型聲學(xué)器件的設(shè)計(jì)及聲學(xué)超表面走向?qū)嶋H應(yīng)用提供了一定的理論指導(dǎo)。