微尺度手性晶格中波傳播研究

趙鵬程， 張凱， 傅云嬋， 鄧子辰

(1.西北工業(yè)大學(xué) 力學(xué)與土木建筑學(xué)院，陜西 西安 710072； 2.西北工業(yè)大學(xué) 復(fù)雜系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)與控制工業(yè)和信息化部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710072)

周期晶格材料具有優(yōu)異和特殊的力學(xué)性能，如超輕、超強(qiáng)、超硬、負(fù)剛度、負(fù)泊松比或負(fù)質(zhì)量密度等，在航空、航天、機(jī)械和土木等工程領(lǐng)域中有廣泛的應(yīng)用[1-3]。周期晶格的力學(xué)性能不僅取決于其構(gòu)成材料，更依賴于精心設(shè)計(jì)的單胞幾何結(jié)構(gòu)，其尺寸范圍從納米級(jí)到米級(jí)。制造工藝水平的提高進(jìn)一步推動(dòng)了微/納米材料的發(fā)展，使其在精密儀器中得到了廣泛的應(yīng)用，如納米生物傳感器、微作動(dòng)器等先進(jìn)微/納工程結(jié)構(gòu)應(yīng)用[4-5]。研究這些微納尺度介質(zhì)的力學(xué)行為對(duì)于優(yōu)化設(shè)計(jì)和提高微尺度構(gòu)件的力學(xué)性能具有重要的意義，如利用微尺度單晶銀薄膜提高器件的硬度[6]和微尺度薄鎳片提高結(jié)構(gòu)的抗彎強(qiáng)度[7]。同時(shí)，利用微尺度周期晶格的動(dòng)力學(xué)特性，尤其是帶隙特性，即彈性波被允許或禁止傳播的頻帶，可以實(shí)現(xiàn)微/納尺度機(jī)電系統(tǒng)的振動(dòng)控制及減振隔振。因此，研究微尺度周期晶格的動(dòng)力學(xué)特性具有重要的科學(xué)研究?jī)r(jià)值和廣闊的工程應(yīng)用前景[8]。

大量的研究成果表明，基于宏觀理論計(jì)算與實(shí)驗(yàn)測(cè)試得到的微尺度結(jié)構(gòu)的力學(xué)特性具有較大差異。并且有相關(guān)實(shí)驗(yàn)證實(shí)，尺寸效應(yīng)是決定微尺度結(jié)構(gòu)的靜態(tài)和動(dòng)態(tài)性能的關(guān)鍵因素[9-10]。針對(duì)此問題，學(xué)術(shù)界發(fā)展了非局部彈性理論、非局部應(yīng)變梯度理論和應(yīng)變梯度理論等來表征微/納尺度材料的尺寸效應(yīng)。其中，非局部彈性理論將原子間的長(zhǎng)程力概念引入連續(xù)介質(zhì)力學(xué)，提出彈性體中一點(diǎn)的應(yīng)力與彈性體中所有點(diǎn)的應(yīng)變有關(guān)。非局部彈性理論只能表征微尺度構(gòu)件的剛度軟化效應(yīng)，這與許多實(shí)驗(yàn)研究得到的剛度增強(qiáng)效應(yīng)相互沖突[11-12]。應(yīng)變梯度理論指出彈性體的應(yīng)變能是應(yīng)變及其一、二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，可表征出微尺度構(gòu)件的剛度增強(qiáng)效應(yīng)。但該理論中除包含2個(gè)經(jīng)典常數(shù)外，還需要確定16個(gè)獨(dú)立的高階材料常數(shù)[13]。結(jié)合上述理論，非局部應(yīng)變梯度理論同時(shí)考慮了微尺度彈性體的非梯度非局部彈性應(yīng)力場(chǎng)和高階純應(yīng)變梯度應(yīng)力場(chǎng)，描述微尺度構(gòu)件的力學(xué)行為。但該理論需要考慮更為復(fù)雜的約束條件[14]。為了減少應(yīng)變梯度理論中高階材料常數(shù)的數(shù)量，學(xué)者們通過引入3個(gè)材料長(zhǎng)度尺度參數(shù)，提出了修正的應(yīng)變梯度理論，以描述微尺度結(jié)構(gòu)的力學(xué)特性[10]。然而，這3個(gè)材料長(zhǎng)度尺度參數(shù)難以通過實(shí)驗(yàn)測(cè)得。更進(jìn)一步，學(xué)術(shù)界提出了修正耦合應(yīng)力理論，通過引入一個(gè)尺度參數(shù)調(diào)節(jié)微尺度結(jié)構(gòu)的尺度效應(yīng)，可有效解決尺寸效應(yīng)下的歐拉梁、鐵木辛柯梁的靜態(tài)、動(dòng)態(tài)、屈曲和穩(wěn)定性分析等問題[15-17]。

手性結(jié)構(gòu)是一類廣泛存在于自然界中的周期性結(jié)構(gòu)，其優(yōu)異和特殊的力學(xué)性能得到了學(xué)術(shù)界的高度關(guān)注[18-19]。通過對(duì)這類周期性結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)，可以實(shí)現(xiàn)超越柯西彈性理論的自由度，并且在特定頻率下實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)靜態(tài)壓扭轉(zhuǎn)換效應(yīng)[20-21]。此外，還可以通過利用手性結(jié)構(gòu)的壓扭耦合特性，實(shí)現(xiàn)彈性波的調(diào)控[22]。然而，微/納尺度結(jié)構(gòu)的尺寸效應(yīng)，對(duì)結(jié)構(gòu)波傳播特性的影響非常顯著，需發(fā)展全面、可靠的理論模型用于表征微/納尺度手性結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性和波傳播特性。

本文針對(duì)具有尺寸效應(yīng)的微/納尺度手性周期的波傳播特性開展研究。基于修正耦合應(yīng)力理論，建立微尺度歐拉梁的控制方程，推導(dǎo)考慮尺寸效應(yīng)的歐拉梁有限單元矩陣，并結(jié)合Bloch定理分析微尺度手性晶格的波傳播特性。最后，通過與經(jīng)典理論所得結(jié)果比較，研究尺度效應(yīng)對(duì)微尺度手性周期晶格的能帶結(jié)構(gòu)、帶隙特性和色散面的影響。

1 微尺度手性晶格的動(dòng)力學(xué)模型

1.1 微尺度手性周期晶格幾何模型

本文的研究對(duì)象為微尺度三、四和六手性周期晶格，其單胞的幾何結(jié)構(gòu)如圖1所示，將單胞沿著周期性延伸方向(e1和e2方向)進(jìn)行陣列即可得到無限手性周期晶格。每個(gè)單胞的外接圓半徑為R,由3、4和6根長(zhǎng)度為L(zhǎng)的細(xì)桿和半徑為r的圓環(huán)剛性連接組成，即組成三、四和六手性周期晶格。圓環(huán)和細(xì)桿的截面均為矩形，其寬度為b，高度為h。每根細(xì)桿和圓環(huán)的幾何關(guān)系為相切。

圖1 微尺度三、四和六手性周期晶格的單胞Fig.1 Unit cells of microscale hexachiral, tetrachiral and triachiral periodic lattices

1.2 考慮尺寸效應(yīng)的有限單元法

基于修正耦合應(yīng)力理論，微尺度歐拉梁的運(yùn)動(dòng)方程為[23-24]：

(1)

(2)

式中：E是楊氏模量；G是剪切模量；ρ是質(zhì)量密度；A=bh是梁的橫截面積；I=bh3/12是慣性矩；l0是修正耦合應(yīng)力理論中的尺度參數(shù)；u和w分別表示梁的軸向和橫向位移；f和q是軸向力和橫向力。當(dāng)尺度參數(shù)l0等于零時(shí)，運(yùn)動(dòng)方程可退化為基于經(jīng)典理論的歐拉梁運(yùn)動(dòng)方程。

本文基于有限單元理論，采用2個(gè)節(jié)點(diǎn)和6個(gè)自由度來描述平面歐拉梁?jiǎn)卧＞植孔鴺?biāo)體系的歐拉梁的中性面的位移為：

(3)

(4)

式中l(wèi)是歐拉梁?jiǎn)卧拈L(zhǎng)度。因此考慮尺寸效應(yīng)的微尺度歐拉梁的單元?jiǎng)偠群唾|(zhì)量矩陣可以通過形函數(shù)計(jì)算：

(5)

式中：

(Kg-ω2Mg)ug=0

(6)

式中：Mg和Kg是微手性晶格單胞的全局質(zhì)量矩陣和剛度矩陣；ω是角頻率；ug是所有節(jié)點(diǎn)的位移。

1.3 波傳播分析

基于Bloch定理，周期晶格單胞中的任意節(jié)點(diǎn)位移可以通過相應(yīng)的單胞的節(jié)點(diǎn)位移描述。通過應(yīng)用Bloch定理，微尺寸周期晶格的運(yùn)動(dòng)控制方程為[25-27]：

(Kr(k1,k2)-ω2Mr(k1,k2))ur=0

(7)

式中：Kr(k1,k2)和Mr(k1,k2)是考慮周期性邊界條件的剛度和質(zhì)量矩陣；(k1,k2)是第一布里淵區(qū)的波矢。波矢沿第一不可約布里淵區(qū)的邊界掃掠，并求解式(7)中的特征值，進(jìn)而可以得到考慮尺寸效應(yīng)的微尺度手性晶格的能帶結(jié)構(gòu)。

2 結(jié)果與討論

2.1 微尺度手性晶格的能帶結(jié)構(gòu)

如圖2(a)所示為微尺度三手性晶格的能帶結(jié)構(gòu)其中幾何參數(shù)α=0.86。與基于經(jīng)典理論歐拉梁計(jì)算的能帶結(jié)構(gòu)相比，考慮尺寸效應(yīng)的微尺度晶格的色散曲線分布在更高的頻率中。這是因?yàn)樵谖⒊叨葰W拉梁的運(yùn)動(dòng)方程中，尺寸效應(yīng)增加了微尺度結(jié)構(gòu)的彎曲剛度。經(jīng)典理論計(jì)算的微尺度三手性晶格的前3條帶隙分別為[2 222.67, 3 976.40]、[6 172.04, 8 121.93]和[8 791.51, 9 657.25]，而考慮尺寸效應(yīng)計(jì)算的前3條帶隙分別為：[2 540.56, 4 343.17]、[7 010.08， 8 615.91]和[9 129.55, 10 608.57]。隨著色散分支頻率的增加，色散曲線與經(jīng)典理論的計(jì)算結(jié)果偏離越來越遠(yuǎn)，2種理論計(jì)算出的帶隙范圍的差異增大。

如圖2(b)所示，得到了幾何參數(shù)α對(duì)帶隙分布的影響?；诮?jīng)典理論計(jì)算的帶隙頻率小于相應(yīng)的考慮尺寸效應(yīng)的帶隙頻率。區(qū)域的重疊區(qū)域表示2種理論所能計(jì)算的帶隙范圍，重疊面積越小，表示2種理論在微尺度結(jié)構(gòu)計(jì)算時(shí)所產(chǎn)生的差異越大。同時(shí)，可以觀察到，當(dāng)幾何參數(shù)α大于0.22時(shí)，帶隙寬度逐漸降低。當(dāng)幾何參數(shù)α大于0.52時(shí)，最低頻率的帶隙寬度隨著幾何參數(shù)α的增大而增大。

圖2 微尺度三手性周期晶格的能帶結(jié)構(gòu)和帶隙分布Fig.2 Band structures and bandgap distributions of a microscale hexachiral periodic lattice

微尺度四手性晶格的能帶結(jié)構(gòu)(α=0.93)如圖3(a)所示，考慮尺寸效應(yīng)的色散曲線(實(shí)線)大于相應(yīng)的基于經(jīng)典理論計(jì)算的色散曲線(點(diǎn)線)。尺寸效應(yīng)對(duì)前5階色散曲線的形狀影響較小。當(dāng)考慮尺寸效應(yīng)時(shí)，第5條色散曲線的最小值出現(xiàn)在M點(diǎn)，而經(jīng)典理論計(jì)算的第5條色散曲線的最小值出現(xiàn)在X點(diǎn)，這表明尺寸效應(yīng)不僅影響色散曲線的頻率，還影響色散曲線的形狀。圖3(b)得到了幾何參數(shù)對(duì)帶隙分布的影響，考慮尺寸效應(yīng)計(jì)算的帶隙數(shù)量多于經(jīng)典理論計(jì)算的帶隙數(shù)量。這表明尺寸效應(yīng)不僅影響帶隙的頻率和寬度，還影響帶隙的產(chǎn)生。通過上述分析得到，為了準(zhǔn)確描述微尺度手性晶格的帶隙特性，必須考慮尺寸效應(yīng)對(duì)微尺度晶格結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性的影響。

圖3 微尺度四手性周期晶格的能帶結(jié)構(gòu)和帶隙分布Fig.3 Band structures and bandgap distributions of a microscale tetrachiral periodic lattice

微尺度六手性晶格(α= 0.93)的能帶結(jié)構(gòu)如圖4(a)所示，考慮尺寸效應(yīng)的色散曲線(實(shí)線)大于相應(yīng)的基于經(jīng)典理論計(jì)算的色散曲線(點(diǎn)線)，表明尺寸效應(yīng)對(duì)色散曲線的形狀影響較小。顯然，基于2種理論計(jì)算的能帶結(jié)構(gòu)中，只有一條帶隙出現(xiàn)在第3和4條色散曲線之間。基于本文理論計(jì)算的帶隙上限和下限出現(xiàn)在同一波矢處，而基于經(jīng)典理論計(jì)算的帶隙上限和下限對(duì)應(yīng)的波矢則不同，這表明尺寸效應(yīng)會(huì)使色散曲線的極值位置發(fā)生變化。圖4(b)繪制了幾何參數(shù)α對(duì)帶隙分布的影響，基于經(jīng)典理論計(jì)算的帶隙頻率小于相應(yīng)的考慮尺寸效應(yīng)計(jì)算的帶隙分布。另外，考慮尺寸效應(yīng)的計(jì)算結(jié)果，最高帶隙在α為0.2附近產(chǎn)生間斷，這可以用來調(diào)節(jié)帶隙的打開或關(guān)閉，而經(jīng)典理論計(jì)算的最高帶隙則連續(xù)分布。

2.2 尺寸效應(yīng)對(duì)色散表面的等頻面的影響

本節(jié)使用色散表面的等頻面來預(yù)測(cè)微尺度晶格結(jié)構(gòu)中波傳播的方向性，并研究尺寸效應(yīng)對(duì)波傳播方向性的影響。色散表面的等頻面可以在特定頻率下描述彈性波沿介質(zhì)傳播的各向同性或各向異性特征[29]。當(dāng)?shù)阮l面是圓形時(shí)，表明其在相應(yīng)頻率范圍內(nèi)的各向同性特性，而非規(guī)則幾何形狀如具有波瓣?duì)畹膹?fù)雜等頻輪廓表明其各向異性特性。

圖4 微尺度六手性周期晶格的能帶結(jié)構(gòu)和帶隙分布Fig.4 Band structures and bandgap distributions of a microscale trichiral periodic lattice

微尺度三手性晶格的前兩階色散表面的等頻面如圖5所示，圖5(a)和(b)是采用經(jīng)典理論計(jì)算的前兩階色散表面的等頻面，(c)和(d)是考慮尺寸效應(yīng)計(jì)算的等頻面。如圖5(a)所示，當(dāng)頻率小于612.5時(shí)，等頻面是圓形，表明此頻率下的彈性波在微尺度三手性晶格中的傳播呈現(xiàn)各向同性特性。當(dāng)頻率大于612.5時(shí)，色散表面的等頻面沿0°、±60°、±120°和180°方向出現(xiàn)向外突出的波瓣。圖5(b)描述了微尺度三手性晶格第二階色散表面的等頻面，當(dāng)頻率小于918.5時(shí)，等頻面為圓形，當(dāng)頻率大于918.5時(shí)，逐漸變?yōu)榱呅?，這表明隨著頻率的增大，彈性波傳播的各向同性特性減小，各向異性增大。圖5顯示出了尺寸效應(yīng)對(duì)微尺度三手性晶格的波傳播的方向性具有重要的影響。在低頻范圍內(nèi)，前2條色散表面的等頻面是一個(gè)圓形，這表明彈性波的傳播是各向同性的，彈性波均勻地向四周同時(shí)傳播。隨著頻率的增加，第一階色散表面的等頻面由圓形變?yōu)榫哂小邦惲晷巍?six-lobe)的復(fù)雜曲線，隨著頻率增大，這種現(xiàn)象表現(xiàn)得更為明顯[30]，這表示彈性波更易于沿高對(duì)稱點(diǎn)方向傳播。第二階色散表面的等頻面變?yōu)榱呅?，這表明微尺度三手性晶格的各向異性程度增加，彈性波在更高的頻率下具有方向特性。

圖5 微尺度三手性周期晶格的前兩階色散表面的等頻面Fig.5 Iso-frequency surfaces of microscale hexachiral periodic lattice for the first and two dispersion surfaces

圖6得到了微尺度四手性晶格的前兩階色散表面的等頻面。

圖6 微尺度四手性周期晶格的前兩階色散表面的等頻面Fig.6 Iso-frequency surfaces of microscale tetrachiral periodic lattice for the first and two dispersion surfaces

如圖6(a)和(c)所示，當(dāng)頻率小于449.8時(shí)，第一階色散表面的等頻面具有4個(gè)尖角，這表明四手性晶格較強(qiáng)的各向異性特性，這種強(qiáng)各向異性特性也出現(xiàn)在在宏觀四手性晶中[26]。2種理論計(jì)算的第一階色散表面的等頻面都是具有4個(gè)尖角的復(fù)雜曲線，這表明微尺度四手性晶格具有較強(qiáng)的各向異性。隨著頻率的增加，等頻面的尖角逐漸產(chǎn)生彎曲。低頻范圍內(nèi)，第二階色散表面的等頻面是圓形。隨著頻率的增大，等頻面由圓形轉(zhuǎn)化為方形，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為更為復(fù)雜的幾何形狀。從上述分析可知，尺寸效應(yīng)增大色散曲面的等頻面的頻率，使色散面的等頻面形狀更加復(fù)雜，增加了該頻率下彈性波傳播的各項(xiàng)異性程度，即彈性波傳播具有更強(qiáng)的方向特性。

3 結(jié)論

1) 尺寸效應(yīng)對(duì)微尺度手性晶格中波傳播特性具有顯著的影響。尺寸效應(yīng)影響色散曲線的頻率和形狀，導(dǎo)致帶隙結(jié)構(gòu)明顯區(qū)別于經(jīng)典理論計(jì)算的結(jié)果。

2) 通過前兩色散面的等頻面研究，得到了尺寸效應(yīng)對(duì)微尺度手性晶格的波傳播方向性的影響規(guī)律。研究結(jié)果證實(shí)了尺寸效應(yīng)對(duì)微尺度晶格波傳播特性的重要影響。