基于深度學(xué)習(xí)的高三專(zhuān)題復(fù)習(xí)教學(xué)微設(shè)計(jì)
——以“同構(gòu)法求數(shù)列通項(xiàng)公式”為例

肖 輝，吳 云

(南京市第十三中學(xué)，江蘇南京，210008)

專(zhuān)題復(fù)習(xí)是高三數(shù)學(xué)教學(xué)的重要一環(huán)，某種程度上來(lái)說(shuō)，專(zhuān)題復(fù)習(xí)的設(shè)計(jì)與教學(xué)實(shí)施決定了高考數(shù)學(xué)的質(zhì)量.本文以“同構(gòu)法求數(shù)列通項(xiàng)公式”為例，探討高三二輪復(fù)習(xí)中基于深度學(xué)習(xí)的教學(xué)微設(shè)計(jì).

1 教學(xué)過(guò)程

1.1 基礎(chǔ)再現(xiàn)：在回顧中梳理知識(shí)

(1) 已知a1=1，an+1=an+1，則{an}的通項(xiàng)公式an=；

(2) 已知a1=1，an+1=2an，則{an}的通項(xiàng)公式an=；

(3) 已知a1=1，an+1=2an+1，則{an}的通項(xiàng)公式an=；

(4) 已知a1=1，an+1=an+n，則{an}的通項(xiàng)公式an=；

(5) 已知a1=1，an+1=an+2n，則{an}的通項(xiàng)公式an=.

設(shè)計(jì)意圖：解題教學(xué)要遵循熟悉化、簡(jiǎn)單化、直觀化原則，圍繞模式識(shí)別實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化和化歸.本節(jié)課由基礎(chǔ)題(1)(2)回憶等差、等比數(shù)列的定義，基礎(chǔ)題(3)(4)(5)都是朝著“等差數(shù)列”“等比數(shù)列”方向轉(zhuǎn)化，即“差”形式、“比”形式.

題(3)構(gòu)造an+1+1=2(an+1)得到解決.一方面讓學(xué)生感受同構(gòu)式(結(jié)構(gòu)相似，架構(gòu)相同的式子)以及同構(gòu)法，點(diǎn)明本節(jié)課主題；另一方面和學(xué)生一起歸納一般形式.

(板書(shū)1)an+1=pan+q?an+1+λ=p(an+λ).基礎(chǔ)題(4)、(5)右邊不是常數(shù)，可運(yùn)用累加法來(lái)化解求和問(wèn)題，為后面類(lèi)似處理做鋪墊.

我國(guó)著名的數(shù)學(xué)教育家徐利治先生曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)是模式的科學(xué).”本組習(xí)題教會(huì)學(xué)生識(shí)別出基本模式，并熟練運(yùn)用模式解決相關(guān)簡(jiǎn)單問(wèn)題，教會(huì)學(xué)生遇到陌生的數(shù)列遞推公式要有轉(zhuǎn)化為“差”形式、“比”形式的意識(shí).

1.2 似曾相識(shí)：在探究中訓(xùn)練思維

例1(1) 已知a1=1，an+1=2an+2n，求{an}的通項(xiàng)公式；

(2) 已知a1=3，an+1=2an+1-n，求{an}的通項(xiàng)公式.

設(shè)計(jì)意圖：在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)里，聯(lián)想可以將要研究的數(shù)學(xué)對(duì)象和有關(guān)的知識(shí)之間進(jìn)行聯(lián)系，由此及彼，找到不同對(duì)象和知識(shí)之間共有的規(guī)律.如問(wèn)(1)與上面基礎(chǔ)習(xí)題進(jìn)行對(duì)比，產(chǎn)生聯(lián)想，得到如下轉(zhuǎn)化思路：

思路①，an+1=2an+2n?an+1=an+2n?“差”形式；

思路②，an+1=2an+2n?an+1=2an+1?“比”形式.

提問(wèn)：思路①兩式中an系數(shù)不一樣，能否讓左右兩邊系數(shù)轉(zhuǎn)化一致？轉(zhuǎn)化為“差”形式？找到同構(gòu)式？思路②兩式中相鄰兩項(xiàng)差不是常數(shù)，能否讓兩項(xiàng)的差轉(zhuǎn)化為常數(shù)？轉(zhuǎn)化為“比”形式？找到同構(gòu)式？進(jìn)一步探索發(fā)現(xiàn)有如下同構(gòu)式：

上面兩組提問(wèn)喚醒了學(xué)生的思維，激發(fā)學(xué)生從基本模式中進(jìn)行類(lèi)比聯(lián)想，從解后反思中不斷優(yōu)化解題方法，不斷增強(qiáng)學(xué)生洞察力和轉(zhuǎn)化能力.波利亞說(shuō)“數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決僅僅是一半，更重要的是解題之后的回顧.”很多看似風(fēng)馬牛不相及的習(xí)題，其實(shí)本質(zhì)卻是相通的.至此要引導(dǎo)學(xué)生重視解后反思，略去浮華，呈現(xiàn)本質(zhì)，促進(jìn)轉(zhuǎn)化，有意識(shí)地訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)思維.

由上面(1)的探究過(guò)程聯(lián)想，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)(2)也可得到兩種思路：

思路①，an+1=2an+1-n?an+1=an+1-n?“差”形式；

思路②，an+1=2an+1-n?an+1=2an+1?“比”形式.

提問(wèn)：哪一思路更簡(jiǎn)單？后面遇到此情形優(yōu)先選擇哪一個(gè)？和學(xué)生一起歸納出一般形式：

(板書(shū)3)an+1=pan+an+b?an+1+λ(n+1)+μ=p(an+λn+μ)

令bn+1=an+1+λ(n+1)+μ，得到bn+1=pbn，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“比”形式.學(xué)生在解題中遇到陌生的習(xí)題，生疏的知識(shí)，要認(rèn)真觀察、分析、聯(lián)想，讓新舊知識(shí)之間進(jìn)行遷移，以發(fā)現(xiàn)知識(shí)間的共有規(guī)律，從而突破解題的障礙，打破解題的瓶頸，滲透數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

1.3 小試牛刀：在應(yīng)用中培養(yǎng)素養(yǎng)

(1) 求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；

(2) 求{an}的通項(xiàng)公式.

教師深度引導(dǎo)、學(xué)生深度思考、學(xué)生深度參與、師生深度探究本例題，為深度學(xué)習(xí)進(jìn)一步奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

1.4 真題再現(xiàn)：在拓展中發(fā)展能力

例3(八省聯(lián)考)已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿(mǎn)足an+2=2an+1+3an.

(1) 證明:數(shù)列{an+an+1}為等比數(shù)列;

解題教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度、不同方向進(jìn)行思考、聯(lián)想，巧妙地運(yùn)用遷移化歸的數(shù)學(xué)思想方法，往往可以達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、化生為熟、化隱為顯、化難為易的效果，從而降低解題難度，快速找到解題突破口，真正掌握處理一階、二階遞推公式的通用通法，在拓展中提升能力.

2 教學(xué)反思

2.1 教師的深度學(xué)習(xí)是前提

李善良教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)是為了學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展的教學(xué)，是通過(guò)有深意的數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生深度參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程，深刻理解數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)和思想，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)與教材、教師、生活經(jīng)驗(yàn)深度對(duì)話(huà)，培養(yǎng)學(xué)生質(zhì)疑反思習(xí)慣和思維能力的教學(xué).數(shù)學(xué)深度教學(xué)過(guò)程不是一個(gè)告知與接受的過(guò)程，而是一個(gè)交流合作、深度探究、質(zhì)疑反思的過(guò)程，是一個(gè)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程.深度學(xué)習(xí)是培養(yǎng)學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)的重要途徑，教師的深度學(xué)習(xí)則是前提.教師自身要對(duì)課標(biāo)進(jìn)行深度學(xué)習(xí)，深入了解學(xué)情，深入了解考情，深度細(xì)致備課，形成比較深度的數(shù)學(xué)思想體系.教師的教學(xué)設(shè)計(jì)要有層次化、系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化，教學(xué)中不斷搭支架、不斷給臺(tái)階、適當(dāng)調(diào)控，提高學(xué)生的思維品質(zhì).

2.2 學(xué)生的深度學(xué)習(xí)是核心

用波利亞《怎樣解題》中的思想，基礎(chǔ)題是最能激發(fā)學(xué)生思考，是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的切入點(diǎn).本節(jié)課從“基礎(chǔ)題型”開(kāi)始，調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性；緊接著“似曾相識(shí)”引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)類(lèi)比和聯(lián)想，打開(kāi)思維，形成同構(gòu)；“小試牛刀”更是基本模式的熟練運(yùn)用，甚至一位同學(xué)當(dāng)堂表示“早點(diǎn)上這節(jié)課，考試時(shí)就不會(huì)束手無(wú)策了”；最后八省聯(lián)考的“真題再現(xiàn)”讓學(xué)生不由體會(huì)到“看破迷霧”的恍然大悟.當(dāng)然設(shè)計(jì)的問(wèn)題也要符合學(xué)生的實(shí)際，要讓學(xué)生處于“跳一跳，摘到桃”的狀態(tài)，從而能持續(xù)驅(qū)動(dòng)學(xué)生進(jìn)行探究，激發(fā)思維.本節(jié)課中例1(1)中一連串的追問(wèn)都會(huì)引起學(xué)生認(rèn)知沖突，引發(fā)探究，驅(qū)動(dòng)思維發(fā)展.本節(jié)課中，從開(kāi)始的困境到同構(gòu)法的形成，都是學(xué)生利用已有知識(shí)、方法、思想“同構(gòu)”出來(lái)的，讓學(xué)生充分從感性到理性、從特殊到一般中構(gòu)建出一般方法，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，遵循了學(xué)生學(xué)習(xí)規(guī)律.

2.3 把深度學(xué)習(xí)的教學(xué)真正落實(shí)到課堂教學(xué)中

本文以“同構(gòu)法求數(shù)列通項(xiàng)公式”的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，通過(guò)類(lèi)比學(xué)習(xí)、探究活動(dòng)、創(chuàng)設(shè)沖突，幫助學(xué)生打開(kāi)思維，深化自主建構(gòu)方法的意識(shí)，提煉出建構(gòu)新方法的一般策略，提升自主完善方法及反思的能力，提高認(rèn)知能力和創(chuàng)新能力.從“深度學(xué)習(xí)”走向“深度教學(xué)”，深入推進(jìn)基于核心素養(yǎng)的教學(xué)方式的改革，把基于核心素養(yǎng)的教學(xué)真正落實(shí)到課堂教學(xué)中，把深度學(xué)習(xí)的教學(xué)真正落實(shí)到課堂教學(xué)中，這樣就把核心素養(yǎng)從抽象的理論變成看得見(jiàn)、摸得著的行動(dòng).筆者在本節(jié)課的設(shè)計(jì)上努力實(shí)踐美國(guó)教育家蘇娜丹戴克說(shuō)過(guò)的一句話(huà)：Tell me， I will forget；Show me， I may remember; Involve me， I will understand.(告訴我，我會(huì)忘記；做給我看，我會(huì)記??；讓我自主參與，我會(huì)完全理解.)