準(zhǔn)零剛度柔性隔振超結(jié)構(gòu)設(shè)計與仿真分析

周佳豪， 潘洪斌， 蔡昌琦， 王凱， 周加喜

(湖南大學(xué) 機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院，湖南 長沙 410082)

空天資源的爭奪日益激烈，如何減小低頻微振動對航天器的指向精度和穩(wěn)定度的影響一直是該領(lǐng)域不可避免的挑戰(zhàn)。例如，NASA的SIM-PlanetQuest計劃所開發(fā)的光學(xué)干涉測量儀，其10 m柔性結(jié)構(gòu)受到來自旋轉(zhuǎn)反作用輪組件的機(jī)械振動必須控制在10 nm級；且各類航天器在低頻段1～10 Hz抖動量較大，對航天器影響相對高頻段更加明顯[1-2]。因此，隔離航天精密儀器的低頻微振動是提升其工作性能的關(guān)鍵[2-6]。

根據(jù)傳統(tǒng)的線性隔振理論，若要隔離低頻振動，則需降低隔振系統(tǒng)的固有頻率。然而，不管是單方面地減小剛度或者增大質(zhì)量，都會影響隔振系統(tǒng)的穩(wěn)定性以及承載能力。因此，線性隔振理論無法解決低頻隔振問題。隨著非線性隔振理論的發(fā)展，準(zhǔn)零剛度隔振方法得到越來越多的關(guān)注。該方法可實(shí)現(xiàn)理想的高靜低動剛度特性，不僅能隔離低頻振動，還能承受較大的負(fù)載，可有效地解決低頻隔振問題[7-8]。

準(zhǔn)零剛度是指系統(tǒng)在平衡狀態(tài)時的動剛度很小甚至為零，其實(shí)現(xiàn)方法主要有2種：1)利用傳統(tǒng)的正負(fù)剛度構(gòu)件并聯(lián)，通過正負(fù)剛度相互抵消達(dá)到準(zhǔn)零剛度；2)通過柔性常力機(jī)構(gòu)在彈性變形時產(chǎn)生準(zhǔn)零剛度特性[9-10]。相對于利用多個元件組合實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)零剛度，第2種方式所需零部件極少，且利用一體化設(shè)計和增材制造技術(shù)加工能有效減小裝配誤差。

近年來，研究人員提出了多種多樣的準(zhǔn)零剛度結(jié)構(gòu)，以下列出幾種具有代表性的準(zhǔn)零剛度結(jié)構(gòu)。Carrella 等[11]提出了經(jīng)典的三彈簧模型，由作為承載的正剛度線性彈簧以及2根提供負(fù)剛度的斜彈簧構(gòu)成。Liu等[12]和Sun等[13]利用磁力彈簧替代負(fù)剛度元件來實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)零剛度特性，減小了構(gòu)件之間的摩擦所帶來的誤差。Shaw等[9]通過線性彈簧與復(fù)合雙穩(wěn)態(tài)板并聯(lián)構(gòu)造了一種準(zhǔn)零剛度隔振器，結(jié)果表明，相比等效的線性系統(tǒng)有著更低的起始隔振頻率和更低的響應(yīng)峰值。Xu等[14]提出了一種由傾斜連桿與水平磁彈簧并聯(lián)組成的準(zhǔn)零剛度隔振器，研究結(jié)果表明，準(zhǔn)零剛度隔振器在低頻區(qū)域隔震效果遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于線性隔振器。Zhou等[15]將2個凸輪-滾子-彈簧機(jī)構(gòu)和一個線性彈簧并聯(lián)構(gòu)成準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)，此研究使準(zhǔn)零剛度結(jié)構(gòu)緊湊化。此外Sun等[16-17]提出了X形結(jié)構(gòu)準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)。

單層準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)雖然能夠有效地隔離低頻甚至超低頻振動，但是效果還無法滿足精密儀器的隔振要求。若能對振動進(jìn)行多次衰減，隔振效果必定能夠得到提升，由此多層準(zhǔn)零剛度隔振應(yīng)運(yùn)而生。Wang等[18]提出了一種利用凸輪-滾子-彈簧機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)的2層準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)，結(jié)果表明其在單層的基礎(chǔ)上顯著提升了隔振效果。Chai等[19]設(shè)計了一種新型的2層準(zhǔn)零剛度隔振器，結(jié)果表明相對于相應(yīng)的2層線性系統(tǒng)，2層準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)有著更低的起始隔振頻率以及更加優(yōu)異的隔振性能。Deng等[20]提出了多層準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)，不僅有效地提高了隔振性能，并且明顯拓寬了準(zhǔn)零動剛度位移區(qū)間的有效范圍。

然而，利用多個正負(fù)剛度元件所構(gòu)成的準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)難以避免裝配誤差，若利用傳統(tǒng)準(zhǔn)零結(jié)構(gòu)進(jìn)行多層疊加，安裝精度將嚴(yán)重惡化隔振性能。對多段梁進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計可獲得柔性常力機(jī)構(gòu)，并實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)零剛度特性[10]，一體化加工不僅極大地減少了剛度元件的數(shù)量，而且避免了正負(fù)剛度元件并聯(lián)導(dǎo)致的安裝誤差。因此，可利用柔性恒力結(jié)構(gòu)設(shè)計多層準(zhǔn)零剛度低頻隔振超結(jié)構(gòu)。

本文首先利用形狀優(yōu)化方法設(shè)計了單層準(zhǔn)零剛度柔性結(jié)構(gòu)，然后基于大變形理論結(jié)合打靶法，分析了柔性結(jié)構(gòu)的靜力學(xué)特性，并利用有限元仿真進(jìn)行了驗(yàn)證。將單層準(zhǔn)零剛度柔性結(jié)構(gòu)按豎向堆疊構(gòu)造了多層準(zhǔn)零剛度柔性隔振超結(jié)構(gòu)，建立了其有限元模型和多自由度簡化模型，研究了其隔振特性，并討論了阻尼和層數(shù)對隔振性能的影響。

1 單層準(zhǔn)零剛度柔性結(jié)構(gòu)設(shè)計

1.1 設(shè)計方法

單層準(zhǔn)零剛度柔性隔振結(jié)構(gòu)如圖1(b)所示，其主要由2部分組成：1)作為承載平臺的上下多邊形環(huán)片；2)位于上下相鄰環(huán)片中間的12片具有準(zhǔn)零剛度特性的柔性多段梁，如圖1(b)所示。隔振結(jié)構(gòu)在受到沿縱向(z軸的負(fù)方向)不同壓縮量時，表現(xiàn)出不同的剛度值，特別是當(dāng)壓縮量在某個區(qū)間內(nèi)時，其剛度值接近于零剛度，即準(zhǔn)零剛度。

圖1 準(zhǔn)零剛度柔性隔振結(jié)構(gòu)示意Figure.1 Schematic diagram of quasi-zero stiffness flexible vibration isolation metastructure

多段梁的力-位移關(guān)系如圖1(c)所示。為在準(zhǔn)零剛度設(shè)計區(qū)間[a,b]實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)零剛度特性，即力-位移曲線在(a,af)點(diǎn)到(b,bf)點(diǎn)的范圍內(nèi)應(yīng)盡可能平坦。在準(zhǔn)零剛度設(shè)計區(qū)間內(nèi)，將最小的力除以最大的力定義為平坦度(平坦度=Fmin/Fmax×100%)。在剛度為零的情況下，最小的力等于最大的力，即平坦度為1。因此多段梁的設(shè)計目標(biāo)是在準(zhǔn)零剛度設(shè)計區(qū)間內(nèi)使平坦度與1的偏差最小化。

1.2 多段梁的優(yōu)化設(shè)計

單層結(jié)構(gòu)如圖1(b)所示，其主體結(jié)構(gòu)為具有準(zhǔn)零剛度特性的多段梁。由于單層隔振器是由12片相同的多段梁周期排布所組成，因此僅需取其中一片多段梁進(jìn)行設(shè)計優(yōu)化即可。如圖2中的虛線框所示，多段梁被限定在一個尺寸為Lx×Ly的矩形設(shè)計區(qū)域內(nèi)。多段梁被節(jié)點(diǎn)n2和節(jié)點(diǎn)n3分成3段，節(jié)點(diǎn)n1和n4是多段梁的首末兩端點(diǎn)，固定于設(shè)計區(qū)域的邊界，而節(jié)點(diǎn)n2和n3處于設(shè)計區(qū)域，其坐標(biāo)是設(shè)計變量。

圖2 優(yōu)化設(shè)計變量和設(shè)計邊界示意Figure.2 Schematic diagram of optimized design variables and design boundaries

(1)

式中：ci0、ci1和ci2是待定系數(shù)。基于形狀描述方程，可以給出每段梁上各個點(diǎn)的坐標(biāo)(Lxi,Lyi)：

(2)

多段梁結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計的優(yōu)化目標(biāo)以及約束條件：

(3)

其中，約束條件g1與g2要求多段梁上的每個點(diǎn)的位置不超出設(shè)計區(qū)間，確保優(yōu)化后多段梁整體都處在設(shè)計區(qū)域內(nèi)；約束條件g3要求每段梁不會出現(xiàn)自我交叉現(xiàn)象；約束條件g4與g5保證多段梁的連續(xù)性；約束條件g6要求多段梁在變形過程中最大應(yīng)力在材料許用應(yīng)力范圍內(nèi)。優(yōu)化輸出結(jié)果為節(jié)點(diǎn)n2與節(jié)點(diǎn)n3坐標(biāo)位置以及每段梁的形狀描述方程系數(shù)ci0、ci1和ci2(i=1,2,3)。

利用Matlab中的fmincon函數(shù)求解式(3)的優(yōu)化問題，并在優(yōu)化求解過程中利用廣義打靶法求解多段梁的變形。如表1所示為優(yōu)化計算過程中的已知參數(shù)，在本文中多段梁優(yōu)化設(shè)計所用材料為聚乳酸(PLA)。優(yōu)化結(jié)果如表2所示。

表1 已知參數(shù)Table1 Known parameters

表2 優(yōu)化結(jié)果Table2 Optimization results

獲得優(yōu)化結(jié)果后，進(jìn)一步計算優(yōu)化后多段梁的力與位移關(guān)系。由于多段梁的大變形過程屬于邊值問題，可以利用廣義打靶法進(jìn)行求解，結(jié)果如圖3所示。由圖3(a)可以看出在準(zhǔn)零剛度設(shè)計區(qū)間4～9 mm位移范圍內(nèi)力與位移曲線較為平坦，滿足設(shè)計要求。由圖3(b)可以看出在4～9 mm位移范圍內(nèi)剛度較小甚至等于零，進(jìn)一步驗(yàn)證了優(yōu)化結(jié)果滿足設(shè)計要求。

圖3 優(yōu)化結(jié)果顯示Fig.3 Optimization results showing

1.3 單層柔性隔振結(jié)構(gòu)的剛度特性

基于上節(jié)的優(yōu)化結(jié)果建立單層柔性隔振結(jié)構(gòu)的有限元模型，如圖4(a)所示，并對其進(jìn)行靜力學(xué)仿真。由于每個單層結(jié)構(gòu)都由12片相同的多段梁并聯(lián)組成，則疊加12片相同多段梁的回復(fù)力記可得到單層柔性隔振結(jié)構(gòu)的回復(fù)力。

由圖4(b)所示回復(fù)力與位移關(guān)系可以看出，考慮材料泊松比時仿真計算所得單層準(zhǔn)零剛度隔振器回復(fù)力大于打靶法計算所得回復(fù)力。若不考慮材料泊松比，有限元仿真與打靶法計算結(jié)果基本吻合。由此可看出材料泊松比是打靶法計算與有限元仿真計算誤差的主要影響因素，也為后續(xù)試驗(yàn)結(jié)果的誤差分析提供了理論依據(jù)。從圖4(b)看出回復(fù)力-位移曲線存在平坦區(qū)域，并且圖4(c)所示3條剛度曲線都存在剛度為零或接近于零的區(qū)間。綜上所述，此單層柔性隔振結(jié)構(gòu)可以實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)零剛度特性。

圖4 靜力學(xué)結(jié)果對比 (v為泊松比)Fig.4 Comparison of statics results (v is Poisson′s ratio)

2 多層準(zhǔn)零剛度柔性隔振超結(jié)構(gòu)

2.1 建模與動力學(xué)分析

將單層準(zhǔn)零剛度柔性隔振結(jié)構(gòu)沿豎向周期性堆疊，構(gòu)造多層準(zhǔn)零剛度柔性隔振超結(jié)構(gòu)，如圖5所示。將圖5(a)中所示超結(jié)構(gòu)簡化為圖5(b)中所示的多自由度動力學(xué)模型，每一層包含相應(yīng)的等效剛度與等效阻尼。其中，xp為超結(jié)構(gòu)所受位移激勵；xi為每一層的絕對位移；mt為被隔振質(zhì)量m0與承載平臺質(zhì)量mu之和，md為單層柔性結(jié)構(gòu)的質(zhì)量。通過數(shù)值求解多自由度運(yùn)動方程，計算小振幅諧波激勵下的有限層數(shù)的動態(tài)響應(yīng)。

由N個單層準(zhǔn)零剛度柔性結(jié)構(gòu)組合構(gòu)成N層準(zhǔn)零剛度柔性隔振超結(jié)構(gòu)，并假設(shè)結(jié)構(gòu)僅沿縱向振動，如圖 5(b)所示。據(jù)圖5(b)中虛線框區(qū)域所示模型，可列出第i層準(zhǔn)零剛度柔性結(jié)構(gòu)的動力學(xué)方程，如式(4)中第2項所示；由于第1個和第N個單層準(zhǔn)零剛度柔性結(jié)構(gòu)受力情況不同于中間層單層準(zhǔn)零剛度柔性結(jié)構(gòu)，故在此單獨(dú)列出其動力學(xué)方程式(4)第1項與式(4)第3項。N層準(zhǔn)零剛度柔性隔振超結(jié)構(gòu)動力學(xué)方程組為：

(i=2,3,…，N-1)

(4)

圖5 動力學(xué)計算模型Fig.5 Dynamic calculation model

將諧波響應(yīng)xi表達(dá)式以及位移激勵xp表達(dá)式帶入式(4)中求解可得穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的位移幅值表達(dá)式：

(5)

式中：Ku為剛度矩陣；Cu為阻尼矩陣；Mu為質(zhì)量矩陣；Xu=[X1X2…XN]T為位移向量；F=[F00…0]T為激勵向量，且F0=k1p+c1ωp。

進(jìn)一步，利用傳遞率來評估隔振器性能，具體表達(dá)式為：

(6)

取m0=0.8 kg,mu=0.066 kg,md=0.159 kg，剛度取值如表3所示，激勵頻率取0～100 Hz利用式(6)計算不同阻尼比情況下1層、3層、5層、7層柔性隔振結(jié)構(gòu)的傳遞率曲線。

表3 不層數(shù)超結(jié)構(gòu)剛度取值Table3 Stiffness value of non-storey superstructure N/m

由圖6可知，對1、3、5、7層分別逐次取阻尼比為0、0.01、0.05、0.1依次進(jìn)行計算。結(jié)果表明隨著阻尼增加，在高頻區(qū)域共振峰值逐漸減小甚至變?yōu)楣饣那€；在低頻區(qū)域效果遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有在高頻區(qū)域明顯。因此，選擇適當(dāng)?shù)淖枘峥梢杂行Ц纳聘粽裥Ч?，甚至能夠有效的降低起始隔振頻率。

圖6 不同阻尼比下理論計算傳遞率Fig.6 Theoretical calculated transmissibility under different damping ratios

2.2 有限元仿真驗(yàn)證

如圖7所示，利用有限元方法建立多層準(zhǔn)零剛度柔性隔振超結(jié)構(gòu)的分析模型，并對結(jié)構(gòu)進(jìn)行動力學(xué)仿真分析。分別對1層、3層、5層、7層建模并給定相應(yīng)邊界條件進(jìn)行求解，計算位移傳遞率，驗(yàn)證理論分析結(jié)果。材料選用聚乳酸，其材料參數(shù)為：彈性模量E=3.15 GPa、泊松ν=0.34、密度ρ=1.24×103kg/m3。設(shè)置與數(shù)值計算相同的激勵幅值p與頻率范圍0～100 Hz，選擇直接穩(wěn)態(tài)動力學(xué)求解方法。拾取每種情況下頂部位移幅值Xt為隔振質(zhì)量位移計算模型振動傳遞率表達(dá)式為：

(7)

圖7 1、3、5、7層動力學(xué)仿真模型Figure.7 Dynamic simulation model of layers 1, 3, 5 and 7

利用數(shù)值方法與有限元仿真分別對1層、3層、5層、7層超結(jié)構(gòu)隔振效果進(jìn)行計算求解，取無阻尼情況計算，結(jié)果如圖8所示。由圖8 可以看出理論分析結(jié)果與有限元仿真分析結(jié)果高度重合，驗(yàn)證了理論模型的正確性。由圖8還可看出，在傳遞率有效隔振頻率區(qū)間內(nèi)，隨著層數(shù)的增加，隔振效果顯著提升；而且多層隔振超結(jié)構(gòu)隨著層數(shù)的增加共振峰的位置也隨之向低頻移動，起始隔振頻率也隨之向低頻移動，這與理論分析結(jié)果也完全一致。需要注意的是，隨著層數(shù)增加，共振峰越來越多，對于低頻區(qū)域內(nèi)的隔振效果有一定影響。根據(jù)上節(jié)理論分析結(jié)果，適當(dāng)增加系統(tǒng)阻尼可有效抑制低頻區(qū)域的共振峰，從而提升其隔振性能。

圖8 動力學(xué)理論計算與仿真結(jié)果對比Fig.8 Comparison of dynamic theoretical calculation and simulation results

3 結(jié)論

1) 利用打靶法分析了單層準(zhǔn)零剛度柔性隔振結(jié)構(gòu)的靜力學(xué)特性，并利用有限元仿真進(jìn)行了驗(yàn)證，結(jié)果表明2種方法結(jié)果高度重合，且驗(yàn)證了其準(zhǔn)零剛度特性。

2) 在相同的隔振質(zhì)量與激勵條件下，在有效隔振頻率區(qū)間內(nèi)，多層隔振超結(jié)構(gòu)隨著層數(shù)的增加，隔振效果顯著提升；而且隨著層數(shù)的增加共振峰的位置也隨之向低頻移動，起始隔振頻率也隨之向低頻移動。

3) 理論分析結(jié)果表明，適當(dāng)增加系統(tǒng)阻尼可有效抑制低頻區(qū)域的共振峰，且起始隔振頻率向低頻移動。