基于“四個理解”視角下的初中數(shù)學(xué)作業(yè)設(shè)計

張群偉

(伊寧市教育教學(xué)研究室，新疆伊寧，835099)

章建躍博士提出數(shù)學(xué)教學(xué)是基于理解數(shù)學(xué)，理解教學(xué)，理解學(xué)生，理解技術(shù)進(jìn)行的思維與實踐活動.作業(yè)設(shè)計是教學(xué)中的必要環(huán)節(jié)，是課堂教學(xué)活動的延伸與補充，同樣遵循以上原則.

1 理解數(shù)學(xué)是設(shè)計高品質(zhì)作業(yè)的前提

理解數(shù)學(xué)，從整體上把握數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，才能設(shè)計出目標(biāo)清晰，內(nèi)涵豐富的作業(yè).只有題目有了準(zhǔn)確的定位，具備承載學(xué)生發(fā)展的功能，才能設(shè)計出“少而精”的作業(yè)，實現(xiàn)針對性的訓(xùn)練，從而減輕學(xué)生的作業(yè)負(fù)擔(dān).

(1) 9；(2) 5；(3) 2.5；(4) 0.25；(5) 0.

該題是學(xué)習(xí)“二次根式(1)”后的作業(yè)之一.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》對二次根式的要求是“了解二次根式、最簡二次根式的概念，了解二次根式(根號下僅限于數(shù))加、減、除運算法則，會用它們進(jìn)行簡單的四則運算”，具體到本課時的教學(xué)目標(biāo)，即為“根據(jù)算術(shù)平方根的意義了解二次根式的概念，知道被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)的理由；能用二次根式表示實際問題中的數(shù)量關(guān)系”.本題是二次根式的簡單變形，這種變形在實數(shù)范圍內(nèi)的因式分解中有用，也為后繼的一元二次方程的解法提供知識支撐.

作業(yè)設(shè)計要重視對教學(xué)內(nèi)容的整體分析，不僅要體現(xiàn)知識點的反饋，也要關(guān)注知識點之間的聯(lián)系，幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)學(xué)科本質(zhì)、對未來學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)認(rèn)知體系.

2 理解學(xué)生是設(shè)計高品質(zhì)作業(yè)的關(guān)鍵

作業(yè)的設(shè)計要理解學(xué)生，關(guān)注學(xué)生的思維最近發(fā)展區(qū).沒有針對性的作業(yè)，只會增加學(xué)生的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān).所以因材施教，設(shè)計分層作業(yè)，滿足不同層次學(xué)生的需求，才能使作業(yè)真正發(fā)揮鞏固知識、深化知識、發(fā)展能力的作用.

例如，在新授課“多項式的因式分解(1)”后，筆者設(shè)計這樣一組作業(yè)：

A層：

(1) 下列各式從左到右的變形中，屬于因式分解的是( )

A. 6x2y=2x·3xy

B.x3-2xy=x(x2-2y)

C. (a+3)(a-3)=a2-9

D.x2+4x+1=x(x+4)+1

(2) 多項式9a2b-3ab2的公因式是.

(3) 若ab=7，a+b=6，則a2b+ab2的值為.

(提示：將多項式a2b+ab2分解因式，你發(fā)現(xiàn)了什么？)

(4) 把下列各式分解因式：

① 18a2b-8b；②m2n+mn；③ 2x2-12xy2+8xy3；④ 3x2(x-y)+6x(y-x).

(5) 利用分解因式方法計算：

① 1012-101；② 27×19.99+72×19.99+19.99.

B層：

(1) 下列因式分解正確的個數(shù)是( )

①x2-2x+1=(x-1)2；②x2-1=(x-1)(x+1)；③x2-2x=x(x-1)；④ 2x2-2x=2x(x-1).

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

(2) 多項式3ma3+6ma2-12ma的公因式是.

(3) 邊長為a、b的長方形，它的周長為12，面積為7，則a2b+ab2的值為.

(4) 把下列各式分解因式：

① -8a2b+12ab2-4a3b3；

② -24x2y-12xy2-28y3；

③ 2m(m-n)2-8m2(n-m)；

④ (x-y)2-x+y.

(5) 利用分解因式方法計算：

C層：

閱讀理解：把多項式am+an+bm+bn分解因式.

解法一：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b)；

解法二：am+an+bm+bn=(am+bm)+(an+bn)=m(a+b)+n(a+b)=(m+n)(a+b).

觀察上述因式分解的過程，回答下列問題：

(1) 分解因式：m2x-3m+mnx-3n；

(2) 已知：a，b，c為△ABC的三邊，且a3-a2b+5ac-5bc=0，試判斷△ABC的形狀.

A、B層的作業(yè)設(shè)計都是5道題，題型一致，不同層次學(xué)生作業(yè)時長大體相當(dāng)，分層后針對性強，能滿足部分學(xué)生學(xué)習(xí)需求.逐一比對，第一題問法由“屬于因式分解的是”到“下列因式分解正確的個數(shù)是”，問題從封閉走向開放.第二題在多項式的項上有變化，結(jié)構(gòu)變復(fù)雜，能力要求也相應(yīng)提高.第三題問題呈現(xiàn)方式不同，A層是直接呈現(xiàn)代數(shù)形式ab=7，a+b=6，且有提示：將多項式a2b+ab2分解因式，你發(fā)現(xiàn)了什么？B層則利用幾何形式，把ab=7用長方形的面積為7，a+b=6用長方形的周長為12來表述，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化的能力，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神.四、五兩題在難度上也有明顯提升.C層的作業(yè)是拓展拔高，充分發(fā)揮作業(yè)作為課堂延伸的功能，用閱讀題的形式讓學(xué)生關(guān)注知識學(xué)習(xí)的過程，學(xué)會用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，感受數(shù)學(xué)的用處.

作業(yè)布置切忌隨意性、盲目性和一刀切的現(xiàn)象.“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”的理念在作業(yè)設(shè)計上的體現(xiàn)就是重視個體差異，關(guān)注學(xué)生可持續(xù)發(fā)展.

3 理解教學(xué)是設(shè)計高品質(zhì)作業(yè)的保障

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》指出：在教學(xué)中教師要引導(dǎo)學(xué)生在真實情境中發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，利用觀察、猜測、實驗、計算、推理、驗證、直觀想象等方法分析問題和解決問題.在作業(yè)的設(shè)計上結(jié)合生活中的現(xiàn)象，讓學(xué)生學(xué)會思考.

例如，在“代數(shù)式”的復(fù)習(xí)課后筆者選擇了下面問題：

當(dāng)你記不住九九乘法表中乘9的口訣時，你可以進(jìn)行如下的操作：

例如，伸出兩只手，做運算4×9時，如圖1，從左手開始數(shù)4下，數(shù)到第4根手指向下彎.這時，該手指左邊有3根手指，右邊有6根手指，可得36，即4×9=36.

圖1

類似的，做運算8×9時，從左手開始數(shù)8下，數(shù)到第8根手指向下彎.這時，該手指左邊有7根手指，右邊有2根手指，可得72，即8×9=72.

……

將問題一般化，我們可以解決9n(1≤n≤9，且n為整數(shù))的問題.從左手開始數(shù)n下，數(shù)到第n根手指向下彎.這時，該手指左邊有根手指，右邊有根手指.

列式計算說明上述操作的理由.(不能1～9逐個代入)

本次作業(yè)讓學(xué)生從身邊熟悉的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)問題，用已有的數(shù)學(xué)知識去解決問題，考查規(guī)律性問題的解決，找到規(guī)律并進(jìn)行驗證是解題關(guān)鍵.由此引發(fā)思考，乘8的口訣是否有這樣的規(guī)律？

只有作業(yè)聯(lián)系生活實際，學(xué)生感受到數(shù)學(xué)有用，才能夠以數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、以數(shù)學(xué)的思維分析世界、以數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界.

4 理解技術(shù)助力高品質(zhì)作業(yè)的設(shè)計

合理利用現(xiàn)代信息技術(shù)，可以提升學(xué)生的探究熱情，開闊學(xué)生的視野，激發(fā)學(xué)生的想象力，提高學(xué)生的信息素養(yǎng).技術(shù)的應(yīng)用在預(yù)習(xí)作業(yè)的設(shè)計上更有優(yōu)勢，可以化抽象為直觀，發(fā)現(xiàn)不變的數(shù)學(xué)本質(zhì).

例如，在“圓周角(1)”課前，筆者讓學(xué)生利用GeoGebra對進(jìn)行預(yù)習(xí).

學(xué)生通過軟件，可以量出⊙O中AB所對的圓周角∠ACB和圓心角∠AOB的度數(shù)，改變C的位置觀察兩者度數(shù)的變化，得到不變的結(jié)論：∠AOB=2∠ACB.學(xué)生觀察圖3，利用已有的知識經(jīng)驗，可知∠AOB=2∠ACB，若點C在⊙O上，一般化(圖2和圖4)的證明，又如何完成？對于初三學(xué)生，利用轉(zhuǎn)化思想，通過連接CO并延長交⊙O于P，把圖形分解為兩個基本題型(圖3)進(jìn)行解決.

圖2

圖3

圖4

部分學(xué)生通過數(shù)學(xué)實驗，又發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點C在圓上運動時候，∠AOB=2∠ACB；當(dāng)點C在圓外，∠AOB>2∠ACB；當(dāng)點C在圓內(nèi)，∠AOB<2∠ACB.實驗的結(jié)果已經(jīng)超出了文本提供的圓周角定理.技術(shù)的引入，使得數(shù)學(xué)問題直觀化，便于學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，激發(fā)數(shù)學(xué)探究熱情.

教師要樹立正確的作業(yè)觀.站在理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)、理解技術(shù)的視角下提高作業(yè)設(shè)計的質(zhì)量，減輕學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)，充分激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主動性與積極性，幫助學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)、促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展.