理清問(wèn)題本質(zhì) 探究多種解法
——2022年武漢市中考數(shù)學(xué)第9題的解法探究

高武月

(甘肅省慶陽(yáng)市環(huán)縣第五中學(xué)，甘肅慶陽(yáng)，745700)

1 試題呈現(xiàn)

(2022年武漢市中考數(shù)學(xué)第9題)如圖1，在四邊形材料ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=9 cm，AB=20 cm，BC=24 cm.現(xiàn)用此材料截出一個(gè)面積最大的圓形模板，則此圓的半徑是

圖1

( )

2 試題分析

圖2

3 解法探究

基于以上分析，本題有多種解法.

思路1利用面積法求解

根據(jù)圓的切線的性質(zhì)，圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑.因此，本題可以將經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑作為某些三角形的高線，通過(guò)利用面積法列方程求解.

解法1如圖3，延長(zhǎng)BA，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N.⊙I是△BCN的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，H.連接IE，IF，IH，IN，IB，IC.

圖3

設(shè)⊙I的半徑為r，則IE=IF=IH=r.

由S△NBC=S△IBN+S△IBC+S△ICN，得

故選：B.

點(diǎn)評(píng)：這種解法將圓與直角梯形ABCD某些邊相切問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)切圓問(wèn)題，這是學(xué)生熟悉的幾何模型.通過(guò)圖形轉(zhuǎn)化，建立起了所求量與已知量之間的邏輯關(guān)系，為解決問(wèn)題創(chuàng)造了有利條件.由此可以看出，面積法是解決三角形內(nèi)切圓問(wèn)題的通性通法.

解法2如圖4，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥BC，垂足為G.⊙I與直角梯形ABCD的邊AB，BC，CD分別相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，H.連接IA，IE，IB，IF，IC，IH，ID.延長(zhǎng)FI，交AD于點(diǎn)N.

圖4

易知DG=AB=20，CG=BC-AD=15，由勾股定理，易得CD=25.

設(shè)⊙I的半徑為r，則IN=20-r，IE=IF=IH=r.

由S梯形ABCD=S△IAB+S△IBC+S△ICD+S△IAD，得

故選：B.

點(diǎn)評(píng)：這種解法將直角梯形ABCD分解為四個(gè)三角形，然后利用三角形與梯形的面積關(guān)系列方程求解.利用這種方法求解的關(guān)鍵是用含有r的代數(shù)式表示△IAD的邊AD上的高，顯然IN=NF-IF=DG-r，故需求得直角梯形ABCD的高DG，既而得到IN=20-r.這種解法主要用到了勾股定理和三角形的面積公式，通俗易懂，是一種較為簡(jiǎn)潔的解法.

思路2構(gòu)造相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)和切線的性質(zhì)求解

解法3如圖5，⊙I與直角梯形ABCD的邊AB，BC，CD分別相切，與AB相切于點(diǎn)E，與BC相切于點(diǎn)F，連接IE，IF，IC.過(guò)點(diǎn)D作DG⊥BC，垂足為G.過(guò)點(diǎn)I作HI∥CD，交BC于點(diǎn)H.

圖5

易知DG=AB=20，CG=BC-AD=15，由勾股定理，易得CD=25.

設(shè)⊙I的半徑為r，則IE=IF=BF=r.

由圓的切線的性質(zhì)，易知∠DCI=∠FCI.

由IH∥CD，得∠DCI=∠CIH，所以∠FCI=∠CIH.

故選：B.

點(diǎn)評(píng)：這種解法構(gòu)思巧妙，求解過(guò)程僅用到了相似三角形的判定與性質(zhì)、圓的切線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，所列方程為一元一次方程，求解過(guò)程簡(jiǎn)潔明了，通俗易懂，是一種非常簡(jiǎn)潔的求解方法.

解法4如圖6，⊙I與直角梯形ABCD的邊AB，BC，CD分別相切，與AB相切于點(diǎn)E，與BC相切于點(diǎn)F，連接IE，IF，IC.過(guò)點(diǎn)D作DG⊥BC，垂足為G.過(guò)點(diǎn)D作DH∥IC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H.

圖6

易知DG=AB=20，CG=BC-AD=15，由勾股定理，易得CD=25.

由圓的切線的性質(zhì)，易知∠DCI=∠FCI.

由DH∥IC，得∠DCI=∠CDH，∠FCI=∠H，所以∠CDH=∠H，所以CH=CD=25，所以GH=40.

設(shè)⊙I的半徑為r，則IE=IF=BF=r.

又因?yàn)镕C=BC-BF=24-r，所以2r=24-r，解得r=8.

故選：B.

點(diǎn)評(píng)：這種解法與解法3類(lèi)似，也是利用相似三角形的判定與性質(zhì)、圓的切線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)解決問(wèn)題，其關(guān)鍵是利用兩種不同方法用含有r的代數(shù)式表示線段FC的長(zhǎng)，然后列方程求解，這本質(zhì)上是一種“算兩次”原理.

思路3構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理列方程求解

解法5如圖7，⊙I與直角梯形ABCD的邊AB，BC，CD分別相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，H.連接IE，IF，IH.過(guò)點(diǎn)D作DG⊥BC，垂足為G.延長(zhǎng)EI，交CD于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥BC，垂足為N.

圖7

設(shè)⊙I的半徑為r，則IE=IF=BF=IH=MN=r.

由圓的切線的性質(zhì)，得HC=FC=24-r.

故選：B.

點(diǎn)評(píng)：利用這種方法解決問(wèn)題的關(guān)鍵是構(gòu)造合適的直角三角形，用含有r的代數(shù)式表示直角三角形的三條邊長(zhǎng)，然后利用勾股定理列方程求解.這種解法主要用到了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、圓的切線的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，這是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》規(guī)定的最基礎(chǔ)最核心的知識(shí)，是學(xué)生必須掌握的內(nèi)容.由此可以看出，勾股定理是解決與直角三角形有關(guān)的線段長(zhǎng)度問(wèn)題的基本工具.

解法6如圖8，⊙I與直角梯形ABCD的邊AB，BC，CD分別相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，H.過(guò)點(diǎn)D作DG⊥BC，垂足為G.在⊙I上取點(diǎn)P，使過(guò)點(diǎn)P的切線QM∥BC，QM交AB于點(diǎn)Q，交CD于點(diǎn)M，過(guò)M作MN⊥BC，垂足為N.

圖8

易知DG=AB=20，CG=BC-AD=15，由勾股定理，易得CD=25.

設(shè)⊙I的半徑為r，則BE=BF=PQ=r，CG=CH=24-r，BQ=MN=2r，AQ=20-2r.

故選：B.

點(diǎn)評(píng)：這種解法主要用到了平行線分線段成比例定理、圓的切線的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，與其他解法相比，這種解法運(yùn)算量較大，求解過(guò)程較為繁瑣.

思路4利用解析法求解

解法7如圖9，以直線BC為x軸，以直線AB為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系.⊙I與直角梯形ABCD的邊AB，BC，CD分別相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，H.連接IE，IF，IH，ID.過(guò)點(diǎn)D作DG⊥BC，垂足為G.

圖9

易知DG=AB=20，CG=BC-AD=15，由勾股定理，易得CD=25.

設(shè)⊙I的半徑為r，則IE=BF=IF=IH=r，CH=CF=24-r，DH=1+r.

易知I(r，r)，D(9，20).

在Rt△DHI中，由勾股定理，得DH2+IH2=ID2，即(1+r)2+r2=(9-r)2+(20-r)2，解得r=8.

故選：B.

點(diǎn)評(píng)：利用解析法求解本題的關(guān)鍵是用含有r的代數(shù)式表示△DHI的三條邊長(zhǎng).根據(jù)切線的性質(zhì)易得IH=r，DH=1+r.求線段ID的長(zhǎng)可利用兩點(diǎn)間的距離公式，如果學(xué)生不熟悉兩點(diǎn)間的距離公式，可通過(guò)構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解.由此可以看出，解析法也是解決與線段長(zhǎng)度有關(guān)幾何問(wèn)題的有效工具.

4 結(jié)束語(yǔ)

為準(zhǔn)確把握問(wèn)題本質(zhì)，方便幾何問(wèn)題解決，必須實(shí)現(xiàn)已知量與未知量之間的邏輯關(guān)系外顯化.筆者認(rèn)為，添加輔助線是實(shí)現(xiàn)已知量與未知量之間的邏輯關(guān)系外顯化的有效手段.在解決與線段長(zhǎng)度有關(guān)的幾何計(jì)算問(wèn)題時(shí)，可通過(guò)添加輔助線，構(gòu)造直線三角形、相似三角形、全等三角形或等腰三角形，然后利用這些基本圖形的性質(zhì)求解，必要時(shí)可借助一元一次方程或一元二次方程求解.通過(guò)“一題多解”，不僅可以提高學(xué)生的幾何推理能力，而且可以培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維和創(chuàng)新思維.面積法和解析法是解決與線段長(zhǎng)度有關(guān)的幾何計(jì)算問(wèn)題的重要方法，有時(shí)可起到化繁為簡(jiǎn)，事半功倍的效果.