高效非局部聚焦水聲超表面

楊天， 楊天智

(東北大學(xué) 機(jī)械工程與自動化學(xué)院，遼寧 沈陽 110819)

超材料是一種具有亞波長單元尺寸結(jié)構(gòu)的人工材料，擁有超越天然材料奇特物理性能。超材料的種類繁多且功能各異，常見的超材料包括光學(xué)超材料、熱學(xué)超材料[1]、力學(xué)超材料[2-5]等。此外，在過去的10余年里，聲學(xué)超材料的研究取得了重大進(jìn)展[6-10]。其中，能產(chǎn)生相位突變的平面聲學(xué)超材料被稱為聲學(xué)超表面。目前，基于廣義斯奈爾定律[11]，通過采用不同相位調(diào)制方法設(shè)計的超表面已經(jīng)實現(xiàn)了聚焦、寬帶異常反射、自彎曲和聲濾波等功能[12-14]。近年來，水下超材料聲學(xué)技術(shù)得到了廣泛的關(guān)注[15-19]。各種奇異的水下聲學(xué)現(xiàn)象已經(jīng)被陸續(xù)觀察到，如波束分裂和非對稱傳輸[20]、波束轉(zhuǎn)向[21]、隱身地毯[22]、水下虹吸[23]和平面波轉(zhuǎn)換[24]等。然而，在上述水聲超表面的研究中，聲波能量控制的效率始終不高，這始終受到2個主要因素的限制：寬帶阻抗失配[25]和流固耦合作用[26]。對此，本文設(shè)計了一種具有非局部特性的新型聲學(xué)超表面，能夠有效地克服上述2種限制因素；結(jié)合優(yōu)化設(shè)計算法，也可以進(jìn)一步提高水聲超表面的效率控制極限[20]。盡管現(xiàn)有的相關(guān)發(fā)現(xiàn)部分揭示了超材料的非局部特性能夠有效地加強對聲波的操縱，但目前的研究僅采用局部化的設(shè)計：超表面的微結(jié)構(gòu)之間相互獨立。尚無非局部水聲超表面的相關(guān)研究發(fā)表。在這項工作中，本文提出了一種高效非局部聚焦水聲超表面，它可以實現(xiàn)典型的聲學(xué)聚焦功能。將傳統(tǒng)局部水聲超表面的獨立諧振腔單元直接連接，獲得具有耦合作用的非局部單胞。進(jìn)一步地，根據(jù)廣義斯奈爾定律，將非局部單胞對稱地排列組合成高效非局部水聲超表面。

1 理論依據(jù)

如圖1所示，為了實現(xiàn)對水下平面聲波聚焦的高效控制，在亞波長尺度上設(shè)計了一層具有相位梯度的對稱性超表面結(jié)構(gòu)，滿足聲波路徑對相位突變的需求。根據(jù)廣義斯奈爾定律可知，入射角與折射角之間的關(guān)系可以表示為:

(1)

式中:θi和θt分別代表聲波的入射角和折射角；cw是聲波在水下的傳播速度，頻率f0= 23.3 kHz，相應(yīng)的波長為λ0=cw/f0；dφ(x)/dx是相位梯度相關(guān)項。

圖1 水下聲波聚焦的高效控制示意Fig.1 Schematic diagram of efficient control of underwater acoustic focusing

進(jìn)一步地，為了實現(xiàn)將入射的平面波轉(zhuǎn)化為球面波，超表面的周期性對稱結(jié)構(gòu)的相位補償分布應(yīng)服從依賴于空間位置的拋物線分布。如圖1所示，每個功能單元由8個單胞組成。一般地，正向入射的超表面相位分布可由廣義的斯奈爾定律推得[27]：

(2)

式中:kt是波矢量;PS是為了實現(xiàn)聚焦需要補償?shù)木嚯x；λ0為波長;fx是沿x方向的焦距;y為沿y方向的尺寸；φ(y)為不同y方向位置所對應(yīng)的相位大小。

值得注意的是，雖然每個諧振腔之間的耦合壁看起來與空氣中的局部超表面的設(shè)計極為相似，但二者基本作用機(jī)制卻明顯不同：在水域環(huán)境下，由于流固耦合作用的效果極為明顯，耦合壁顯現(xiàn)出彈性體特質(zhì)；而在空氣中，流固耦合作用的效果極弱，耦合壁應(yīng)被視為剛性結(jié)構(gòu)。因此，水域中耦合壁將單胞內(nèi)的獨立單元格連接為一個整體，大大加強了水聲超表面的長程相互作用，進(jìn)而有效地提高了聚焦效率。

2 單胞的非局部設(shè)計

圖2(a)所示，局部超表面的單胞是由3個尺寸相同的獨立振動的亥姆霍茲諧振腔等間距縱向交錯排列組成的。其中，每個單胞中的諧振器均可以看作一個單自由度的質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)。因此，局部超表面單胞內(nèi)部的每個諧振腔的振動均是相互獨立的。

圖2 單胞模型對比Fig.2 Comparison of the unit cell models

通過直接耦合局部超表面單胞內(nèi)的諧振腔，獲得了非局部超表面單胞。相比之下，非局部超表面存在耦合壁，能量可以在相鄰諧振腔之間穿梭交互。圖2(a)顯示了在x-y橫截面上，聲波沿x軸正向入射的情形。單條模型y方向的寬度為d。單胞的長度和寬度分別為a和b，諧振腔的深度和寬度為l和h，端口的深度和寬度為l0和h0。局部單胞中諧振腔之間的間隙表示為e，腔體壁厚為t。單胞的材料特性和詳細(xì)幾何參數(shù)分別列于表1和表2。通過調(diào)整l的大小可以實現(xiàn)系統(tǒng)的不同振動特性，覆蓋2π全范圍的相移。需要注意的是，為了滿足超表面厚度的亞波長要求，尺寸a需小于超表面工作波長。

表1 材料屬性Table1 Material properties

表2 幾何參數(shù)Table2 Geometric parameters mm

為了得到可變參數(shù)與相移之間的關(guān)系，使用有限元軟件COMSOL Multiphysics進(jìn)行建模和模擬?？紤]到流固耦合作用對相移的影響，使用COMSOL中聲學(xué)-固體力學(xué)的頻域模塊，分別評估局部和非局部單胞的頻響關(guān)系。首先構(gòu)建一個帶有單胞的超表面條形模型，如圖2(a)中顯示。將模型中在單胞左側(cè)區(qū)域沿x方向施加的背景聲壓場作為初始入射波；在右側(cè)區(qū)域距離單胞9b(b=30 mm)處放置探測點A，并檢測該點處的聲波相移；將連續(xù)周期性邊界條件分別應(yīng)用于單條模型的上下層邊界；模型的左右兩端均采用完美匹配層模擬無限邊界(圖中未顯示)以吸收傳輸?shù)竭吔绲乃新暡?；使用物理場控制的自由三角形網(wǎng)格；采用掃掠網(wǎng)格對完美匹配層進(jìn)行離散。

結(jié)果顯示，當(dāng)考慮流固耦合作用時，頻率在21.3 kHz≤f0≤27 kHz內(nèi)折射波相移隨參數(shù)l的變化，幾乎均可實現(xiàn)相位2π被完全覆蓋。值得注意的是，局部單胞折射相移普遍突變明顯且連續(xù)性差；相比之下，非局部超表面單胞具有更平滑的折射相移變化。這表明非局部水聲超表面不但具有連續(xù)均勻的參數(shù)尺寸，而且對聲波的操控能力更強。橫縱對比的結(jié)果有力地說明了，非局部超表面離散相移時，對應(yīng)的參數(shù)尺寸分布均勻，這對超表面的實際制造尤為重要；如圖2(b)、(c)所示，非局部設(shè)計的透射率在全參數(shù)范圍內(nèi)均能保持高透射率。局部和非局部單胞的最小透射率為1.1%和77.3%，分別用紫色五星標(biāo)記。此外，非局部水聲超表面實現(xiàn)的聚焦效應(yīng)對頻率變化不敏感，在案例中，它接受的頻率范圍為[22.1，24.3]kHz。這意味著非局部設(shè)計不僅對微小的頻率波動適應(yīng)性更強，而且對制造誤差的魯棒性也優(yōu)于傳統(tǒng)的局部設(shè)計。

為了不失一般性，選擇f=23.3 kHz的聲波進(jìn)行進(jìn)一步的研究比較。如圖2(b)、(c)所示，通過改變l的大小，幾乎實現(xiàn)了[0, 2π]的相移，其中圖(c)所示實線變化更加均勻。這意味著隨著l的調(diào)整，非局部設(shè)計比局部設(shè)計具有更均勻更緩和的相移。此外，局部設(shè)計的透射率隨著參數(shù)變化急劇下降至1.1%，這也是嚴(yán)重限制局部超表面聚焦效率的重要因素之一。

3 算例分析

為了對比局部超表面和非局部超表面對聲波聚焦操控的效果，將y=0處的焦距fx定義為波長的6.5倍(即：fx=6.5λ0)，其中，y方向的不同位置所對應(yīng)的相位大小φ(y)可根據(jù)式(2)計算得出。進(jìn)一步地，分別參考圖2(b)、(c)中的2條相移曲線(實線)，取離散相位所對應(yīng)的參數(shù)值構(gòu)建局部和非局部水聲超表面，變量參數(shù)l如表3所示。

表3 中心聚焦的參數(shù)變化Table3 Variable parameters of central focusing mm

如圖3(a)、(b)所示，在正入射(θi=0°)的背景聲壓場(P0=1 Pa)作用下，聚焦聲壓場的模擬結(jié)果(入射聲壓場未在圖中顯示)。圖中白色虛線的交點為聚焦點。不難看出，非局部設(shè)計比局部設(shè)計的聚焦操控效果更好。如圖3(c)、(d)所示，為了定量地描述局部和非局部超表面的聚焦效果，分別繪制了x=0.418 m和y=0處的聚焦聲壓場分布曲線圖，以精確比較二者聚焦性能的優(yōu)劣。從能量密度的角度分析[28]，使用了超表面的聚焦效率η。它可以表示為：

(3)

式中:PF為聚焦范圍內(nèi)的功率強度，Pi為入射功率強度；l為功率強度的半全高寬，如圖3(c)所示；pf為y方向上的聚焦范圍l對應(yīng)的功率強度，pi為y方向上，超表面的總寬度y對應(yīng)的功率強度。

圖3 正入射對比Fig.3 Comparison of normal incidence

根據(jù)式(3)可以計算出，非局部水聲超表面的聚焦效率為48.73%；而傳統(tǒng)的局部水聲超表面的聚焦效率僅為35.70%。相比之下，非局部設(shè)計的聚焦效率比局部設(shè)計提高了36.50%。計算結(jié)果與仿真預(yù)測的結(jié)論有著較好的吻合，從數(shù)值角度證明了非局部水聲超表面的高效性與可行性。為了比較二者對頻率波動的適應(yīng)性，對正入射聲壓場進(jìn)行了掃頻處理，掃頻范圍為22.1～24.3 kHz。以首末頻率為例，非局部水聲超表面的聚焦效率明顯更高。如圖4(a)、(b)所示，當(dāng)f=22.1 kHz時，局部設(shè)計和非局部設(shè)計的峰值分別為2.35 Pa2和4.73 Pa2；如圖4(c)、(d)所示，當(dāng)f=22.1 kHz時，二者的峰值分別為3.63 Pa2和5.46 Pa2。不難看出，同等條件下非局部設(shè)計對水聲的聚焦操控效果受頻率波動影響較小，適應(yīng)能力更強，具有更好的魯棒性。

圖4 針對頻率波動的魯棒性比較Fig.4 Comparison of robustness against frequency fluctuations

此外，在[-40°～ 40°]的范圍內(nèi)任意調(diào)整入射角度，進(jìn)而對比2種設(shè)計的聚焦性能隨聲壓場入射角度變化的波動情況?？梢杂^察到在角度調(diào)節(jié)過程中，非局部水聲超表面的聚焦效果始終優(yōu)于局部水聲超表面。以極限入射角度為例，當(dāng)入射角度θi=-40°(或θi=40°)時，聚焦聲壓場功率強度的模擬結(jié)果如圖5(a)、(b)所示?？梢悦黠@觀察到，當(dāng)入射角發(fā)生變化時，局部設(shè)計的聚焦效果發(fā)生了很大程度的削減；而非局部設(shè)計對聲波聚焦的操控能力幾乎不受影響。

圖5 斜入射與短焦距聚焦場Fig.5 The focusing fields under the incident acoustic at 40°and with short focal length

為了對比局部設(shè)計和非局部設(shè)計在短距離處的聚焦效果，將y=0處的焦距fx定義為波長的3倍(即fx=3λ0)，同樣地，φ(y)可根據(jù)式(2)計算得出。再參考圖2(b)、(c)中的2條相移曲線，分別構(gòu)建局部和非局部水聲超表面，變量參數(shù)l如表4所示。

表4 短焦距的參數(shù)變化Table4 Variable parameters of short focal length mm

在正入射(θi=0°)背景聲壓場(P0=1 Pa)的作用下，聚焦聲壓場的模擬結(jié)果如圖5(c)、(d)所示。圖中虛線的交點位置為聚焦點。不難看出，非局部水聲超表面在短距離處的聚焦效率仍然明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的超表面。

4 結(jié)論

1)同等條件下，本文提出的非局部水聲超表面將聚焦效率優(yōu)化提高了36.50%；非局部水聲超表面在頻率波動、入射場角度和焦距變化時仍可保持穩(wěn)定地高效聚焦。

2)但非局域設(shè)計具有“牽一發(fā)而動全身”的效果，在引入非局域特征的過程中，可能會產(chǎn)生一些副作用，如：串?dāng)_等。

3)本文將非局域思想從量子領(lǐng)域遷移應(yīng)用至水下聲學(xué)超材料中，值得注意的是，考慮了水下環(huán)境強烈的流固耦合作用。

4)這種非局部設(shè)計具有均勻的單元尺寸，在實際的制造和應(yīng)用中容易實現(xiàn)。有望進(jìn)一步促進(jìn)高效超表面在水下信號通信和高分辨率超聲成像方面的實際應(yīng)用。

對于非局域特征引入過程中的一系列附帶的作用的產(chǎn)生機(jī)制、特點和規(guī)律仍需進(jìn)一步探究。