提高函數(shù)模型意識(shí)，凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性
——一道大小比較的探究

雷建榮

(甘肅省慶陽(yáng)市環(huán)縣第一中學(xué)，甘肅慶陽(yáng)，745700)

1 問(wèn)題呈現(xiàn)

問(wèn)題(2022年廣東省佛山市普通高中高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)(二)數(shù)學(xué)試卷·12)(多選題)已知0

( )

A. sinxsiny

C. cosx+cosy>0 D. cosx+cosy<0

2 問(wèn)題剖析

此題以指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)為問(wèn)題背景構(gòu)建雙參數(shù)方程，以多選題形式設(shè)置，判斷三角函數(shù)值的大小關(guān)系問(wèn)題.此題設(shè)置的主要目的就是考查函數(shù)的基本性質(zhì)，極值點(diǎn)偏移等相關(guān)問(wèn)題.題目難度較大，以廣東省佛山市統(tǒng)考順德區(qū)的11 949名學(xué)生的實(shí)際得分情況分析，平均得分1.867 3(全佛山市統(tǒng)考學(xué)生的平均得分為1.918)，難度系數(shù)大約是38%左右.

此題的題目設(shè)計(jì)不夠嚴(yán)密，可通過(guò)將條件進(jìn)行簡(jiǎn)單變形利用不等式的性質(zhì)即可求解，其次也可利用特殊值等思想選出部分選項(xiàng)，因而有必要進(jìn)行進(jìn)一步的變式與拓展.學(xué)生主要是對(duì)該題的所處的位置有一定的恐懼心理，沒(méi)有深入思考，導(dǎo)致不必要的丟分.

3 問(wèn)題破解

3.1 同構(gòu)思維

方法1：(同構(gòu)法1)

解析：由eysinx=exsiny，可得e-xsinx=e-ysiny.

同構(gòu)函數(shù)f(t)=e-tsint，0

結(jié)合誘導(dǎo)公式可得e-ysiny=e-xsinx=e-xsin(π-x)>eπ-xsin(π-x)，則有x

故選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；

故選擇答案：AC.

解后反思：根據(jù)題目條件的代數(shù)關(guān)系式的恒等變形，巧妙同構(gòu)函數(shù)，利用函數(shù)的求導(dǎo)處理并確定函數(shù)的單調(diào)性，通過(guò)對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性，并結(jié)合三角函數(shù)的基本性質(zhì)綜合相關(guān)的三角函數(shù)公式來(lái)分析與解決.同構(gòu)函數(shù)，確定單調(diào)性，是大小比較問(wèn)題中最常用的一種基本方法，關(guān)鍵是合理的恒等變形，巧妙同構(gòu)函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性，為進(jìn)一步的應(yīng)用提供條件.

方法2：(同構(gòu)法2)

故選擇答案：AC.

解后反思：根據(jù)題目條件的代數(shù)關(guān)系式的恒等變形，從另一層面巧妙同構(gòu)函數(shù)，同樣利用導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用，綜合函數(shù)的單調(diào)性、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及三角函數(shù)公式等來(lái)應(yīng)用與變形，實(shí)現(xiàn)三角函數(shù)值大小的比較問(wèn)題.不同視角的代數(shù)式的變形，對(duì)應(yīng)同構(gòu)的函數(shù)也是不同的，思維方式相同，技巧策略相似.

3.2 放縮思維

方法3：(放縮法1)

解析：因?yàn)閤

由0cos(π-x)=-cosx，所以cosx+cosy>0，故選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；

故選擇答案：AC.

解后反思：根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，綜合指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，三角函數(shù)的基本性質(zhì)等進(jìn)行合理的放縮變形處理，巧妙實(shí)現(xiàn)等量關(guān)系向不等關(guān)系的化歸與轉(zhuǎn)化，處理起來(lái)更加簡(jiǎn)單快捷，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)能力等的要求更高.等量與不等量之間的變形與轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是借助函數(shù)與方程、函數(shù)的圖象與性質(zhì)等加以巧妙放縮與變形處理，也是解決大小比較問(wèn)題中比較常用的基本技巧方法，要加以熟悉掌握.

方法4：(放縮法1)

由于0

由于0cos2y.

那么cos2x-cos2y=(cosx-cosy)(cosx+cosy)>0.

結(jié)合00，則有cosx+cosy>0，故選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；

故選擇答案：AC.

解后反思：根據(jù)關(guān)系式的恒等變形，合理放縮，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及方程關(guān)系來(lái)判斷兩正弦函數(shù)值的大小關(guān)系，進(jìn)而利用三角函數(shù)的相關(guān)公式與基本性質(zhì)，通過(guò)作差比較法以及不等式的性質(zhì)來(lái)進(jìn)一步判斷兩余弦函數(shù)值的大小關(guān)系.抓住指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)的基本性質(zhì)，合理放縮變形，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，也是直擊問(wèn)題本質(zhì)，巧妙快捷處理與分析問(wèn)題的要害.

4 變式拓展

探究1：原問(wèn)題設(shè)置中所給選項(xiàng)A和B，選項(xiàng)C和D均為對(duì)立狀態(tài)，必有兩個(gè)成立，若從特殊值等情況出發(fā)，失去壓軸題的價(jià)值，進(jìn)一步提升可變形為以下變式問(wèn)題.

變式1(多選題)已知0

( )

A. sinxsiny

C. cosx+cosy>0 D. sinx-cosy>0

解析：因?yàn)閤

又由0cos(π-x)=-cosx，所以cosx+cosy>0，故選項(xiàng)C正確；

故選擇答案：ACD.

解后反思：通過(guò)改變選項(xiàng)中的相關(guān)不等式，以不對(duì)立狀態(tài)的選項(xiàng)內(nèi)容出現(xiàn)，提升知識(shí)點(diǎn)與難度，使得問(wèn)題得以進(jìn)一步的升華.具體解決問(wèn)題時(shí)，要更深入挖掘題目?jī)?nèi)涵與實(shí)質(zhì)，剖析相關(guān)函數(shù)的基本性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合來(lái)分析與處理.

5 教學(xué)啟示

解決此類大小比較問(wèn)題，關(guān)鍵就是選取合適的函數(shù)模型，深入研究函數(shù)問(wèn)題，通過(guò)同構(gòu)函數(shù)，借助函數(shù)的基本性質(zhì)來(lái)化歸；通過(guò)放縮不等式，借助函數(shù)單調(diào)性來(lái)轉(zhuǎn)化等，不斷積累解題經(jīng)驗(yàn)，提高函數(shù)模型意識(shí)，借助函數(shù)的圖象與性質(zhì)加以數(shù)形結(jié)合，凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性，簡(jiǎn)捷有效處理相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題.