彈性縱波在壓電-壓電半導體周期桿中的傳播

李德志， 張春利,2

(1.浙江大學 工程力學系,浙江 杭州 310027； 2.浙江省軟體機器人與智能器件研究重點實驗室，浙江 杭州 310027)

壓電半導體是一種兼具壓電和半導體雙重物理屬性的材料，由于在外載下這2種屬性的耦合作用，使其擁有了更多的功能屬性以及更好的器件性能，在一定程度上超越了傳統(tǒng)壓電介質和非壓電半導體材料。壓電半導體結構具有變形-極化-載流子多場耦合特性，在未來新型半導體器件上應用的關鍵物理機制為：通過壓電效應產生的壓電勢顯著改變半導體的能帶結構、載流子的輸運、分離與復合等屬性。王中林[1]首次把壓電勢調控載流子輸運、產生和復合過程的現象稱之為壓電電子學和壓電光電子學效應。利用單一的壓電半導體材料，就可實現傳感、驅動、電子傳輸及光電子激發(fā)與吸收等一體化功能，這正滿足未來器件小型化、智能化、集成化及多樣化的發(fā)展需求。因此，壓電半導體作為新一代功能電子/光電子器件[2-3]，在高性能傳感器[4]、柔性可穿戴電子器件[5]、光電探測器[6]、太陽能電池[7]等領域具有廣泛的應用前景。

同傳統(tǒng)半導體超晶格類似，壓電半導體周期結構是由不同壓電半導體材料周期排列組成的，其薄層厚度小于電子的平均自由程。特別是可以通過改變元胞的材料和幾何參數來調制其宏觀的物理屬性。開展壓電半導體周期結構中的彈性波動特性研究，對其半導體器件的創(chuàng)新研發(fā)和應用具有至關重要作用。目前，學者們對彈性波在壓電半導體材料中的傳播問題，已開展了有益的研究。例如，Hutson等[8]研究了彈性波在壓電半導體中傳播產生的聲電效應；Yang等[9]研究了壓電-半導體復合板內的聲波放大問題；Zhang等[10]考慮了電學非線性研究了彈性波在ZnO半導體桿中傳播特性；Jiao等[11-12]研究了壓電半導體無限大空間中彈性波的傳播問題；Tian等[13]研究了層狀壓電半導體結構中的SH波特性；Liang和Hu[14]研究了壓電半導體桿中聲波和載流子傳導頻率的耦合對彈性波動的影響；Li等[15]研究了太赫茲彈性波在壓電半導體桿中的傳播問題。然而，目前對彈性波在壓電半導體周期結構中傳播問題研究還很匱乏。Guo和Wei[16]針對無限大壓電半導體層和壓電介質層構成周期結構、考慮弱界面情況研究了彈性波在此周期結構中的波動特性及弱界面對色散曲線的影響。需要說明的是，彈性波在彈性和壓電介質周期結構中的傳播問題已有相當多的研究[17-18]。

本文針對由壓電和n型壓電半導體組成的一維無限長周期桿，研究彈性縱波在該周期結構中的傳播特性。基于壓電半導體三維基本方程，利用哈密爾頓(Hamilton)變分原理，首先得到Love型的壓電半導體桿的基本方程；通過引入狀態(tài)向量，建立壓電半導體和壓電桿的狀態(tài)方程，給出狀態(tài)向量(軸向位移、電勢、軸向應力和軸向電位移)在元胞兩側處的傳遞關系，并利用布洛赫(Bloch)定理，導出壓電-壓電半導體周期結構的色散方程。在此基礎上，數值研究初始載流子、元胞內壓電半導體長度比和桿半徑對帶隙結構的影響。

1 壓電半導體三維基本方程

壓電半導體的控制方程包括：運動平衡方程、準靜態(tài)電學高斯方程和電荷連續(xù)性方程[19]：

(1)

應力、電位移和電流密度的本構方程為：

(2)

(3)

(4)

將式(3)代入式(1)2,3,4，可得：

(5)

應變-位移與電場-電勢(φ)的梯度關系為：

(6)

注意：對于壓電介質材料，在上面略去與載流子有關的項即可退化到壓電材料的基本方程。

2 彈性波在一維壓電/壓電半導體周期桿中的傳播

考慮如圖1所示的壓電/壓電半導體周期桿，其元胞由長度為d1的壓電材料和長度為d2的n型均勻摻雜壓電半導體構成(界面處為完美連接情況)，桿的橫截面半徑為R。壓電半導體的初始載流子濃度為n0。壓電和壓電半導體極化方向均沿x3方向。當彈性縱波在圖1所示的無限長周期結構中傳播時，變形、極化和載流子的耦合使得其傳播行為不同于由純壓電介質材料和彈性材料構成的周期結構。與經典桿理論相比，Love桿理論考慮了由泊松效應引起的橫向位移的動能。Love桿理論不僅對橫向位移動能影響較大問題的計算有很好的精度，而且還能處理經典彈性桿不能處理的問題。例如，Davies和Taylor[20]采用Love桿理論準確解釋了彈性桿中的色散行為。因此，采用Love桿理論[21]研究彈性縱波在圖1所示壓電-壓電半導體周期桿中的傳播。

圖1 壓電-壓電半導體周期桿Fig.1 A periodical piezoelectric-piezosemiconductor rod

首先采用哈密爾頓(Hamilton)變分原理推導Love型壓電和壓電半導體桿的基本方程。由于壓電材料和壓電半導體材料唯一的區(qū)別就是壓電半導體材料多了載流子項。為了方便起見，下面僅給出針對壓電半導體材料的哈密頓變分原理。設某壓電半導體結構占據空間體積為V，邊界為Γ，其吉布斯自由能密度函數UG的變分為：

δUG=TijδSij+Diδφ,i+Jiδn,i

(7)

該壓電半導體結構的動能密度為：

(8)

壓電半導體中的拉格朗日函數為：

(9)

外力做的虛功為：

(10)

式中ti、QΓ和JΓ分別表示在邊界上作用的機械力、表面電荷和電流密度。根據哈密頓原理，有：

(11)

將式(7)～(10)代入式(11)，經過數學處理即可得到壓電半導體結構的控制方程。對于壓電結構來說，只需在上述推導過程中刪去載流子項即可得到相應的控制方程。

2.1 Love桿理論的基本方程

設桿的軸向位移表示為u3，由泊松效應帶來的橫向位移為ut=-vu3，v為泊松比。桿中非零的應力T3和電位移D3為：

(12)

(13)

n型壓電半導體桿中的電流密度為：

(14)

對于沒有表面外力、表面電荷和表面電流的壓電半導體桿，把應力、電位移和電流密度代入式(11)，可得到壓電半導體桿的運動平衡方程、準靜態(tài)高斯方程和電荷連續(xù)性方程，它們是：

(15)

對于壓電材料來說，其控制方程僅包括運動平衡方程(與式(15)1一樣)和準靜態(tài)高斯方程，

D3,3=0

(16)

2.2 色散方程

采用狀態(tài)空間法推導壓電半導體周期桿的色散方程。如圖1所示，以一個元胞為研究對象，選取局部坐標系ox′3，壓電材料左側界面為局部坐標的原點。

對于彈性縱波，可設壓電半導體桿內的位移、電勢和增量載流子濃度為：

(17)

(18)

W1·V,3=W2·V

(19)

式(19)為壓電半導體的狀態(tài)方程，其中：

(20)

式(19)有：

V(x′3)=TM(x′3-d1)V(d1)

(21)

式中TM為傳遞矩陣，表示在x′3和x′3=d1處狀態(tài)向量的傳遞關系，即：

(22)

對于壓電材料，選取狀態(tài)向量為V′=[u′3φT′3D′3]T。采用與壓電半導體桿的相同的處理方法，由式(12)、式(16)和式(18)1,可得到壓電桿的傳遞矩陣TPE:

(23)

其中：

(24)

式中右上標“′”表示壓電材料的材料常數。

(25)

(26)

對于彈性波在軸向周期性壓電半導體桿中的傳播，利用Bloch理論可得到：

(27)

式中K為Bloch波矢。聯(lián)立式(23)、(27)得：

|T0-exp[iK(d1+d2)]I|=0

(28)

式中I為4×4的單位矩陣。式(28)是彈性縱波在如圖1所示的周期結構中傳播的色散方程。

3 數值算例

首先，計算初始電子濃度n0為n01=1017m-3，n02=1019m-3和n03=1021m-33種情況下的色散關系，計算結果如圖2所示。由圖2可知，隨著初始電子濃度的增大，帶隙結構逐漸下移，這是由于載流子對壓電極化電荷的屏蔽降低了壓電剛化效應造成的。

其次，研究在初始載流子濃度(n0=1019m-3)、桿半徑(r=10 nm)和元胞長度(d1+d2=1 000 nm)固定的情況下，壓電半導體桿長度比γ=d2/(d1+d2)分別為0.45，0.5和0.55這3種情況下的帶隙情況，如圖3所示。從圖3可以看到，對于固定長度的元胞，改變壓電半導體相長度比可有效調控帶隙結構。隨著γ的增加，其帶隙結構會下移。這是由于隨著壓電半導體長度變大，元胞內載流子數量增多，其屏蔽效應也相應增強，使得壓電剛化效應降低；因而元胞的等效剛度逐漸減小，最終導致帶隙的下移。

圖2 初始電子濃度對帶隙結構的影響Fig.2 Effect of the initial electron concentration on band structure

最后，考察桿半徑的改變對帶隙結構的影響。設元胞每相材料的長度(d1=d2=500 nm)和半導體相內的初始載流子濃度(n0=1019m-3)保持不變，分別取桿半徑為r1=10 nm，r2=50 nm和r3=90 nm 3種情況，計算得到其帶隙結構如圖4所示。

圖4 桿半徑對帶隙結構的影響Fig.4 Effect of rod′s radius on band structure

從圖4可以看到，隨著桿半徑的增加，當不考慮Love桿理論時，帶隙不會發(fā)生變化。反之，當考慮Love桿理論時，固定激勵頻率，隨著桿半徑的增加，橫向變形所吸收的動能將隨之增加，會導致在該激勵頻率下的波速下降，使得帶隙會隨之下移。特別是在高頻帶隙區(qū)域，其下移量較大。

4 結論

1)在三維基本方程基礎上，導出了Love型壓電半導體桿的基本方程。針對由壓電和n型壓電半導體構成的周期桿，分別建立了壓電和壓電半導體桿的狀態(tài)方程。利用元胞界面連續(xù)性條件得到狀態(tài)向量(軸向位移、電勢、軸向應力和軸向電位移)在元胞兩側界面的傳遞關系；進一步，基于Bloch定理，得到了壓電半導體周期桿色散方程的解析公式。

2)壓電半導體相的初始載流子濃度和長度比的增加都導致帶隙結構的下移，這主要是由于載流子的屏蔽作用降低了壓電剛化效應、使結構的等效剛度減小的緣故。

3)周期結構桿半徑的增大也會導致帶隙下移。這是因為考慮了Love桿理論，隨著桿半徑的增加，橫向變形所吸收的動能將隨之增加，會導致在該激勵頻率下的波速下降，使得帶隙隨之下移。

以上結果可為基于壓電半導體周期結構的器件設計提供一定的理論指導。在對壓電半導體周期結構進行后續(xù)的研究時，需將壓電半導體界面間所產生的不同特殊邊界條件加以考慮。