負電容壓電分流的圓環(huán)超構(gòu)材料隔振

林麗芳， 陸澤琦， 丁虎， 陳立群

(1.上海大學 力學與工程科學學院， 上海 200444； 2.上海大學 上海市能源工程力學重點實驗室， 上海 200444； 3.上海市應(yīng)用數(shù)學和力學研究所， 上海 200072)

隨著隔振技術(shù)的進一步發(fā)展，在航空航天及船舶領(lǐng)域中隔振技術(shù)高穩(wěn)定性、高指向精度的要求進一步提高，研究高性能隔振日益成為瓶頸難題，需要發(fā)展新的力學原理來解決[1-3]。減振和隔振是傳統(tǒng)的振動理論，隨著控制理論的發(fā)展，用力電耦合系統(tǒng)來控制振動成為一種重要的方式，這種方法具有成本低廉、容易實現(xiàn)的特點，但也存在頻率范圍窄、兼容性差等問題[4-5]。因此在這一理論基礎(chǔ)上，本文引入超構(gòu)材料與分流電路結(jié)合，可進一步提高隔振設(shè)計水平。

壓電分流電路振動控制的理論是由Forward[6]提出的，其原理是通過壓電片將系統(tǒng)振動所產(chǎn)生的機械能轉(zhuǎn)化為電能，并通過分流電路對其進行有效抑制。Hagood等[7]對此方法進行了拓展研究，給出了RL分流電路的數(shù)學模型，引起了眾多學者的關(guān)注。研究發(fā)現(xiàn)基于RL壓電分流電路構(gòu)成的控制系統(tǒng)重量和體積都很小，但電阻和電感值的選取十分有限，因此其減振頻率范圍十分有限。Park等[8]通過負電容分流電路研究控制了懸臂梁多階模態(tài)振動，在0～3 000 Hz頻率范圍內(nèi)實現(xiàn)了有效的振動衰減。Berardengo等[9]提出了當電路設(shè)置越接近穩(wěn)定性極限時的振動控制效果越好。Billon等[10]研究了一種壓電元件與機械放大器結(jié)合的懸掛結(jié)構(gòu)，并利用基于電阻和負電容的不同分流器降低振動在寬頻帶內(nèi)的傳輸。Ji等[11]提出了一種基于負電容并聯(lián)電路的同步開關(guān)阻尼方法，實現(xiàn)非對稱雙極電壓振動控制以提高控制性能，最終通過實驗驗證所設(shè)計電路的優(yōu)良阻尼性能，負電容分流電路不僅具有傳統(tǒng)分流電路的優(yōu)點，還具有寬頻的特點，極大方便了工程應(yīng)用[12-15]。

超材料是一種設(shè)計用于調(diào)控彈性波的人工復合材料。因性能優(yōu)于傳統(tǒng)材料，研究開發(fā)熱度迅速增長，例如負折射、負泊松比、負剛度和負體積模量等[16-17]。預(yù)計超材料將為推進隔振降噪技術(shù)發(fā)展提供前所未有的機遇[18-24]。在聲子晶體中，帶隙是由布拉格散射現(xiàn)象產(chǎn)生的[25-26]，其波長與周期性的空間尺度相關(guān)，因此低頻時則需要較大的結(jié)構(gòu)來產(chǎn)生帶隙，其帶隙通常出現(xiàn)在中高頻范圍內(nèi)[27]。而在低頻范圍(低于布拉格反射條件)和相對較小的結(jié)構(gòu)中可以產(chǎn)生局域共振帶隙[28]。趙龍等[29]通過周期性放置轉(zhuǎn)動能量采集諧振器，設(shè)計產(chǎn)生了局域共振帶隙，實現(xiàn)振動隔離和能量采集一體化。而壓電材料與超材料結(jié)合后能夠產(chǎn)生特殊的力電耦合特性，這種方式已被廣泛應(yīng)用于調(diào)整超構(gòu)材料帶隙[30-31]。Sugino等[32]研究了一種控制一維局域共振壓電超材料無序性的優(yōu)化方法，可有效提高衰減帶隙寬度同時避免振動能量沿結(jié)構(gòu)方向的局部化。何清波等[33]提出了一種剛度-質(zhì)量編碼新材料，為低頻寬帶隔振的可調(diào)諧性提供新思路，并在相關(guān)工程應(yīng)用中展現(xiàn)潛力。Chen等[34]提出了一類具有負電容壓電分流的新型活性彈性超材料，發(fā)現(xiàn)通過使用具有不同負電容值的壓電貼片可有效地調(diào)諧感應(yīng)帶隙，這類材料尤其適用于極低頻情況。Wang等[35]設(shè)計了一種可嵌入電磁鐵的3D打印數(shù)字超材料，并從理論和實驗上研究了其機制，實現(xiàn)可編程的擴大超材料帶隙。

受到以上研究的啟發(fā)，本文構(gòu)造了一種周期性鋪設(shè)有外接負電容分流電路的壓電纖維的圓環(huán)超結(jié)構(gòu)，推導了力電耦合動力學方程并通過有限元軟件分析了該結(jié)構(gòu)的減振特性。

1 帶有負電容分流阻尼器的懸臂梁的力學行為

1.1 機電耦合系統(tǒng)建模

分流電路會產(chǎn)生一個新的阻尼用來增強振動壓電梁系統(tǒng)的固有阻尼。該電路通過一對壓電片連接到懸臂梁上。壓電分流阻尼的基本思想是通過壓電傳感器將振動結(jié)構(gòu)中的機械能轉(zhuǎn)化為電能。圖1(a)顯示了與壓電相連的負電容分流阻尼器的電路原理圖，其等效電路圖如圖1(b)所示。

如圖1所示，壓電片可以等效為一個交流電源Ve(t)和一個串聯(lián)的電容器Cp。電阻器R1、R2、電容器C1以及運算放大器可構(gòu)成一個傳統(tǒng)的負電容分流電路。電阻器Rs的設(shè)置是為了避免一些電氣問題，但其設(shè)置也會導致一些不穩(wěn)定因素。因此，有必要設(shè)置電阻R3來避免這些不穩(wěn)定因素。因此，負電容分流阻尼器可以簡化為一個等效電阻Req和一個等效電容-Ceq并聯(lián)的形式。其表達式可以寫為：

Ceq=CnR2/R1

(1)

(2)

圖1 帶有負電容分流器的壓電的電路模型Fig.1 Circuit model of a piezoelectric with a negative capacitance shunt

建立了一個如圖2所示的模型來描述壓電梁系統(tǒng)的彎曲振動。壓電陶瓷和懸臂梁被認為是完全粘合在一起的，通過哈密頓建立壓電懸臂梁的動力學方程：

(3)

假設(shè)在壓電梁橫截面上的所有點的橫向位移都是一樣的。對于Bernoulli-Euler梁，忽略了梁的剪切變形和旋轉(zhuǎn)慣性。由于壓電片是對稱配置的，假設(shè)其縱向位移為零。

圖2 壓電梁系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)示意Fig.2 Schematic diagram of the structure of the piezoelectric beam system

其動力學方程可表述為：

?V[H(x-x1)-H(x-x2)]=f(x,t)

(4)

(5)

式中：H為Heaviside函數(shù)；w為懸臂梁的撓度；ρb、ρp和Ab、Ap分別對應(yīng)懸臂梁和壓電陶瓷的密度及橫截面面積；Ib和Ip為關(guān)于中性層的極慣性矩；R為等效阻尼；Cn、Cp分別表示負電容及壓電陶瓷的固有電容；?為機電耦合系數(shù)；V為壓電陶瓷輸出電壓；x1、x2為壓電陶瓷兩端沿懸臂梁軸向的位置坐標。

從以上分析可以看出，方程(4)是一個四階偏微分方程。假設(shè)梁的響應(yīng)可以寫為：

(6)

基于邊界條件，其模態(tài)的形式可以寫為：

Φ(x)=cos(αix)-cos(αix)-βi(sinh(αix)-

sin(αix))

(7)

將方程(6)代入方程(4)，離散化的微分方程可寫為：

(8)

式中：

H(x-x2)]dx

(9)

(10)

H(x-x2)]dx

(11)

(12)

(13)

式中：M、C、K分別代表懸臂梁的模態(tài)質(zhì)量矩陣、模態(tài)阻尼矩陣和模態(tài)剛度矩陣；Fb是外部激勵；Fp表示壓電片對梁的激勵作用。

1.2 有限元分析

為了驗證負電容分流電路的對振動的抑制效果，可以通過有限元仿真來實現(xiàn)，如圖3所示。在此仿真中，懸臂梁的材料是鋁，壓電陶瓷的材料是PZT-5A，它們的幾何參數(shù)及材料參數(shù)分別如表1和表2所示，a代表壓電陶瓷中電極寬度，p代表電極周期。

系統(tǒng)相應(yīng)的頻率響應(yīng)函數(shù)如圖3所示。可以看出，在負電容分流電路的作用下，懸臂梁的振動在0～3 000 Hz的頻率范圍內(nèi)，這些階次的振動被更明顯地衰減。振幅隨著頻率的增加而逐漸減小?？紤]負分流電路的損耗率方程，就可以很容易地解釋這一現(xiàn)象。而隨著頻率的增加，機械阻抗的損失因子也會增大。

表1 懸臂梁和壓電陶瓷的幾何和材料參數(shù)

表2 壓電陶瓷的電參數(shù)[36]Table2 Electrical parameters of the piezoelectric ceramic[36]

圖3 壓電梁系統(tǒng)的仿真頻率響應(yīng)Fig.3 Simulated frequency response of the piezoelectric beam system

2 周期性分布有負電容分流電路的超材料圓環(huán)結(jié)構(gòu)的振動控制效果

2.1 建模

圖4顯示了一個帶有周期性分布的壓電纖維片的圓環(huán)超材料結(jié)構(gòu)，每個壓電纖維片均與負電容分流電路相連。在下面的推導中，旋轉(zhuǎn)慣性和剪切變形將被忽略。且圓環(huán)的橫截面是矩形的，且沿軸向恒定。

圖5表示圓環(huán)結(jié)構(gòu)的一個單元abcd，作用在這個單元上的徑向和切向慣性力可分別表示為：

沿環(huán)的徑向和切向的運動方程可分別寫為：

(14)

(15)

式中：F是剪力；P是拉力；ρ為密度；A是橫截面積；R是圓環(huán)中心線的半徑；f和p分別是徑向和切向外力；u和w分別代表徑向和切向位移。

圓環(huán)中性面上的運動力矩方程可寫為：

(16)

為了利用變形分量來表示力和力矩，我們考慮一個典型的環(huán)形單元ab，它位于離環(huán)形中心軸一定距離的x處，如圖6所示。假設(shè)該單元的軸向應(yīng)力為σ，軸向應(yīng)變?yōu)棣?，所以兩者滿足關(guān)系：

σ=Eε

(17)

式中E為圓環(huán)結(jié)構(gòu)的楊氏模量。

軸力P和彎矩M可以寫為：

(18)

(19)

圖4 負電容壓電超材料環(huán)模型Fig.4 Model of a metamaterial ring with negative capacitance piezoelectric ring

圖5 圓環(huán)的一個單元Fig.5 Element of a circular ring

圖6 彎曲梁的微分單元Fig.6 Differential element of a curved beam

單元應(yīng)變可以表示為：

(20)

通過代入方程(17)和方程(20)到方程(18)和方程(19)中并積分，可以得到：

(21)

(22)

式中I表示關(guān)于橫截面的極慣性矩，可以表示為：

(23)

由于環(huán)形中心線的不可擴展性條件，并忽略少量的階次，可以得到：

(24)

將式(24)代入式(22)中，因此方程(22)可以寫為：

(25)

從該式可以看出，當半徑無限大時，式(25)為直梁彎矩。

綜上，平面內(nèi)振動圓環(huán)的動力學方程為：

(26)

同懸臂梁一樣，電路控制方程為：

(27)

周期性排列負電容分流電路的圓環(huán)的動力學方程可以寫為：

(28)

(29)

2.2 有限元分析

為了探究負電容周期性超材料圓環(huán)的減振特性，采用有限元方法對其進行頻率響應(yīng)分析。以圓環(huán)為出發(fā)點，進行了負電容和超材料2種物理機制的復合。在超材料圓環(huán)的頂部施加了指定位移激勵，在底部計算其幅頻響應(yīng)。圓環(huán)結(jié)構(gòu)參數(shù)如表3所示。壓電纖維片的電參數(shù)以及結(jié)構(gòu)參數(shù)如表4所示。

表3 超材料圓環(huán)結(jié)構(gòu)參數(shù)Table3 Structural parameters of metamaterial ring

表4 壓電纖維片的電參數(shù)及結(jié)構(gòu)參數(shù)[37]

等效電阻值取-2 kΩ，等效電容值取-50 nF時的頻率響應(yīng)圖如圖7所示，在沒有連接負電容分流電路的情況下，圓環(huán)表現(xiàn)出周期性超材料特性，出現(xiàn)較明顯的帶隙，但帶隙較窄。連接負電容分流電路后，圓環(huán)不僅表現(xiàn)出超材料結(jié)構(gòu)特性，出現(xiàn)較寬的帶隙，且其減振效果十分明顯?？梢钥闯鲈诘皖l范圍內(nèi)，減振效果存在但微弱，頻率達到1 000 Hz以上時，共振峰被壓下來，振動得到顯著抑制。在此基礎(chǔ)上，本文進一步對負電容分流電路進行了參數(shù)影響討論。

圖7 周期性負電容超材料圓環(huán)幅頻響應(yīng)曲線Fig.7 Amplitude-frequency response curves of the periodically arrayed negative capacitance metamaterial ring

圖8 Ceq取+50 nF和-50 nF時的頻率響應(yīng)曲線Fig.8 Frequency response curves forCeq at +50 nF and -50 nF

等效電容Ceq的值分別取+50 nF和-50 nF時的超材料圓環(huán)幅頻響應(yīng)曲線圖如圖8所示。從圖8可以看出，正電容情況下的超結(jié)構(gòu)，減振效果不是很明顯且?guī)稑O窄。而負電容情況下的超結(jié)構(gòu)，出現(xiàn)較寬帶隙，振動明顯被抑制。這也從側(cè)面反映出了負電容分流電路在減振工作中的可行性。

等效電容分別取-40、-50、-60 nF時的幅頻響應(yīng)曲線圖如圖9所示。從圖中可以看出，低頻段時，等效電容為-50 nF時的減振效果最優(yōu)，而在高頻段時，等效電容為-60 nF時的減振效果最優(yōu)，但兩者減振效果均優(yōu)于等效電容值取-40 nF的情況。這也從側(cè)面說明，當?shù)刃щ娙菖c壓電纖維固有電容絕對值之比越趨近于1時，等效電路的減振效果最好。

圖9 Ceq取-40 nF、-50 nF及-60 nF時的頻率響應(yīng)曲線Fig.9 Frequency response curves forCeq at -40 nF, -50 nF and -60 nF

圓環(huán)厚度的值分別取0.8、1.0和1.2 mm時的超材料圓環(huán)幅頻響應(yīng)如圖10所示。從圖10可以看出，圓環(huán)厚度為0.8 mm時產(chǎn)生了2 000～2 500 Hz、6 000～6 500 Hz、9 000～10 000 Hz 3個頻率范圍的帶隙，圓環(huán)厚度為1.0 mm時的帶隙范圍分別為2 500～3 000 Hz、5 000～6 000 Hz和7 000～7 300 Hz，圓環(huán)厚度為1.2 mm時的帶隙范圍分別為3 000～3 500 Hz和7 000～7 300 Hz?？梢钥闯?，隨著圓環(huán)厚度的減小，一階帶隙的頻率范圍向低頻移動，同時，在相同的頻率范圍(1～10 kHz)內(nèi)，0.8 mm厚度的圓環(huán)在高頻處產(chǎn)生了新的帶隙?？紤]到帶隙的帶寬與穩(wěn)定性，本文所研究的圓環(huán)厚度取為1 mm。

圖10 圓環(huán)厚度取0.8 mm、1.0 mm和1.2 mm時的頻響曲線Fig.10 Frequency response curves forhc at 0.8 mm, 1.0 mm and 1.2 mm

壓電纖維片厚度分別取0.25 mm和0.30 mm時的幅頻響應(yīng)如圖11所示。從圖中可以看出，壓電纖維片的厚度為0.30 mm時的超材料圓環(huán)的隔振性能顯著優(yōu)于壓電纖維片厚度為0.25 mm時的超材料圓環(huán)，且在5 000～6 000 Hz的頻率范圍內(nèi)，前者的帶隙寬度顯著寬于后者，基于此，前文研究所采用的壓電纖維片厚度均為0.30 mm。

圖11 壓電纖維片厚度取0.25 mm和0.30 mm時的頻響曲線Fig.11 Frequency response curves forhp at 0.25 mm and 0.30 mm

3 結(jié)論

1) 將負電容分流電路應(yīng)用于懸臂梁時，振動得到顯著衰減，負電容分流電路在隔振領(lǐng)域具有可行性。

2) 負電容分流電路周期性鋪設(shè)在圓環(huán)結(jié)構(gòu)時，出現(xiàn)明顯帶隙，且負電容分流電路的加入使得振動得到顯著衰減且?guī)蹲儗挕?/p>

3) 通過電路參數(shù)分析可以發(fā)現(xiàn)，當?shù)刃ж撾娙菖c壓電纖維固有電容絕對值之比趨近于1時，隔振效果最好。

但由于計算時所作運算及仿真均基于等效電路，與實際電路相比略有誤差，需要后續(xù)更深入的研究。