找準(zhǔn)思維切入點(diǎn)提升學(xué)生多角度解題能力
——以一道中考題為例

肖新娥

(福建省南平市順昌縣第一中學(xué)，福建南平，353299)

在生活中，我們常常會(huì)將一種習(xí)慣性思維、固化性思維的人，稱為“死腦筋”.其實(shí)，這些人主要是沉浸在固定的思維中，思維停留在原地，被自己設(shè)置的思維框架所僵化，不能展開想象、聯(lián)想等，沒有跳躍性思維和發(fā)散性思維，從而鉆在牛角尖里不能自拔，由此可見，培養(yǎng)一個(gè)人的發(fā)散性思維多么重要.所以在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們要讓學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)的思考、進(jìn)行數(shù)學(xué)的思維，這種能力可以使學(xué)生終身受益.發(fā)散思維又叫做求異思維、分散思維、輻射思維等.這種思維是對已知信息進(jìn)行多方向、多角度的思考,不局限于既定的理解,從而提出新問題,探索新知識(shí)或者發(fā)現(xiàn)多種解答和結(jié)果的思維方式.其具有三大特征：變通性(思維靈活、隨機(jī)應(yīng)變)、流暢性(思維敏捷、反應(yīng)迅速)和獨(dú)特性(對問題能提出超乎尋常的、獨(dú)特的、新穎的見解).

美國的心理學(xué)家吉爾福特認(rèn)為：發(fā)散思維“是從給定的信息中產(chǎn)生信息，其著重點(diǎn)是從同一的來源中產(chǎn)生各種各樣的為數(shù)眾多的輸出，可能會(huì)發(fā)出轉(zhuǎn)換作用”，事實(shí)上發(fā)散思維就是將已知的信息從不同層面進(jìn)行分析，從多個(gè)角度對問題加以比較探索，對知識(shí)的脈絡(luò)縱橫聯(lián)系，順向逆向比較，達(dá)到“信手拈來，呼之即出”的程度.這樣的思維方式，能讓學(xué)生對所學(xué)知識(shí)達(dá)到深度理解，對數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法進(jìn)行建構(gòu)感悟，增強(qiáng)了數(shù)學(xué)思維的開闊深刻和靈活創(chuàng)新，從而培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，讓大腦遇到問題能夠靈活思考，從而事半而功倍.

那么如何培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成發(fā)散性思維的習(xí)慣呢？在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中要學(xué)會(huì)多角度地思考問題，將所遇未知的難題轉(zhuǎn)化為已知的，復(fù)雜的難題轉(zhuǎn)化為簡單的，抽象的難題轉(zhuǎn)化為直觀的，一般向特殊轉(zhuǎn)化，正面向反面轉(zhuǎn)化等，通過更多不同思維方式之間的相互轉(zhuǎn)化，拓寬思維空間的廣度與深度，從而尋求到解決問題的最優(yōu)途徑.發(fā)散性思維的習(xí)慣培養(yǎng)中，一題多解是通向這個(gè)終極目的地的一種方法.一題多解，可以使得學(xué)生從不同的角度和不同的方位，觀察分析題目中的數(shù)量關(guān)系，根據(jù)題目的實(shí)際條件，首先確定思維的起點(diǎn)，繼而沿著不同的思考方向?qū)ほ櫼捽E，就能找到不同的解題方法.下面我們以一道中考題為例來展開探討.

每年度的中考題中，試卷的最后一題一般稱之為壓軸題，這類題分?jǐn)?shù)占比大，難度也比較大，主要是考驗(yàn)學(xué)生的綜合應(yīng)用知識(shí)和解決問題的能力，也是學(xué)生得分高低的關(guān)鍵之題.而壓軸題中又尤以最后一問最難，但其難度也不是難不可及、高不可攀，我們要克服恐懼心理，層層剝繭絲絲入扣，因?yàn)閴狠S題都是由一些小題模塊組合起來的，從每個(gè)小題模塊條件入手，聯(lián)系相關(guān)所學(xué)知識(shí)點(diǎn)，是可以找到解題思路的.

解題必須根據(jù)題目所給的信息，充分運(yùn)用條件，明確目標(biāo)，才能找到解題的方向.題目的條件和目標(biāo)之間存在著一系列必然聯(lián)系，這些聯(lián)系是由條件通往目標(biāo)的橋梁，用這些聯(lián)系解題需根據(jù)聯(lián)系所遵循的數(shù)學(xué)原理決定.有些題目的匹配關(guān)系有多種，這也是其可以一題多解的原因.解題時(shí)應(yīng)在理解題意的基礎(chǔ)上，找準(zhǔn)條件與目標(biāo)所遵循的數(shù)學(xué)原理，確定解題方案，尋找有效解題方法.

例(14分)(2014·南通)如圖1，拋物線y=-x2+2x+3與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C，頂點(diǎn)為D，拋物線的對稱軸DF與BC相交于點(diǎn)E，與x軸相交于點(diǎn)F．

圖1

(1) 求線段DE的長；

(2) 設(shè)過E的直線與拋物線相交于M(x1，y1)，N(x2，y2)，試判斷當(dāng)|x1-x2|的值最小時(shí)，直線MN與x軸的位置關(guān)系，并說明理由；

(3) 設(shè)P為x軸上的一點(diǎn)，∠DAO+∠DPO=∠α，當(dāng)tan∠α=4時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

分析：本題(1)(2)兩問考查了待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的交點(diǎn)、頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸；一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.

(1) 根據(jù)拋物線的解析式即可求得與坐標(biāo)軸的坐標(biāo)及頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求得直線BC的解析式，把對稱軸代入直線BC的解析式即可求得；

解：(1) 由拋物線y=-x2+2x+3可知，C(0，3)，

令y=0，則-x2+2x+3=0，解得：x1=-1，x2=3，

∴A(-1,0),B(3, 0)，

∴頂點(diǎn)x=1，y=4，即D(1，4)，

∴DF=4.

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，代入B(3，0)，C(0，3)得：

∴解析式為：y=-x+3，

當(dāng)x=1時(shí)，y=-1+3=2，

∴E(1, 2),

∴EF=2,

∴DE=DF-EF=4-2=2.

(2) 設(shè)直線MN的解析式為y=kx+b，

∵E(1,2)，

∴2=k+b,

∴k=2-b,

∴直線MN的解析式y(tǒng)=(2-b)x+b，

整理得：x2-bx+b-3=0，

∴x1+x2=b，x1x2=b-3，

∵b=2時(shí)，y=(2-b)x+b=2，

∴直線MN∥x軸.

當(dāng)遇到壓軸題中的問題時(shí)，我們首先要想到的是，解決幾何問題時(shí)有一個(gè)“基本套路”：首先要認(rèn)真分析條件，而分析條件就是將條件與相關(guān)“基本圖形”結(jié)合起來，利用“基本圖形”的性質(zhì)，獲得相應(yīng)的結(jié)論.有時(shí)圖形中不一定有與條件匹配的“基本圖形”，那么就要去構(gòu)造能與之取得聯(lián)系的圖形，方能找到解決問題的鑰匙.

(3) 本題的切入點(diǎn)是添加輔助線，目的是構(gòu)造相似三角形，解題策略是證三角形相似，通過相似比求線段長度.由最初的角的關(guān)系、正切值的關(guān)系到最后的求線段長度，可謂是質(zhì)的飛躍，打開了解題思路，突破認(rèn)識(shí)上的封閉.

解法一：

【信息讀取】

∠DAO+∠DPO即∠DAP+∠DPO,考慮到△ADP中，三角形一個(gè)外角等于不相鄰的兩內(nèi)角和，∠DAP+∠DPO=∠HDP=∠α, tan∠α= tan∠HDP=4.

【問題解決一】

∵∠AHP=∠AFD=90°，∠HAP=∠FAD，

Rt△AHP中，由勾股定理得AP=20,OP=19,

則點(diǎn)P坐標(biāo)為(19，0).

圖2

解法二：

【信息讀取】從正切值4入手尋求線索.

【問題解決二】

如圖3，∵D(1，4)，

圖3

∴tan∠DOF=4，

又∵tan∠α=4，

∴∠DOF=∠α，

∵∠DOF=∠DAO+∠ADO，

∵∠DAO+∠DPO=∠α，

∴∠DPO=∠ADO，

∴△ADP∽△AOD，

∴AD2=AO·AP，

Rt△AFD中AF=2，DF=4，由勾股定理得AD2=AF2+DF2=20，

又∵AO=1，

∴AP=20，即OP=19，

∴P(19，0)．

解法三：

【信息讀取】

∠DAO+∠DPO=∠α， tan∠α=4，由題意可求得tan∠DAO=2，又tan∠α=4，那tan∠DPO等于多少呢？能否求tan∠DPO？如果tan∠DPO的值能求出，問題就變得簡單多了.如果從這個(gè)問題考慮就要用到“兩角和的正切公式”.

【問題解決三】

兩角和的正切公式是高中階段所學(xué)內(nèi)容，這里介紹一下公式，∠A的正切記為tanA,∠B的正切記為 tanB,(∠A+∠B)的正切記為tan(A+B)，則它們之間有以下關(guān)系：

圖4

中學(xué)生有時(shí)候往往憑直覺經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行判斷，他們會(huì)被事物的表象所迷惑，造成片面的、膚淺的感悟，不能從多方面分析問題，抓住事物的本質(zhì)和解決問題的關(guān)鍵.中學(xué)生的年齡和心理特征使他們不能有目的、有條理地去思維，但同時(shí)他們的思維也沒有桎梏，可以天馬行空地想到老師所想不到的，發(fā)現(xiàn)老師所未能發(fā)現(xiàn)的.可見，中學(xué)生的數(shù)學(xué)思維雖具有不成熟性，但同時(shí)又具有可訓(xùn)練性，因此老師教學(xué)時(shí)要因勢利導(dǎo)，才能讓學(xué)生提高自己的思維層次，不固化思想，讓思維得到發(fā)散與創(chuàng)新.

由于思考的角度和方向不同，讓學(xué)生在解決問題的同時(shí)，又加強(qiáng)了對知識(shí)網(wǎng)點(diǎn)之間的多點(diǎn)銜接，多項(xiàng)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)在銜接中延伸擴(kuò)充，多條數(shù)學(xué)規(guī)律在理解記憶中加深，多項(xiàng)解題技能在應(yīng)用中生出技巧，久而久之的通過一段時(shí)間的他人培訓(xùn)，就能形成自我的訓(xùn)練和熟練.掌握一題多解的方法，還能從各種不同類型的題目中尋求出簡單快捷的解法，這種思維方式和思考模型，能夠有效地拓寬學(xué)生的解題思路，提高學(xué)生面對陌生和未知問題的分析能力.這種多角度思維切入點(diǎn)的抓取，需要我們老師在平時(shí)的教學(xué)過程中，通過聯(lián)想、設(shè)想、類比、擴(kuò)展，變化題目，讓題目變身變形，從而得到一系列新的題目，甚至能得到具有一般代表性的結(jié)論，把學(xué)生從已知的此岸過渡到未知的彼岸.在如今“雙減”的形勢下，找準(zhǔn)思維切入點(diǎn)，讓學(xué)生多角度解題，能使得學(xué)生跳出題海，這不僅減輕了學(xué)生的課業(yè)負(fù)擔(dān)，也減輕了老師的出題批改等一系列負(fù)擔(dān).