如何上好習(xí)題課
——以數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題習(xí)題課為例

張燕清

(蘇州市平江中學(xué)校，江蘇蘇州，215000)

習(xí)題課是在學(xué)習(xí)新課之后，教師有目的、有計(jì)劃地指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用已學(xué)過(guò)的知識(shí)解決一系列問(wèn)題的教學(xué)活動(dòng).該課型是學(xué)生學(xué)習(xí)如何解決問(wèn)題和分析問(wèn)題的學(xué)習(xí)活動(dòng)，就是把已經(jīng)掌握的基本概念、基本的公式、法則、定理，遷移到不同的情境下組合成各類題型后，找出解決問(wèn)題的方法，并探索這類問(wèn)題的解題通法或內(nèi)在規(guī)律.下面以一節(jié)以數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題習(xí)題課為例，進(jìn)行說(shuō)明，并提出幾點(diǎn)建議.

1 教學(xué)分析

教材內(nèi)容分析：從蘇教版七年級(jí)上冊(cè)的課本，我們可以看到數(shù)系剛擴(kuò)充到有理數(shù)，就引出數(shù)軸的概念.數(shù)軸的重要性不言而喻.從知識(shí)層面上看，課本在講完數(shù)軸后，利用數(shù)軸又定義了相反數(shù)、絕對(duì)值等重要概念，為后續(xù)研究有理數(shù)的運(yùn)算提供了奠基作用.基于數(shù)軸的三要素，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)也從線段過(guò)渡到了數(shù)軸上，讓數(shù)軸的應(yīng)用更廣泛.可見(jiàn)數(shù)軸是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究的重要工具；從思想方法層面上看，數(shù)軸是數(shù)與形的結(jié)合，點(diǎn)在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)更是數(shù)形結(jié)合的完美體現(xiàn)，而數(shù)形結(jié)合思想是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的重要思想.

教學(xué)目標(biāo)：本次課是數(shù)軸的習(xí)題課，是在學(xué)生已經(jīng)初步認(rèn)識(shí)和理解數(shù)軸的基礎(chǔ)上，同時(shí)也是在學(xué)完了絕對(duì)值和相反數(shù)，有理數(shù)的運(yùn)算之后增設(shè)的，其目的在于進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生深化對(duì)數(shù)軸的理解，加強(qiáng)對(duì)數(shù)軸的應(yīng)用，尤其是數(shù)軸與方程問(wèn)題，行程問(wèn)題的綜合運(yùn)用，滲透數(shù)形結(jié)合思想，建立方程的模型能力，提升數(shù)學(xué)的思維能力.

學(xué)情分析：對(duì)于剛剛升入初中的學(xué)生來(lái)說(shuō)，形象思維較好，但理解能力較弱，本節(jié)內(nèi)容是初學(xué)知識(shí)，學(xué)生基礎(chǔ)不算牢固，而數(shù)軸與行程問(wèn)題的綜合應(yīng)用，對(duì)學(xué)生的分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力要求較高，因此對(duì)學(xué)生是一種挑戰(zhàn).

教學(xué)的重難點(diǎn)：(1) 用含有時(shí)間t的代數(shù)式表示動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程；(2) 利用數(shù)形結(jié)合的思想，判斷點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情形，尋求等量關(guān)系，建立方程，解方程.

2 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

數(shù)軸習(xí)題課的教學(xué)過(guò)程呈現(xiàn)如下：

教學(xué)環(huán)節(jié)(一) 復(fù)習(xí)引入，回顧舊知

(1) 數(shù)軸的概念，數(shù)軸的三要素.

教師要求每個(gè)學(xué)生在本子上畫出一條數(shù)軸，并標(biāo)出原點(diǎn)，正方向，單位長(zhǎng)度.

(2) 數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離怎么表示？

教師在黑板上畫出一條數(shù)軸，并標(biāo)出A，B兩點(diǎn)，即引導(dǎo)學(xué)生得出數(shù)軸上點(diǎn)A，B所表示的數(shù)是a，b，則AB=|a-b| 或 |b-a|.由此總結(jié)任意兩點(diǎn)間的距離是兩點(diǎn)所表示的數(shù)差的絕對(duì)值.

(3) 數(shù)軸上任意兩點(diǎn)的中點(diǎn)怎么表示？

(4) 數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)如何表示？

教師畫出數(shù)軸，并標(biāo)出數(shù)軸上點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)為-2，若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間是t，則點(diǎn)P所表示的數(shù)是多少？若以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t，則點(diǎn)P所表示的數(shù)是多少？

(5) 復(fù)習(xí)有關(guān)行程問(wèn)題的典型的兩種情形.

相遇問(wèn)題(同時(shí)異地相向運(yùn)動(dòng))

總路程=速度和×相遇時(shí)間；相遇時(shí)間=總路程/速度和；速度和=總路程/相遇時(shí)間

追及問(wèn)題(同時(shí)同地同向運(yùn)動(dòng))

追及時(shí)間=路程差/速度差；路程差=速度差×追及時(shí)間；速度差=路程差/追及時(shí)間

設(shè)計(jì)意圖：數(shù)軸的基本概念、動(dòng)點(diǎn)的表示方法以及行程問(wèn)題的公式，是解決數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的根本.通過(guò)“畫圖—思考—解答—概括”展現(xiàn)知識(shí)的形成過(guò)程，讓學(xué)生從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)，掌握概念的真正內(nèi)涵，并能熟練運(yùn)用，有意識(shí)地訓(xùn)練學(xué)生歸納概括能力.

教學(xué)環(huán)節(jié)(二) 典例呈現(xiàn)，引導(dǎo)剖析

如圖，點(diǎn)A、點(diǎn)B是數(shù)軸上的點(diǎn)，點(diǎn)A表示的數(shù)是6，AB=10，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒6個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左勻速運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(t>0)秒.

(1) 數(shù)軸上點(diǎn)B表示的數(shù)是，點(diǎn)P表示的數(shù)是(用含t的代數(shù)式表示).

(2) 點(diǎn)M為AP中點(diǎn)，點(diǎn)N為BP中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段MN的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？如變化，說(shuō)明理由；若不變，畫出圖形，并求出MN的長(zhǎng)度.

(4) 動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)R從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，求點(diǎn)Q、點(diǎn)R相遇時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).

(5) 動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)R從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，P、Q、R三個(gè)動(dòng)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P追上點(diǎn)R后立即返回向點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)，遇到點(diǎn)Q則停止運(yùn)動(dòng).那么點(diǎn)P從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到停止運(yùn)動(dòng)，行駛的路程是多少個(gè)單位長(zhǎng)度？

教學(xué)示范：第一問(wèn)點(diǎn)B為定點(diǎn)，點(diǎn)P為動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)學(xué)生自行作答，以此鞏固數(shù)軸上點(diǎn)的表示法.點(diǎn)B表示的數(shù)是-4，點(diǎn)P表示的數(shù)是6-6t.

第二問(wèn)，數(shù)軸上的任意兩點(diǎn)的中點(diǎn)如何表示？點(diǎn)M為AP中點(diǎn)，點(diǎn)N為BP中點(diǎn)，

如何表示出點(diǎn)M，N？又如何表示M，N，兩點(diǎn)間的距離，即是線段MN的長(zhǎng)度？

在教師的引導(dǎo)下，請(qǐng)學(xué)生一一做答，并得出結(jié)論，不論動(dòng)點(diǎn)P怎樣運(yùn)動(dòng)，線段MN的長(zhǎng)度不變，都是5.

第三問(wèn)，教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)是什么情形？能不能在數(shù)軸上畫出來(lái)？

學(xué)生1：是相遇問(wèn)題.

繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生，總路程和各自的速度已知，顯然時(shí)間可以求出，并讓每個(gè)學(xué)生自行作答.

最后相遇時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)與什么相關(guān)呢？

學(xué)生2：與點(diǎn)P，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路程相關(guān).

進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生得出答案，點(diǎn)的坐標(biāo)是2.

第四問(wèn)，教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題是追及問(wèn)題，路程差和各自的速度已知，顯然時(shí)間可以求出.類比第三問(wèn)，求出答案，點(diǎn)的坐標(biāo)是-9.

第五問(wèn)，從兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)增加到三個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，難度加大，教師引導(dǎo)學(xué)生畫出數(shù)軸，在數(shù)軸上分析點(diǎn)P、Q、R三點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，分為兩步.

第一步，不考慮點(diǎn)Q，點(diǎn)P與點(diǎn)R的運(yùn)動(dòng)過(guò)程是什么情形？

學(xué)生4：追及的過(guò)程.

繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生得出sP=|AB|+sR，建立方程求出時(shí)間，并求出點(diǎn)P此時(shí)的路程s1.

第二步，不考慮點(diǎn)R，此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)Q是相遇的過(guò)程，那么它們的路程關(guān)系是怎樣的？

學(xué)生5：sP+sQ=2s1.

設(shè)計(jì)意圖：此題是一道以數(shù)軸為背景來(lái)研究點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情形的題，綜合性強(qiáng)，把點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情形考查得全面深刻.首先復(fù)習(xí)數(shù)軸上不動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)的表示法，并探討點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段的長(zhǎng)度的變化規(guī)律；點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程實(shí)則是行程問(wèn)題，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)相遇問(wèn)題和追及問(wèn)題的理解，并能正確分析各個(gè)點(diǎn)之間的路程、時(shí)間的關(guān)系，從而根據(jù)相遇和追及問(wèn)題的公式建立方程.解決問(wèn)題的過(guò)程是對(duì)第一環(huán)節(jié)中所學(xué)知識(shí)點(diǎn)的鞏固和運(yùn)用，滲透對(duì)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想和方程思想的培養(yǎng)，提升學(xué)生處理綜合題的分析能力與解決問(wèn)題的能力.

教學(xué)環(huán)節(jié)(三) 變式訓(xùn)練，鞏固提升

1. 如圖，已知A，B分別為數(shù)軸上兩點(diǎn)，A點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為-20，B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為100.

(1) 求AB中點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的數(shù)；

(2) 有一只電子螞蟻P從B點(diǎn)出發(fā)，以6單位/秒的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)另一只電子螞蟻Q恰好從A點(diǎn)出發(fā)，以4單位/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的C點(diǎn)相遇，求C點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)；

(3) 若當(dāng)電子螞蟻P從B點(diǎn)出發(fā)時(shí)，以6單位/秒的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)另一只電子螞蟻Q恰好從A點(diǎn)出發(fā)，以4單位/秒的速度也向左運(yùn)動(dòng)，設(shè)兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的D點(diǎn)相遇，求D點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù).

【預(yù)設(shè)答案】(1)M對(duì)應(yīng)的數(shù)40；(2)C對(duì)應(yīng)的數(shù)28；(3)D對(duì)應(yīng)的數(shù)-260.

2. 動(dòng)點(diǎn)A從原點(diǎn)出發(fā)向數(shù)軸負(fù)方向勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)B也從原點(diǎn)出發(fā)向數(shù)軸正方向勻速運(yùn)動(dòng)，已知?jiǎng)狱c(diǎn)A、B運(yùn)動(dòng)的速度比是1∶4，(速度單位：?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度/秒)3秒后，兩動(dòng)點(diǎn)相距15個(gè)單位長(zhǎng)度.

(1) 求動(dòng)點(diǎn)A、B運(yùn)動(dòng)的速度，并在數(shù)軸上標(biāo)出A、B兩點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)運(yùn)動(dòng)3秒時(shí)的位置；

(2) 若動(dòng)點(diǎn)A、B從(1)中的位置按原速度同時(shí)向數(shù)軸負(fù)方向勻速運(yùn)動(dòng)，幾秒后原點(diǎn)恰好處在兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)正中間？

(3)A、B兩動(dòng)點(diǎn)在(2)中的位置，繼續(xù)同時(shí)向數(shù)軸負(fù)方向勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一動(dòng)點(diǎn)C同時(shí)從點(diǎn)B位置出發(fā)向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)遇到點(diǎn)A后，立即返向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，遇到點(diǎn)B后立即返向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，如此往返，直至點(diǎn)B追上點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)C立即停止運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)C一直以20單位長(zhǎng)度/秒的速度作勻速運(yùn)動(dòng)，那么，點(diǎn)C從開(kāi)始到停止運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)的路程是多少單位長(zhǎng)度？

設(shè)計(jì)意圖：第一題是以電子螞蟻為背景設(shè)計(jì)的，考查動(dòng)點(diǎn)的相遇和追及問(wèn)題，是對(duì)例題的進(jìn)一步鞏固深化.第二題三問(wèn)與例題相比存在差別的，但仍是對(duì)行程問(wèn)題結(jié)合數(shù)軸知識(shí)的活用，第一問(wèn)是背向而行，較簡(jiǎn)單，第二問(wèn)同向而行，由于原點(diǎn)恰好處在兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)正中間，即用坐標(biāo)表示出動(dòng)點(diǎn)，得到兩點(diǎn)坐標(biāo)的和為0即可解決問(wèn)題.第三問(wèn)是點(diǎn)A、B的追及問(wèn)題，點(diǎn)C的折返問(wèn)題，在變化中尋求相等的量即是三動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等，由此解決問(wèn)題.兩道例題是對(duì)所學(xué)知識(shí)的鞏固，深化與拓展，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和運(yùn)用.

3 關(guān)于習(xí)題課的幾點(diǎn)建議

3.1 習(xí)題課需要梳理回顧相關(guān)知識(shí)點(diǎn)

習(xí)題課的第一教學(xué)環(huán)節(jié)是需要梳理相關(guān)概念、性質(zhì)等知識(shí)，為后面的解題做鋪墊.如上面數(shù)軸的習(xí)題課開(kāi)課時(shí)，教師帶學(xué)生把與數(shù)軸相關(guān)的一些概念、性質(zhì)、點(diǎn)的行程問(wèn)題都梳理了一遍，促進(jìn)學(xué)生自主建構(gòu)、 形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)、完善知識(shí)體系.

3.2 習(xí)題課需要精心設(shè)計(jì)題目

一節(jié)習(xí)題課質(zhì)量的高低很大程度上取決于教師對(duì)習(xí)題的選擇.教師在習(xí)題的編選上要下足功夫，要選擇典型的、有代表性的例題，讓例題體現(xiàn)主要知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用、體現(xiàn)通解通法，能起到加強(qiáng)雙基的示范性；要選擇一些關(guān)聯(lián)性強(qiáng)的習(xí)題，可以是同一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的深化與鞏固，也可以是一個(gè)知識(shí)點(diǎn)與其他知識(shí)在不同背景下的組合運(yùn)用；要精心配置習(xí)題的難易程度，既有重基礎(chǔ)的簡(jiǎn)單題型，也有變式拓展類題型，提高型、創(chuàng)新型等難度較大的題型，讓學(xué)生在抓基礎(chǔ)的同時(shí)，提高分析和解決較為復(fù)雜的具有靈活性和綜合性問(wèn)題的能力，發(fā)展數(shù)學(xué)思維.如上面的例題，是經(jīng)過(guò)改編的，除了對(duì)所復(fù)習(xí)的知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用，以此鞏固雙基，也是對(duì)同一知識(shí)(相遇與追及問(wèn)題)的不斷深化應(yīng)用，在難易程度上也是逐步提升，以滿足各個(gè)層次的學(xué)生.

3.3 習(xí)題課教學(xué)方式要多樣化

習(xí)題課教學(xué)知識(shí)密度大、題型多，如果只是依靠教師一味地講授，會(huì)讓學(xué)生感到枯燥、乏味，喪失學(xué)習(xí)的積極性.在習(xí)題課中教師始終把握以教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體的原則，組織多樣化的教學(xué)方式.如采用設(shè)置問(wèn)題串的形式，將一些看似復(fù)雜的綜合的問(wèn)題分解成較為精細(xì)的幾個(gè)小問(wèn)題，教師有效引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)所學(xué)過(guò)的知識(shí)先解決“小問(wèn)題”，再突破“大問(wèn)題”.如分組討論的方式讓學(xué)生多動(dòng)口、多動(dòng)手、多動(dòng)腦，激發(fā)學(xué)生全方位“參與”問(wèn)題的解決，有效地減輕學(xué)生的“疲勞”，提高課堂教學(xué)的效率和質(zhì)量.