以反思性思維的發(fā)生、發(fā)展為線索進(jìn)行概念課教學(xué)
——以“平方根”教學(xué)為例

徐麗君，李 明

(桐廬縣城關(guān)初級(jí)中學(xué)，浙江杭州，311599)

初中教師在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，主要有兩種認(rèn)識(shí)：一是強(qiáng)調(diào)概念的辨識(shí)與應(yīng)用；二是強(qiáng)調(diào)以概念為中心的相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)解析.兩種認(rèn)識(shí)下的課堂共性是以學(xué)生認(rèn)知與新概念交集設(shè)置問(wèn)題情境，其后風(fēng)格迥異.前者淡化學(xué)生思維的起點(diǎn)，設(shè)計(jì)的教學(xué)表達(dá)方式傾向于習(xí)題化，造成學(xué)生對(duì)概念缺乏理性認(rèn)同，增加后期學(xué)習(xí)中出現(xiàn)認(rèn)知混淆的風(fēng)險(xiǎn).后者由于強(qiáng)調(diào)知識(shí)之間的邏輯關(guān)系，課堂有強(qiáng)烈的“數(shù)學(xué)味道”，但學(xué)科本位一定程度上對(duì)學(xué)生反思性思維發(fā)展過(guò)程中的痛點(diǎn)、盲點(diǎn)、堵點(diǎn)選擇性忽視，導(dǎo)致學(xué)生的主動(dòng)探究愿望不強(qiáng)烈，獲得感較低.反思性思維是對(duì)某個(gè)問(wèn)題進(jìn)行反復(fù)的、嚴(yán)肅的、持續(xù)不斷的深思.從根本上看，學(xué)習(xí)完全是一種反思性活動(dòng).在概念課教學(xué)中，以學(xué)生反思性思維的發(fā)生、發(fā)展為綱，以概念相關(guān)知識(shí)之間的邏輯性為目，綱舉目張，突出思維過(guò)程中的主動(dòng)獲得，從而達(dá)成較好的學(xué)習(xí)體驗(yàn).本文以“平方根”教學(xué)為例對(duì)此作些探索.

1 反思性思維要素分析

1.1 起點(diǎn)：從哪開(kāi)始想

1.2 痛點(diǎn)：實(shí)在想不出

開(kāi)平方是平方的逆運(yùn)算，該逆向思維類(lèi)似于“已知某數(shù)的絕對(duì)值求這個(gè)數(shù)”.把“求一個(gè)正數(shù)的平方根”這一問(wèn)題回到思維起點(diǎn)(注意并不等同)：已知某個(gè)正數(shù)的平方，求這個(gè)正數(shù).學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)是：已知正方形的面積求正方形邊長(zhǎng).優(yōu)先選擇平方數(shù)作為被開(kāi)方數(shù)，一方面體現(xiàn)開(kāi)方是一種運(yùn)算，以便學(xué)生感悟互逆；另一方面符合從特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律.但對(duì)大部分同學(xué)(乘方運(yùn)算不熟練的同學(xué)更加)，從42=16易，142=196難，更難的是看到196，還要想到196不僅是14的平方，還是-14的平方，何其難！雖然可以通過(guò)分解：196=22×72=(2×7)2=142求得196的正平方根，但分解過(guò)程往往涉及后續(xù)積的乘方相關(guān)運(yùn)算，同時(shí)分解運(yùn)算需要較多精力投入，不利于思維聚焦.由此，課堂不宜出現(xiàn)繁雜的平方數(shù)(《義務(wù)教育教學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》明確規(guī)定帶分?jǐn)?shù)不涉及乘方、開(kāi)方運(yùn)算)，同時(shí)需要在前期積累對(duì)常見(jiàn)的平方數(shù)的感覺(jué)，這個(gè)感覺(jué)就是數(shù)感.

1.3 盲點(diǎn)：實(shí)在沒(méi)想到

對(duì)平方數(shù)有了感覺(jué)，學(xué)生被問(wèn)到：哪個(gè)數(shù)的平方等于9時(shí)，通常脫口而出：32=9，很難想到(-3)2=9.更鮮有人思考過(guò)：除了(±3)2=9還有沒(méi)有其他數(shù)的

平方也等于9?思維盲區(qū)往往是慣性思維的負(fù)遷移.思維盲點(diǎn)有必要由教師點(diǎn)亮，并在前期(如上一章)學(xué)習(xí)做好鋪墊.可以回到思維起點(diǎn)“面積為9的正方形的邊長(zhǎng)一定是3嗎？”學(xué)生不難理解：邊長(zhǎng)大于3，則面積大于9；邊長(zhǎng)小于3，則面積小于9；當(dāng)且僅當(dāng)邊長(zhǎng)等于3時(shí)，面積等于9.事實(shí)上，面積是邊長(zhǎng)的二次函數(shù)且是函數(shù)圖象的右半支，函數(shù)值與自變量的值一一對(duì)應(yīng)；當(dāng)去除正方形背景后(即某數(shù)的平方等于某個(gè)正數(shù))，每一個(gè)正的函數(shù)值對(duì)應(yīng)兩個(gè)互為相反數(shù)的自變量的值.可見(jiàn)，思維盲點(diǎn)審視可以回歸思維起點(diǎn)，同時(shí)可以滲透數(shù)學(xué)概念之間的邏輯關(guān)聯(lián).

1.4 堵點(diǎn)：有點(diǎn)想不通

2 教學(xué)設(shè)計(jì)

【模塊1】準(zhǔn)備：培養(yǎng)平方數(shù)數(shù)感，以便課堂思維聚焦

(1) 計(jì)算：02，12，22，…，152

(2) 計(jì)算：(-1)2，(-2)2，…，(-15)2

設(shè)計(jì)意圖：對(duì)薄弱同學(xué)，通過(guò)常見(jiàn)數(shù)的平方，熟識(shí)常見(jiàn)平方數(shù).規(guī)律也蘊(yùn)含其中，如：互為相反數(shù)的平方相等；分?jǐn)?shù)的平方即分子分母分別平方再相除；若底數(shù)小數(shù)點(diǎn)向左(或右)移動(dòng)1位，則冪的小數(shù)點(diǎn)向左(或右)移動(dòng)2位;底數(shù)的絕對(duì)值越大則二次冪越大.第(1)小題是基礎(chǔ)，是所有相關(guān)發(fā)現(xiàn)的思維起點(diǎn).課堂上不一定生成這些結(jié)論，學(xué)生有所感悟即可.

【模塊2】起點(diǎn)：創(chuàng)設(shè)正平方根情境，建立思維發(fā)展起點(diǎn)

(1) 正方形的面積為9，邊長(zhǎng)是.

(2) 寫(xiě)出所有分別滿(mǎn)足下列條件的數(shù)：

① 某數(shù)的平方等于9，這個(gè)數(shù)是；

② 某數(shù)的平方等于0，這個(gè)數(shù)是；

③ 某數(shù)的平方等于-4，這個(gè)數(shù)是.

(3) 結(jié)合(1)(2)，師生合作解析、文字?jǐn)⑹銎椒礁拍?順勢(shì)導(dǎo)出正平方根、負(fù)平方根、0的平方根).

設(shè)計(jì)意圖：第(1)問(wèn)通過(guò)經(jīng)歷正方形面積與邊長(zhǎng)的互逆運(yùn)算，體會(huì)平方根的產(chǎn)生源于實(shí)際需求，第(2)問(wèn)經(jīng)歷已知指數(shù)和冪求底數(shù)的過(guò)程，一方面領(lǐng)會(huì)與“平方”的互逆，另一方面體會(huì)研究平方根是數(shù)學(xué)發(fā)展的需要.同時(shí)第(1)與第(2)①的思維沖突，激活數(shù)學(xué)思維，思考要嚴(yán)肅、解答要完備：正數(shù)的平方根有兩個(gè)且互為相反數(shù).思維發(fā)展來(lái)看，先求正平方根，再寫(xiě)負(fù)平方根；求正平方根即已知正方形面積求邊長(zhǎng).注意：第(1)問(wèn)師生需共同體會(huì)邊長(zhǎng)有且只有3，從而為第(2)①有且只有±3作鋪墊，突出平方根概念的完備性.第(4)問(wèn)板書(shū)如下(為符號(hào)化做準(zhǔn)備)：

∵32=9，(-3)2=9即(±3)2=9

∴9的平方根是±3.

【模塊3】發(fā)展：特殊到一般，數(shù)感到符號(hào)感

(1) 正方形的面積為3，邊長(zhǎng)是；

(2) 3的正平方根是，負(fù)平方根是，平方根是.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)思維沖突、符號(hào)演化、例題示范，深刻體會(huì)平方根符號(hào)化的必要性、合理性、簡(jiǎn)潔性.從平方數(shù)到開(kāi)不盡方的數(shù)，符合學(xué)生從特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律.(1)問(wèn)的符號(hào)演變?nèi)缦聢D(動(dòng)畫(huà)演示)：

∵32=9,(-3)2=9即

∴9的平方根是±3，即

∵(±3)2=9

【模塊4】?jī)?nèi)化：思維個(gè)性化，新的起點(diǎn).

小結(jié)：板書(shū)小結(jié)，如下圖.

設(shè)計(jì)意圖：利用課堂生成的板書(shū)，師生回顧思維發(fā)展過(guò)程關(guān)鍵節(jié)點(diǎn).教師從知識(shí)技能、思想方法兩方面引導(dǎo)，教師主導(dǎo)，共同感悟.

3 實(shí)踐感悟

數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，數(shù)學(xué)課堂是思維的課堂.教學(xué)表達(dá)形式既要重視數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯，更需關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的邏輯——反思性思維的發(fā)生、發(fā)展.以反思性思維的發(fā)生、發(fā)展為主線即以學(xué)習(xí)者的學(xué)習(xí)邏輯為綱，引導(dǎo)學(xué)習(xí)者主動(dòng)理解、應(yīng)用概念，生成數(shù)學(xué)知識(shí)技能并在過(guò)程中學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考.

3.1 理解學(xué)習(xí)的本質(zhì)即反思性活動(dòng)，積累反思性思維要素分析經(jīng)驗(yàn)

并不是每一個(gè)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)都有思維(指反思性思維，下同)痛點(diǎn)、盲點(diǎn)、堵點(diǎn)，思維起點(diǎn)也因人、因班而異.思維起點(diǎn)的確定與概念相關(guān)知識(shí)的解析、班級(jí)整體的數(shù)學(xué)素養(yǎng)密切相關(guān)，素養(yǎng)越高越傾向于“數(shù)學(xué)化”，相反則傾向于“生活化”.如平方根概念教學(xué)中，思維起點(diǎn)可以是“已知正方形面積求邊長(zhǎng)”，也可以是“乘方的三要素：底數(shù)、指數(shù)、冪，已知二者求第三者”.另外，隨著課堂的行進(jìn)，知識(shí)技能的掌握，思維也在發(fā)展，學(xué)習(xí)個(gè)體的思維起點(diǎn)也在動(dòng)態(tài)變化，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生的個(gè)性化合理思維，絕不能有“一定要這樣想”的想法跟言語(yǔ)、感情表露.

3.2 關(guān)注學(xué)生群體思維的動(dòng)態(tài)變化，領(lǐng)悟模塊組合之“法”

以反思性思維的發(fā)生、發(fā)展為主線的概念課教學(xué)需要預(yù)設(shè)，包括準(zhǔn)備、起點(diǎn)、發(fā)展、反復(fù)、內(nèi)化五個(gè)模塊.五個(gè)模塊并不是缺一不可，如：平方根中的“準(zhǔn)備”模塊，如果學(xué)生對(duì)平方數(shù)已經(jīng)有了足夠的數(shù)感，這一模塊自然可以省略.課堂應(yīng)“順”著學(xué)生思維的發(fā)展行進(jìn)，故五個(gè)模塊在課堂中的行進(jìn)順序也不是非得這樣，甚至可以穿插進(jìn)行，如：平方根教學(xué)中的“發(fā)展”模塊，在平方根的符號(hào)生成后，就可以用不同形式的呈現(xiàn)方式引導(dǎo)學(xué)生反復(fù)思考，以利于“符號(hào)感”的生成.模塊之間的靈活組合需要教師關(guān)注學(xué)生群體的思維發(fā)展變化，并作出判斷.

3.3 注意教材對(duì)于學(xué)生思維的留白與冗余，以生為本是概念教學(xué)設(shè)計(jì)之“道”

浙教版每一節(jié)教材的呈現(xiàn)都有強(qiáng)烈的反思性思維味道，充分考慮普遍的學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn).但教材與課堂不同，教材一覽無(wú)余，課堂徐徐展開(kāi).一覽無(wú)余，雖能面面俱到，但易點(diǎn)到即止，難判輕重；徐徐展開(kāi)，雖有利思維，但易缺失目標(biāo)，偏頗重心.如此，教師對(duì)教材的再創(chuàng)作成為必然.進(jìn)行再創(chuàng)作，教師一方面須對(duì)與概念相關(guān)的知識(shí)邏輯了然于胸，不僅要有全局觀、整體觀、還要有高觀點(diǎn)；另一方面須對(duì)學(xué)生的現(xiàn)有認(rèn)知基礎(chǔ)、學(xué)習(xí)特點(diǎn)一清二楚.初中階段，以學(xué)生的學(xué)習(xí)邏輯為主線設(shè)計(jì)教學(xué)要注意教材中的素材呈現(xiàn)之于學(xué)生思維的留白與冗余.如“平方根”中，面積為1.44的正方形的邊長(zhǎng)是多少？對(duì)于大部分普通孩子而言，此處有大量留白：正方形的面積公式如何？哪個(gè)數(shù)的平方是144？哪個(gè)數(shù)的平方是1.44？面積144之于1.44的關(guān)系如何與邊長(zhǎng)有聯(lián)系？(見(jiàn)本文第3頁(yè)【模塊一】)教師要思考的是：對(duì)與我的孩子們，哪些思維留白是需要做填充的.同樣，“平方根”中也有信息冗余(因人、因班而異)，本節(jié)課共有10個(gè)新術(shù)語(yǔ)：平方根、二次方根、正平方根、負(fù)平方根、根號(hào)、負(fù)根號(hào)、正、負(fù)根號(hào)、被開(kāi)方數(shù)、開(kāi)平方、算術(shù)平方根.新術(shù)語(yǔ)在課堂中的高頻出現(xiàn)，不利于思維的連續(xù)、聚焦、反復(fù).算術(shù)平方根可以先放一放，甚至被開(kāi)方數(shù)、開(kāi)平方也可以先放一邊，只待時(shí)機(jī)成熟，一語(yǔ)點(diǎn)破.