局域共振薄膜結(jié)構(gòu)的管腔熱聲耦合振蕩抑制研究

劉楊， 陳京圳， 杜敬濤

(哈爾濱工程大學(xué) 動(dòng)力與能源工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

燃燒過程中不穩(wěn)定熱釋放與燃燒室聲場發(fā)生耦合后，在接近熱聲系統(tǒng)共振頻率時(shí)形成大幅度壓力振蕩，并會(huì)產(chǎn)生強(qiáng)烈的燃燒噪聲。特別是對(duì)于低排放燃燒系統(tǒng)中的預(yù)混燃燒極易引起系統(tǒng)熱聲振蕩，嚴(yán)重影響燃燒系統(tǒng)的安靜性以及低排放等性能指標(biāo)[1-2]。因此，各國學(xué)者圍繞熱聲振蕩現(xiàn)象的物理機(jī)制以及不穩(wěn)定性控制方面開展了大量研究[3]。Rijke管常被學(xué)者用于熱聲振蕩的研究，當(dāng)兩端開口的豎直管路中放入加熱絲時(shí)，會(huì)出現(xiàn)蜂鳴聲，即熱聲振蕩現(xiàn)象[4]?；谌鹄麥?zhǔn)則[5]可知，熱源擾動(dòng)與壓力波動(dòng)同相位時(shí)，系統(tǒng)可能發(fā)生振蕩現(xiàn)象。在熱聲振蕩抑制方面，主要有主動(dòng)控制和被動(dòng)控制。主動(dòng)控制通過增加誤差傳感器、次級(jí)聲源以及控制器[6]，對(duì)熱聲系統(tǒng)穩(wěn)定性進(jìn)行實(shí)時(shí)調(diào)控。Heckl[7]通過設(shè)計(jì)次級(jí)聲源的增益和相位角對(duì)Rijke管熱聲振蕩進(jìn)行了有效調(diào)控。Olgac等[8-9]在主動(dòng)控制系統(tǒng)中引入了時(shí)滯積分控制器，可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)多模態(tài)的不穩(wěn)定性抑制。主動(dòng)控制具有較好的實(shí)時(shí)性和追蹤性，但構(gòu)成較為復(fù)雜、成本高，且穩(wěn)定性影響因素較多，因此，各國學(xué)者更青睞于被動(dòng)控制。被動(dòng)控制主要通過引入聲學(xué)結(jié)構(gòu)，如亥姆霍茲共振器(Helmholtz resonators, HR)、1/4波長管、微穿孔板等結(jié)構(gòu)[10-11]。其中，HR共振器受到各國學(xué)者的廣泛關(guān)注。Dowling[12]對(duì)亥姆霍茲共振器的數(shù)量、頸和腔尺寸進(jìn)行了詳細(xì)研究，給出了不同燃燒狀態(tài)下系統(tǒng)穩(wěn)定性的調(diào)控方案。Olgac等[13]研究了亥姆霍茲共振器對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性增長率的影響規(guī)律，并給出了多個(gè)HR共振器的調(diào)控方法。Zhang等[14]通過改變HR頸部尺寸設(shè)計(jì)了可調(diào)諧HR共振器。此外，穿孔內(nèi)襯由于其結(jié)構(gòu)緊湊，聲學(xué)阻尼性能顯著，也被用于熱聲耦合振蕩不穩(wěn)定性的抑制研究[15-17]。從文獻(xiàn)調(diào)研可以看出，目前熱聲振蕩控制技術(shù)存在控制頻率單一，可調(diào)性差等局限，難以滿足復(fù)雜燃燒系統(tǒng)的熱聲振蕩抑制要求。

傳統(tǒng)的振動(dòng)、噪聲控制結(jié)構(gòu)在低頻寬帶以及結(jié)構(gòu)尺寸上常具有一定的局限性。近年來，聲子晶體由于具有良好的波操縱能力而受到了大家的廣泛關(guān)注，這些周期結(jié)構(gòu)中往往存在聲學(xué)帶隙，即聲波在相應(yīng)頻帶范圍內(nèi)被禁止傳播[18-19]。對(duì)于依賴周期特性產(chǎn)生的帶隙稱為布拉格反射帶隙，此類帶隙受周期結(jié)構(gòu)晶格常數(shù)的影響。因此，文獻(xiàn)[20]提出了基于共振結(jié)構(gòu)的聲學(xué)帶隙，即局域共振帶隙，可實(shí)現(xiàn)“小尺寸大波長”的控制效果。

本文提出一種周期分布的局域共振薄膜結(jié)構(gòu)，系統(tǒng)揭示了薄膜結(jié)構(gòu)關(guān)鍵參數(shù)對(duì)熱聲系統(tǒng)模態(tài)穩(wěn)定性的影響規(guī)律，并探究了聲學(xué)帶隙對(duì)模態(tài)穩(wěn)定性的抑制作用。

1 理論模型與公式推導(dǎo)

圖1為管腔熱聲耦合系統(tǒng)-周期局域共振薄膜示意圖。其中，管腔兩端部聲壓反射系數(shù)分別設(shè)為R0和RLd，管長記為Ld。管腔壁面鑲嵌周期分布局域共振薄膜結(jié)構(gòu)，薄膜單元長度記為L，第1個(gè)薄膜位置坐標(biāo)記為(x1,x2)，周期距離(晶格常數(shù))為D。在管腔xq處設(shè)置一熱源，其熱釋放率記為q′(x,t)=Q′(t)δ(x-xq)，Q′(t)=Qe-iωt，δ為Diracδ-函數(shù)。利用線性時(shí)滯定律來模擬燃燒熱源，有：

(1)

式中：ρ為媒質(zhì)的密度；c為聲速；n為火焰干涉系數(shù)；τ為遲滯時(shí)間；u-表示火焰上游質(zhì)點(diǎn)振速。式(1)可在頻域內(nèi)寫為[21]：

(2)

可以發(fā)現(xiàn)，熱源熱釋放率與熱源前端媒質(zhì)質(zhì)點(diǎn)振速相關(guān)，且存在一定的相位延遲τ，即n-τ火焰模型。此外，一階火焰模型也常用于燃燒熱源的熱釋放率描述，此類模型求解系統(tǒng)特征根時(shí)較為方便，但不能充分表征燃燒系統(tǒng)熱、聲模態(tài)的耦合特性。

圖1 管腔熱聲耦合系統(tǒng)-周期局域共振薄膜示意Fig.1 Schematic diagram of the tube thermoacoustic coupling system with periodic locally resonant membranes

在熱源附近應(yīng)用聲壓以及質(zhì)量連續(xù)性條件，可得：

Axqe-ikxq+Bxqeikxq=Cxqe-ikxq+Dxqeikxq

(3)

(4)

式中k為波數(shù)，k=ω/c，對(duì)于兩端緊固的薄膜結(jié)構(gòu)，其位移表達(dá)式可以寫為：

(5)

式中：A為位移函數(shù)的系數(shù)向量；Ψ為振型向量。通過能量原理可以求解管腔-薄膜耦合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性[22]，即：

Α=(K-ω2M+iωG)-1Pi&r=ΠPi&r

(6)

式中：K和M是膜的剛度和質(zhì)量矩陣；G是管腔中膜輻射聲的貢獻(xiàn)矩陣；Pi&r表示薄膜上方聲壓作用項(xiàng)。

腫瘤組織間碘-125放射性粒子植入術(shù)作為臨床腫瘤治療方式之一,可應(yīng)用于多種腫瘤的治療中,治療效果較好。但是手術(shù)過后需要對(duì)患者開展嚴(yán)密的護(hù)理,才可保證手術(shù)效果,提升預(yù)后。

Pi&r=AsP1+Bs+1P2

(7)

(8)

根據(jù)第s個(gè)薄膜兩端聲壓連續(xù)性條件，有:

(9)

(10)

(11)

(12)

管腔進(jìn)出口邊界條件可通過反射系數(shù)R0和RL分別表示為：

A0e-ik0=R0B0eik0

(13)

ALde-ikLd=RLdBLdeikLd

(14)

聯(lián)立式(3)、(4)、(9)、(10)、(13)和(14)，可以得到一系列線性方程組，整理為矩陣形式：

(15)

式中：Γs表示第s個(gè)薄膜兩端聲壓傳遞矩陣；Θ則表示火焰兩端聲壓傳遞矩陣，分別表示為：

(16)

(17)

觀察式(15)～(17)可以發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)角頻率ω為未知量。因此，可令式(15)中系數(shù)行列式為零求解出系統(tǒng)特征根ω。由于熱源的干涉作用，系統(tǒng)特征根將是復(fù)角頻率，其實(shí)部表示系統(tǒng)的固有角頻率，與系統(tǒng)振動(dòng)特性有關(guān)，虛部則稱為穩(wěn)定性增長率，即ω=ωr+iωi。當(dāng)所求特征根虛部大于零，則系統(tǒng)在該激振頻率下將處于不穩(wěn)定狀態(tài)，即系統(tǒng)響應(yīng)發(fā)散。當(dāng)所求特征根虛部小于零時(shí)，系統(tǒng)將處于穩(wěn)定狀態(tài)。

2 結(jié)果分析

對(duì)于具有燃燒熱源的管腔結(jié)構(gòu)，如圖1所示，由于熱源不穩(wěn)定熱釋放的存在，系統(tǒng)的模態(tài)固有特征可能會(huì)產(chǎn)生不穩(wěn)定性，即當(dāng)固有角頻率虛部(增長率)大于零，模態(tài)不穩(wěn)定。本文首先驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性，選用文獻(xiàn)[21]中的物理參數(shù)如表1中所示。

表1 系統(tǒng)模型參數(shù)Table1 Model parameters of the system

圖2 管腔熱聲耦合系統(tǒng)模態(tài)特征Fig.2 Modal characteristics of the tube thermoacoustic coupling system

接下來，在管腔熱聲耦合系統(tǒng)中引入局域共振薄膜結(jié)構(gòu)，管腔參數(shù)保持不變，薄膜鑲嵌位置(0.5 m, 0.6 m)，長度分別取L=0.05、0.07和0.1 m，以薄膜長度L=0.1 m為參考選取薄膜無量綱張力F*=F/ρc2L=0.1，無量綱質(zhì)量密度m*=ρm/ρL=1，F(xiàn)為薄膜張力，ρm為質(zhì)量密度。系統(tǒng)特征根分布情況如圖3所示。圖中方框表示未加薄膜時(shí)系統(tǒng)特征根，很明顯薄膜結(jié)構(gòu)對(duì)系統(tǒng)模態(tài)不穩(wěn)定性有明顯的抑制效果。當(dāng)薄膜長度L=0.1 m時(shí)，系統(tǒng)大部分模態(tài)均為穩(wěn)定，充分證明了局域共振薄膜結(jié)構(gòu)的多模態(tài)控制效果。圖4給出了連續(xù)變化的薄膜長度對(duì)系統(tǒng)熱、聲模態(tài)固有頻率的影響，顯然，薄膜結(jié)構(gòu)對(duì)某些聲模態(tài)固有頻率產(chǎn)生較大影響，而對(duì)熱模態(tài)頻率影響較小。這是由于熱模態(tài)與熱源自身特性有關(guān)，即使管腔不存在駐波模態(tài)，熱源自身所形成的局部反饋回路，也會(huì)引起系統(tǒng)的不穩(wěn)定性。而熱模態(tài)振型分布與其周圍聲模態(tài)有關(guān)，因此可以通過改變聲模態(tài)特性，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)熱模態(tài)穩(wěn)定性的間接控制。

圖3 不同長度的薄膜對(duì)系統(tǒng)模態(tài)特征的影響Fig.3 Effects of different membrane lengths on the modal characteristics of the system

圖4 不同長度共振薄膜對(duì)系統(tǒng)固有頻率的影響Fig.4 Influence of different membrane lengths on the natural frequencies of the system

薄膜張力對(duì)系統(tǒng)前5階模態(tài)穩(wěn)定性的影響繪制在圖5中，圖中的“+”“-”號(hào)對(duì)應(yīng)增長率的穩(wěn)定性，負(fù)為穩(wěn)定，正為不穩(wěn)定?？梢园l(fā)現(xiàn)，薄膜無量綱張力F*在0.05～0.2，可使系統(tǒng)前4階模態(tài)同時(shí)穩(wěn)定，然而對(duì)第5階模態(tài)不穩(wěn)定性控制效果較小。當(dāng)薄膜張力趨于無窮大時(shí)，薄膜結(jié)構(gòu)相當(dāng)于剛性壁面，因此不會(huì)對(duì)系統(tǒng)模態(tài)穩(wěn)定性產(chǎn)生影響。以上研究充分說明局域共振薄膜結(jié)構(gòu)的多模態(tài)穩(wěn)定性調(diào)控能力。

圖5 不同薄膜張力對(duì)系統(tǒng)模態(tài)特征的影響Fig.5 Effects of different membrane tensions on the modal characteristics of the system

接下來探究周期分布的局域共振薄膜對(duì)系統(tǒng)模態(tài)穩(wěn)定性的影響。管腔參數(shù)不變，第1個(gè)薄膜位置為(0.2 m，0.3 m)，周期分布距離D=0.11 m，共振單元數(shù)量Scell=5。分別計(jì)算管腔熱聲耦合系統(tǒng)未加薄膜和加周期薄膜后的系數(shù)矩陣行列式值，并繪制在圖6中，行列式值趨于零時(shí)的頻率表示系統(tǒng)的特征根。顯然，由于周期薄膜結(jié)構(gòu)的引入，導(dǎo)致熱聲耦合系統(tǒng)在2 920～5 460 rad/s內(nèi)不存在特征根，而此范圍正是周期結(jié)構(gòu)在管腔中產(chǎn)生的聲學(xué)帶隙?？梢园l(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)特征根的分布形式發(fā)生了重組，即一些模態(tài)受到帶隙的影響后會(huì)急劇向低頻偏移。圖7給出了系統(tǒng)模態(tài)頻率和增長率的變化情況，當(dāng)引入周期薄膜時(shí)，系統(tǒng)的四階不穩(wěn)定模態(tài)增長率均減小，充分說明了周期結(jié)構(gòu)對(duì)熱聲耦合系統(tǒng)不穩(wěn)定性的有效改善作用。

圖6 周期分布薄膜結(jié)構(gòu)對(duì)系統(tǒng)特征根分布的影響Fig.6 Influence of the periodic membranes on the characteristic root distribution of the system

圖7 周期分布薄膜結(jié)構(gòu)對(duì)系統(tǒng)模態(tài)穩(wěn)定性的影響Fig.7 Influence of the periodic membranes on the modal stabilities of the system

對(duì)于本文提出的局域共振周期結(jié)構(gòu)，一般存在2種帶隙，即局域共振帶隙(Locally resonant bandgaps：RBG)和布拉格反射帶隙(Bragg reflection bandgaps: BBG),RBG受薄膜共振頻率影響，BBG則受周期距離影響，圖6中的帶隙屬于BBG和RBG的耦合情況。當(dāng)改變薄膜張力時(shí)，可以調(diào)節(jié)RBG的位置，如圖8(a)所示，減小無量綱張力F*=0.05，系統(tǒng)的局域共振帶隙向低頻偏移(1 830～3 970 rad/s)。此時(shí)RBG和BBG解耦，4 320～5 240 rad/s則是布拉格反射帶隙。當(dāng)增加薄膜張力時(shí)F*=0.15，如圖8(b)所示，RBG向高頻移動(dòng)，但仍與BBG耦合，因此帶隙整體向高頻移動(dòng)。在帶隙范圍內(nèi)，系統(tǒng)不存在特征根，因此可人為調(diào)節(jié)RBG位置，進(jìn)而在特定頻段范圍內(nèi)保證系統(tǒng)的絕對(duì)穩(wěn)定性。

圖8 不同薄膜張力對(duì)系統(tǒng)聲學(xué)帶隙的影響Fig.8 Effect of different membrane tensions on the acoustic bandgap of the system

3 結(jié)論

1)薄膜單元對(duì)系統(tǒng)聲學(xué)模態(tài)固有頻率影響較大，而對(duì)熱模態(tài)頻率影響較小，此外，薄膜結(jié)構(gòu)體現(xiàn)了良好的多模態(tài)不穩(wěn)定性抑制作用，可以實(shí)現(xiàn)多個(gè)不穩(wěn)定模態(tài)的同時(shí)調(diào)控。

2)在引入周期分布薄膜結(jié)構(gòu)時(shí)，熱聲耦合系統(tǒng)特征根分布受聲學(xué)帶隙影響較大，一些模態(tài)受到帶隙的影響后會(huì)急劇向低頻偏移，導(dǎo)致熱聲耦合系統(tǒng)在帶隙范圍內(nèi)不存在特征根。

3)管腔耦合系統(tǒng)6 000 rad/s范圍內(nèi)的模態(tài)穩(wěn)定性均得以有效改善，充分證明了本文提出的周期結(jié)構(gòu)對(duì)熱聲耦合系統(tǒng)不穩(wěn)定性的抑制作用。當(dāng)改變薄膜張力時(shí)，會(huì)改變局域共振帶隙的頻率范圍，因此可實(shí)現(xiàn)在特定頻段范圍內(nèi)系統(tǒng)的絕對(duì)穩(wěn)定性。