巧用變易圖式，實(shí)現(xiàn)高效課堂
——以“一次函數(shù)及其圖象”為例

耿田田，劉 堅(jiān)

(濟(jì)南大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，山東濟(jì)南，250024)

在《數(shù)學(xué)是什么》這本名著序言中，美國(guó)數(shù)學(xué)家R·柯朗闡述:教師上課過程中若只是單純注重?cái)?shù)學(xué)的形式和演算，而不注重突出強(qiáng)調(diào)教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)和關(guān)鍵特征，會(huì)增加學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的挫折和迷惑[1].瑞典大學(xué)教授馬飛龍?jiān)?0世紀(jì)90年代基于現(xiàn)象圖析學(xué)提出了變易理論[2].該理論是一種有關(guān)教師如何幫助學(xué)生學(xué)習(xí)的理論，為教學(xué)內(nèi)容重點(diǎn)難點(diǎn)設(shè)計(jì)變易圖式，讓學(xué)生更易接受知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生形成高階思維，從而實(shí)現(xiàn)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)與優(yōu)化.目前，變易理論在語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理、化學(xué)、體育學(xué)科中都有應(yīng)用研究[3].本文先介紹變易理論指導(dǎo)下教學(xué)設(shè)計(jì)的策略，然后以“一次函數(shù)及其圖象”為例，希望能夠?yàn)橐痪€數(shù)學(xué)教師豐富數(shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)與優(yōu)化提供幫助.

1 “變易理論”的介紹

我國(guó)變易理論教學(xué)研究主要有三個(gè)方面的進(jìn)展和成果:一是探索變易理論與已有教學(xué)理念關(guān)系，把學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)與教學(xué)內(nèi)容相結(jié)合，將變易模式與指導(dǎo)性探究結(jié)合是一種教學(xué)新視野；二是探索以變易理論為指導(dǎo)的教學(xué)設(shè)計(jì)流程；三是探索變易理論的適用性，不是所有學(xué)科都運(yùn)用了這一教學(xué)方式，目前的研究及應(yīng)用主要在一些工具學(xué)科上，數(shù)學(xué)是一主要的學(xué)科[4].變易理論出自于易經(jīng)，它表示變化是有規(guī)律的，通過有規(guī)律的變化，可以讓學(xué)生在變與不變的情形中審辨到知識(shí)的關(guān)鍵特征，使復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識(shí)變得簡(jiǎn)單，易于學(xué)生接受.變易理論的要素包括學(xué)習(xí)內(nèi)容、關(guān)鍵屬性和一般能力.

1.1 學(xué)習(xí)內(nèi)容是重點(diǎn)

學(xué)習(xí)內(nèi)容不僅僅是單純的理解某一個(gè)概念或者某一個(gè)理論，而是還要讓學(xué)生通過學(xué)習(xí)培養(yǎng)一種能力，也就是學(xué)習(xí)內(nèi)容的一般屬性[5].數(shù)學(xué)知識(shí)的難度是層層遞進(jìn)，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜的，所以老師在講授新課前需要厘清新課內(nèi)容在學(xué)科知識(shí)系統(tǒng)中所處的位置，學(xué)生學(xué)懂本節(jié)課已有的知識(shí)基礎(chǔ)；走進(jìn)課堂時(shí)注意把教學(xué)內(nèi)容與生活經(jīng)驗(yàn)相結(jié)合，考慮學(xué)生學(xué)了知識(shí)后能處理什么事情.例如在講二次函數(shù)的圖象是拋物線時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生思考一下生活中類似拋物線的建筑，為后邊講“二次函數(shù)與實(shí)際問題”打下基礎(chǔ).

1.2 關(guān)鍵屬性是核心

每個(gè)事物都有自己的屬性，同樣數(shù)學(xué)中需要掌握的知識(shí)點(diǎn)都有自己的關(guān)鍵特征.學(xué)生要想對(duì)知識(shí)學(xué)得透徹，深入理解學(xué)習(xí)內(nèi)容，就必須關(guān)注或辨識(shí)到所學(xué)知識(shí)的關(guān)鍵特征.老師則需要對(duì)知識(shí)點(diǎn)創(chuàng)設(shè)變易的環(huán)境，幫助同學(xué)們學(xué)懂知識(shí)點(diǎn)，避免混淆概念.例如老師在復(fù)習(xí)“整式的加減”這一章的知識(shí)點(diǎn)時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)很多同學(xué)混淆單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、整式的概念，這就是因?yàn)橥瑢W(xué)們沒有對(duì)各個(gè)概念中隱含的關(guān)鍵屬性清晰明了.

1.3 審辨能力是關(guān)鍵

變易理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)就是學(xué)生經(jīng)歷認(rèn)知改變的過程，經(jīng)歷產(chǎn)生對(duì)事物有不同看法的過程，關(guān)鍵在于學(xué)生能夠?qū)彵娉鍪挛锏年P(guān)鍵特征.教師對(duì)知識(shí)進(jìn)行恰當(dāng)?shù)淖円祝菢訉W(xué)生才能更好地審辨到關(guān)鍵特征.Marton等人提出了對(duì)照、區(qū)分、類合、融合四種變易圖式[6]，為老師進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)、突出知識(shí)點(diǎn)關(guān)鍵特征提供了工具，如表1所示.

表1 變易范式的常見類型

2 基于變易理論的初中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)策略

2.1 探尋學(xué)生學(xué)情，把握重點(diǎn)難點(diǎn)

在課堂教學(xué)時(shí)，有些教師更多關(guān)注的是新課內(nèi)容的教學(xué)目標(biāo)、重點(diǎn)、難點(diǎn)，容易忽視對(duì)學(xué)生學(xué)情的分析.變易理論指導(dǎo)下的教學(xué)設(shè)計(jì)要求教師在備課過程中要注意以下幾點(diǎn)：一是通過班級(jí)平時(shí)的測(cè)試成績(jī)、與學(xué)生的交流等，了解自己所教班級(jí)學(xué)生的平均水平，了解學(xué)生對(duì)新知識(shí)的認(rèn)知水平，重難點(diǎn)內(nèi)容要讓大部分學(xué)生能接受.二是要考慮教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)相結(jié)合，只有這樣數(shù)學(xué)知識(shí)才能具體形象、生動(dòng)有趣，學(xué)生才會(huì)感到數(shù)學(xué)不是枯燥乏味的，做到“親其師，信其道”.

2.2 提高自身素養(yǎng)，明確教學(xué)內(nèi)容

在變易理論中，教學(xué)內(nèi)容分為“教師預(yù)設(shè)的教學(xué)內(nèi)容”“課堂實(shí)踐著的教學(xué)內(nèi)容”“學(xué)生體驗(yàn)到的教學(xué)內(nèi)容”三種.在實(shí)際的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師理解的教學(xué)內(nèi)容通常是課本上的這節(jié)課需要掌握的知識(shí)點(diǎn).正如王榮生在“合宜的教學(xué)內(nèi)容是一堂好課的最低標(biāo)準(zhǔn)”——以《竹影》的教學(xué)為例中寫到：“一節(jié)課若離開合宜的教學(xué)內(nèi)容，在教學(xué)方法上不管玩兒什么花招，樹什么大旗，都是無(wú)用的.”因此教師要重視教學(xué)研討活動(dòng)，挖掘平時(shí)感覺講解不透徹的知識(shí)點(diǎn)，向從事數(shù)學(xué)教學(xué)多年的老師請(qǐng)教.通過研討，掌握教學(xué)內(nèi)容的關(guān)鍵特征，了解學(xué)生對(duì)關(guān)鍵特征的困惑點(diǎn)，從而提高自身素養(yǎng).

2.3 巧用變易圖式，突出內(nèi)容本質(zhì)

變易理論提出了四種范式，教師在上課之前對(duì)每個(gè)關(guān)鍵特征做好相應(yīng)的變易圖式，在授課過程中教師巧妙理解運(yùn)用四種變易圖式，可以幫助學(xué)生理解所學(xué)內(nèi)容的關(guān)鍵特征，深刻記憶所學(xué)知識(shí)，掌握本節(jié)課的核心內(nèi)容.

2.4 靈活運(yùn)用練習(xí)，加深學(xué)生記憶

學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)必備步驟是做練習(xí)，但不是“題海戰(zhàn)術(shù)”.老師對(duì)例題的選擇和習(xí)題的搭配要經(jīng)過深思熟慮，習(xí)題千篇一律，會(huì)讓學(xué)生感到枯燥，并且不利于學(xué)生的發(fā)散思維發(fā)展.而變易理論的觀點(diǎn)是主張通過屬性的對(duì)比與變化，突出事物的關(guān)鍵特征.老師設(shè)置練習(xí)題時(shí)，可以根據(jù)實(shí)際情況，采取變例題的條件，變例題的結(jié)論等具體的方式，從而打破學(xué)生思維的禁錮.

3 變易理論在初中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)中的應(yīng)用

本節(jié)以“一次函數(shù)及其圖象”為例，闡述變易理論在初中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)中的應(yīng)用，函數(shù)是初中生接觸的新知識(shí)點(diǎn)，也是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重難點(diǎn).它是考查的熱點(diǎn)，綜合考查學(xué)生對(duì)函數(shù)的概念、性質(zhì)和圖象的理解，考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力和綜合分析能力.初中生先接觸一次函數(shù)，然后學(xué)習(xí)反比例函數(shù)，最后學(xué)習(xí)二次函數(shù)，當(dāng)三種函數(shù)全部學(xué)完后，就需要學(xué)生解決三種函數(shù)的綜合問題，所以學(xué)好一次函數(shù)至關(guān)重要.

3.1 “一次函數(shù)及其圖象”的教學(xué)目標(biāo)及重難點(diǎn)

教學(xué)目標(biāo)：(1) 掌握一次函數(shù)解析式的特點(diǎn)及意義；

(2) 掌握一次函數(shù)圖象的畫法，根據(jù)畫出的圖象總結(jié)性質(zhì).

重點(diǎn)：掌握一次函數(shù)概念，理解表達(dá)式中y=kx+b中字母k、b的含義，根據(jù)表達(dá)式用“兩點(diǎn)法”準(zhǔn)確畫出對(duì)應(yīng)的圖象，理解一次函數(shù)y=kx+b與一次函數(shù)y=kx之間的聯(lián)系與區(qū)別，根據(jù)圖象總結(jié)歸納性質(zhì).

難點(diǎn)：給出一個(gè)表達(dá)式，能迅速地畫出一次函數(shù)的圖象，實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合；會(huì)建立一次函數(shù)模型解決實(shí)際問題.

3.2 活用變易范式，開展教學(xué)設(shè)計(jì)

3.2.1 認(rèn)識(shí)一次函數(shù)的概念

(1) 同學(xué)們，假設(shè)你們排隊(duì)做核酸檢測(cè)，做一個(gè)需要兩分鐘，試寫出你們需要等候的時(shí)間(t)與你們前邊人數(shù)(n)之間的函數(shù)關(guān)系式.t=2n

(2) 假設(shè)教室黑板的周長(zhǎng)為6 m，設(shè)長(zhǎng)為l(cm)，寬為a(cm)，寫出l關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式.l=3-a

(3) 同學(xué)們，假設(shè)你們?nèi)曩I書，書店的政策是交一百塊錢領(lǐng)一張優(yōu)惠卡且100存入優(yōu)惠卡，之后再買書時(shí)就可以享受八折優(yōu)惠，假設(shè)每本課外讀物原價(jià)是200元，試寫出你花費(fèi)的費(fèi)用(y)與購(gòu)買本數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系式.y=200×0.8x.

設(shè)計(jì)意圖：通過三個(gè)與同學(xué)們密切相關(guān)的實(shí)際問題，列出關(guān)系式.利用變易圖式類合的功能，讓學(xué)生總結(jié)歸納出一次函數(shù)的概念.

表2 一次函數(shù)概念變易圖式

3.2.2 正比例函數(shù)y=kx的圖象和性質(zhì)

任務(wù)一：畫正比例函數(shù)y=x的圖象，結(jié)合圖象同桌交流討論歸納函數(shù)的性質(zhì).

設(shè)計(jì)意圖：研究函數(shù)的性質(zhì)最好的方式是結(jié)合具體的圖象，在這個(gè)探索過程中也可以培養(yǎng)同學(xué)們數(shù)形結(jié)合的思想.

圖1

練習(xí)：分別畫出y=2x、y=3x的圖象，并討論函數(shù)圖象的特點(diǎn)，分析函數(shù)的性質(zhì).

設(shè)計(jì)意圖：(1) 學(xué)生畫出函數(shù)y=2x、y=3x的圖象，分析函數(shù)的特點(diǎn)，指出函數(shù)的增減性，與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)函數(shù)圖象的增減情況分析函數(shù)的性質(zhì)，分別討論函數(shù)圖象的特點(diǎn)和性質(zhì)，體現(xiàn)了變易圖式分離的功能；(2) 首先分析3個(gè)函數(shù)解析式的相同和不同之處，然后在同一直角坐標(biāo)系中畫出它們的圖象，分析3個(gè)函數(shù)圖象之間的相同和不同之處，利用變易圖式類合的功能，總結(jié)y=kx(k>0)圖象的特點(diǎn)、函數(shù)的性質(zhì),幫助學(xué)生審辨到y(tǒng)=kx(k>0)中k的含義.

圖2

不變變審辨3個(gè)函數(shù)圖象都是傾斜直線,都是遞增的,都經(jīng)過原點(diǎn)圖象的傾斜程度不一樣直線y=kx(k>0)經(jīng)過一、四象限為遞增的圖象經(jīng)過原點(diǎn)

表4 k值的關(guān)鍵特征

任務(wù)三讓同學(xué)們獨(dú)立畫出y=-x、y=-2x、y=-3x的圖象，并且讓學(xué)生思考解析式有什么相同不同之處？圖象有什么特點(diǎn)？y=kx(k<0)中，k表示什么？等問題.

設(shè)計(jì)意圖：在任務(wù)二中學(xué)生已經(jīng)掌握了一次函數(shù)y=kx(k>0)圖象的特點(diǎn)，接著討論一次函數(shù)y=kx(k<0)圖象的特點(diǎn).通過觀察分析3個(gè)函數(shù)圖象，利用變易圖式類合的功能，總結(jié)一次函數(shù)y=kx(k<0)圖象的特點(diǎn)，根據(jù)圖象特點(diǎn)指出函數(shù)的性質(zhì).同時(shí)對(duì)比3個(gè)函數(shù)圖象，讓同學(xué)們?cè)賹彵娴統(tǒng)=kx(k<0)中k表示什么.

表5 k值的關(guān)鍵特征

完成上邊兩個(gè)任務(wù)后，在類合中歸納出圖象特點(diǎn)和性質(zhì).

表6 正比例函數(shù)y=kx圖象特點(diǎn)和性質(zhì)

3.2.3 一次函數(shù)y=kx+b的圖象和性質(zhì)

任務(wù)一：

讓學(xué)生獨(dú)立畫出一次函數(shù)y=x+5、y=x、y=x-5的圖象，并且思考解析式有什么相同和不同之處？畫出的三條直線有什么關(guān)系對(duì)于一次函數(shù)y=kx+b，k表示什么？b表示什么？

設(shè)計(jì)意圖：首先分析三個(gè)函數(shù)解析式，能夠得到y(tǒng)=kx+b中，k相同，b值不同；然后引導(dǎo)同學(xué)們觀察三條直線互相平行，再引導(dǎo)同學(xué)們觀察出y=x-5、y=x+5的圖象可以由y=x的圖象向上或向下平移5個(gè)單位長(zhǎng)度得到.通過變易圖示的類合功能，幫助學(xué)生審辨到y(tǒng)=kx+b是由y=kx向上或向下平移b個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，同時(shí)讓學(xué)生能夠?qū)彵娴絙值的關(guān)鍵特征，得出b值表示向上或向下平移的單位，再讓學(xué)生結(jié)合以上圖象思考k、b代表什么？也就是把k、b兩個(gè)關(guān)鍵特征對(duì)圖象的影響進(jìn)行了融合，讓學(xué)生清楚一次函數(shù)圖象是由k、b兩個(gè)關(guān)鍵特征共同影響的.

表7 y=kx+b與y=kx

表8 b值的關(guān)鍵特征

數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是讓學(xué)生獲得思維的提升.老師在進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，教學(xué)目標(biāo)不僅要注重知識(shí)與技能等顯性目標(biāo)，還要注重培養(yǎng)學(xué)生思考能力與問題解決的能力等隱性目標(biāo)[7].在課堂上需要選取適當(dāng)?shù)淖円讏D式對(duì)教學(xué)內(nèi)容的關(guān)鍵屬性進(jìn)行變易，然后設(shè)置靈活的練習(xí)題，讓學(xué)生不僅學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)，更要學(xué)會(huì)方法和發(fā)展數(shù)學(xué)思維，實(shí)現(xiàn)高效課堂.