如何上好習題課
——以數(shù)軸上的動點問題習題課為例

張燕清

(蘇州市平江中學校，江蘇蘇州，215000)

習題課是在學習新課之后，教師有目的、有計劃地指導學生運用已學過的知識解決一系列問題的教學活動.該課型是學生學習如何解決問題和分析問題的學習活動，就是把已經掌握的基本概念、基本的公式、法則、定理，遷移到不同的情境下組合成各類題型后，找出解決問題的方法，并探索這類問題的解題通法或內在規(guī)律.下面以一節(jié)以數(shù)軸上的動點問題習題課為例，進行說明，并提出幾點建議.

1 教學分析

教材內容分析：從蘇教版七年級上冊的課本，我們可以看到數(shù)系剛擴充到有理數(shù)，就引出數(shù)軸的概念.數(shù)軸的重要性不言而喻.從知識層面上看，課本在講完數(shù)軸后，利用數(shù)軸又定義了相反數(shù)、絕對值等重要概念，為后續(xù)研究有理數(shù)的運算提供了奠基作用.基于數(shù)軸的三要素，點的運動也從線段過渡到了數(shù)軸上，讓數(shù)軸的應用更廣泛.可見數(shù)軸是數(shù)學學習和研究的重要工具；從思想方法層面上看，數(shù)軸是數(shù)與形的結合，點在數(shù)軸上運動更是數(shù)形結合的完美體現(xiàn)，而數(shù)形結合思想是學生學好數(shù)學的重要思想.

教學目標：本次課是數(shù)軸的習題課，是在學生已經初步認識和理解數(shù)軸的基礎上，同時也是在學完了絕對值和相反數(shù)，有理數(shù)的運算之后增設的，其目的在于進一步引導學生深化對數(shù)軸的理解，加強對數(shù)軸的應用，尤其是數(shù)軸與方程問題，行程問題的綜合運用，滲透數(shù)形結合思想，建立方程的模型能力，提升數(shù)學的思維能力.

學情分析：對于剛剛升入初中的學生來說，形象思維較好，但理解能力較弱，本節(jié)內容是初學知識，學生基礎不算牢固，而數(shù)軸與行程問題的綜合應用，對學生的分析問題、解決問題的能力要求較高，因此對學生是一種挑戰(zhàn).

教學的重難點：(1) 用含有時間t的代數(shù)式表示動點的運動路程；(2) 利用數(shù)形結合的思想，判斷點的運動情形，尋求等量關系，建立方程，解方程.

2 教學過程設計

數(shù)軸習題課的教學過程呈現(xiàn)如下：

教學環(huán)節(jié)(一) 復習引入，回顧舊知

(1) 數(shù)軸的概念，數(shù)軸的三要素.

教師要求每個學生在本子上畫出一條數(shù)軸，并標出原點，正方向，單位長度.

(2) 數(shù)軸上兩點間的距離怎么表示？

教師在黑板上畫出一條數(shù)軸，并標出A，B兩點，即引導學生得出數(shù)軸上點A，B所表示的數(shù)是a，b，則AB=|a-b| 或 |b-a|.由此總結任意兩點間的距離是兩點所表示的數(shù)差的絕對值.

(3) 數(shù)軸上任意兩點的中點怎么表示？

(4) 數(shù)軸上的動點如何表示？

教師畫出數(shù)軸，并標出數(shù)軸上點A對應的數(shù)為-2，若點P從點A出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度向右運動，設運動時間是t，則點P所表示的數(shù)是多少？若以每秒4個單位長度的速度向左運動，設運動的時間是t，則點P所表示的數(shù)是多少？

(5) 復習有關行程問題的典型的兩種情形.

相遇問題(同時異地相向運動)

總路程=速度和×相遇時間；相遇時間=總路程/速度和；速度和=總路程/相遇時間

追及問題(同時同地同向運動)

追及時間=路程差/速度差；路程差=速度差×追及時間；速度差=路程差/追及時間

設計意圖：數(shù)軸的基本概念、動點的表示方法以及行程問題的公式，是解決數(shù)軸上的動點問題的根本.通過“畫圖—思考—解答—概括”展現(xiàn)知識的形成過程，讓學生從感性認識上升到理性認識，掌握概念的真正內涵，并能熟練運用，有意識地訓練學生歸納概括能力.

教學環(huán)節(jié)(二) 典例呈現(xiàn)，引導剖析

如圖，點A、點B是數(shù)軸上的點，點A表示的數(shù)是6，AB=10，動點P從點A出發(fā)，以每秒6個單位長度的速度向左勻速運動.設運動時間為t(t>0)秒.

(1) 數(shù)軸上點B表示的數(shù)是，點P表示的數(shù)是(用含t的代數(shù)式表示).

(2) 點M為AP中點，點N為BP中點，當點P在運動過程中，線段MN的長度是否發(fā)生變化？如變化，說明理由；若不變，畫出圖形，并求出MN的長度.

(4) 動點Q從點A出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，動點R從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，求點Q、點R相遇時點的坐標.

(5) 動點Q從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，動點R從點B出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數(shù)軸向左勻速運動，P、Q、R三個動點同時出發(fā)，點P追上點R后立即返回向點Q運動，遇到點Q則停止運動.那么點P從開始運動到停止運動，行駛的路程是多少個單位長度？

教學示范：第一問點B為定點，點P為動點，請學生自行作答，以此鞏固數(shù)軸上點的表示法.點B表示的數(shù)是-4，點P表示的數(shù)是6-6t.

第二問，數(shù)軸上的任意兩點的中點如何表示？點M為AP中點，點N為BP中點，

如何表示出點M，N？又如何表示M，N，兩點間的距離，即是線段MN的長度？

在教師的引導下，請學生一一做答，并得出結論，不論動點P怎樣運動，線段MN的長度不變，都是5.

第三問，教師引導學生發(fā)現(xiàn)點P，點Q的運動是什么情形？能不能在數(shù)軸上畫出來？

學生1：是相遇問題.

繼續(xù)引導學生，總路程和各自的速度已知，顯然時間可以求出，并讓每個學生自行作答.

最后相遇時點的坐標與什么相關呢？

學生2：與點P，點Q的運動路程相關.

進一步引導學生得出答案，點的坐標是2.

第四問，教師引導學生發(fā)現(xiàn)點P，點Q的運動問題是追及問題，路程差和各自的速度已知，顯然時間可以求出.類比第三問，求出答案，點的坐標是-9.

第五問，從兩個動點的運動增加到三個動點的運動，難度加大，教師引導學生畫出數(shù)軸，在數(shù)軸上分析點P、Q、R三點的運動過程，分為兩步.

第一步，不考慮點Q，點P與點R的運動過程是什么情形？

學生4：追及的過程.

繼續(xù)引導學生得出sP=|AB|+sR，建立方程求出時間，并求出點P此時的路程s1.

第二步，不考慮點R，此時點P與點Q是相遇的過程，那么它們的路程關系是怎樣的？

學生5：sP+sQ=2s1.

設計意圖：此題是一道以數(shù)軸為背景來研究點的運動情形的題，綜合性強，把點的運動情形考查得全面深刻.首先復習數(shù)軸上不動點和動點的表示法，并探討點在運動過程中，線段的長度的變化規(guī)律；點的運動過程實則是行程問題，強化學生對相遇問題和追及問題的理解，并能正確分析各個點之間的路程、時間的關系，從而根據(jù)相遇和追及問題的公式建立方程.解決問題的過程是對第一環(huán)節(jié)中所學知識點的鞏固和運用，滲透對學生數(shù)形結合思想和方程思想的培養(yǎng)，提升學生處理綜合題的分析能力與解決問題的能力.

教學環(huán)節(jié)(三) 變式訓練，鞏固提升

1. 如圖，已知A，B分別為數(shù)軸上兩點，A點對應的數(shù)為-20，B點對應的數(shù)為100.

(1) 求AB中點M對應的數(shù)；

(2) 有一只電子螞蟻P從B點出發(fā)，以6單位/秒的速度向左運動，同時另一只電子螞蟻Q恰好從A點出發(fā)，以4單位/秒的速度向右運動，設兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的C點相遇，求C點對應的數(shù)；

(3) 若當電子螞蟻P從B點出發(fā)時，以6單位/秒的速度向左運動，同時另一只電子螞蟻Q恰好從A點出發(fā)，以4單位/秒的速度也向左運動，設兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的D點相遇，求D點對應的數(shù).

【預設答案】(1)M對應的數(shù)40；(2)C對應的數(shù)28；(3)D對應的數(shù)-260.

2. 動點A從原點出發(fā)向數(shù)軸負方向勻速運動，同時，動點B也從原點出發(fā)向數(shù)軸正方向勻速運動，已知動點A、B運動的速度比是1∶4，(速度單位：單位長度/秒)3秒后，兩動點相距15個單位長度.

(1) 求動點A、B運動的速度，并在數(shù)軸上標出A、B兩點從原點出發(fā)運動3秒時的位置；

(2) 若動點A、B從(1)中的位置按原速度同時向數(shù)軸負方向勻速運動，幾秒后原點恰好處在兩個動點正中間？

(3)A、B兩動點在(2)中的位置，繼續(xù)同時向數(shù)軸負方向勻速運動時，另一動點C同時從點B位置出發(fā)向點A運動，當遇到點A后，立即返向點B運動，遇到點B后立即返向點A運動，如此往返，直至點B追上點A時，點C立即停止運動，若點C一直以20單位長度/秒的速度作勻速運動，那么，點C從開始到停止運動，其運動的路程是多少單位長度？

設計意圖：第一題是以電子螞蟻為背景設計的，考查動點的相遇和追及問題，是對例題的進一步鞏固深化.第二題三問與例題相比存在差別的，但仍是對行程問題結合數(shù)軸知識的活用，第一問是背向而行，較簡單，第二問同向而行，由于原點恰好處在兩個動點正中間，即用坐標表示出動點，得到兩點坐標的和為0即可解決問題.第三問是點A、B的追及問題，點C的折返問題，在變化中尋求相等的量即是三動點的運動時間相等，由此解決問題.兩道例題是對所學知識的鞏固，深化與拓展，加深學生對知識的理解和運用.

3 關于習題課的幾點建議

3.1 習題課需要梳理回顧相關知識點

習題課的第一教學環(huán)節(jié)是需要梳理相關概念、性質等知識，為后面的解題做鋪墊.如上面數(shù)軸的習題課開課時，教師帶學生把與數(shù)軸相關的一些概念、性質、點的行程問題都梳理了一遍，促進學生自主建構、 形成知識網(wǎng)絡、完善知識體系.

3.2 習題課需要精心設計題目

一節(jié)習題課質量的高低很大程度上取決于教師對習題的選擇.教師在習題的編選上要下足功夫，要選擇典型的、有代表性的例題，讓例題體現(xiàn)主要知識點的運用、體現(xiàn)通解通法，能起到加強雙基的示范性；要選擇一些關聯(lián)性強的習題，可以是同一個知識點的深化與鞏固，也可以是一個知識點與其他知識在不同背景下的組合運用；要精心配置習題的難易程度，既有重基礎的簡單題型，也有變式拓展類題型，提高型、創(chuàng)新型等難度較大的題型，讓學生在抓基礎的同時，提高分析和解決較為復雜的具有靈活性和綜合性問題的能力，發(fā)展數(shù)學思維.如上面的例題，是經過改編的，除了對所復習的知識點的運用，以此鞏固雙基，也是對同一知識(相遇與追及問題)的不斷深化應用，在難易程度上也是逐步提升，以滿足各個層次的學生.

3.3 習題課教學方式要多樣化

習題課教學知識密度大、題型多，如果只是依靠教師一味地講授，會讓學生感到枯燥、乏味，喪失學習的積極性.在習題課中教師始終把握以教師為主導，學生為主體的原則，組織多樣化的教學方式.如采用設置問題串的形式，將一些看似復雜的綜合的問題分解成較為精細的幾個小問題，教師有效引導學生根據(jù)所學過的知識先解決“小問題”，再突破“大問題”.如分組討論的方式讓學生多動口、多動手、多動腦，激發(fā)學生全方位“參與”問題的解決，有效地減輕學生的“疲勞”，提高課堂教學的效率和質量.