函數(shù)與方程思想在線性規(guī)劃中的應用研究

房鵬飛

(安徽省阜南實驗中學，安徽阜陽，23600)

1 函數(shù)與方程在數(shù)學教學中的滲透

關(guān)于函數(shù)與方程思想方法在數(shù)學教學中的滲透，教師不但要考慮學生樂于接受的滲透方式，還需要將其與各階段的教學目標、教學難度結(jié)合起來，設計好函數(shù)與方程在數(shù)學教學中的滲透深度.為了幫助學生構(gòu)建協(xié)同的函數(shù)與方程思想，教師應該注重該思想在教學工作中螺旋上升式、循環(huán)漸進式的滲透與應用.

以必修1中解方程的教學為例，在求解方程根時，可借助函數(shù)圖象與軸相交情況，以此將解方程轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)零點求解的問題；以必修5數(shù)列教學為例，在求解等差數(shù)列問題時，可借助其與特殊函數(shù)之間的關(guān)系來講等差數(shù)列求解轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)求解的問題.再以線性規(guī)劃問題的教學為例，可將其轉(zhuǎn)變?yōu)橐欢尚杏騼?nèi)目標函數(shù)求解的問題.在求解更多方程式問題時，教師可利用函數(shù)與方程思想方法，將這些方程式轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)問題，繼而加強方程與函數(shù)之間的聯(lián)系，讓學生找到不同知識點的關(guān)聯(lián)點，以此在函數(shù)的可行域內(nèi)去求解函數(shù).

2 線性規(guī)劃實際教學案例分析

2.1 線性規(guī)劃中教學難點分析

在線性規(guī)劃教學中，對于大多數(shù)學生而言，求解最優(yōu)解是一個重難點問題.一些學生不懂最優(yōu)解在幾何上的意義，另一些學生則不能求解最優(yōu)解.對此，在教學過程中，教師可借助GeoGebra這一多媒體數(shù)學教學軟件，以動態(tài)的方式為學生呈現(xiàn)線性函數(shù)，讓學生利用數(shù)形結(jié)合思想，了解線性規(guī)劃中最優(yōu)解的幾何意義，并提升其分析問題與解決問題的水平.

2.2 學情分析

通過一段時間的學習之后，學生對不等式求解、不等關(guān)系等問題已經(jīng)有所了解，這為后續(xù)的建模教學搭建了一定的基礎.圍繞“利用不等式關(guān)系解決線性規(guī)劃問題”的教學內(nèi)容，教師可先引導學生對已學的不等式問題進行回憶，再讓學生探究不等式在線性規(guī)劃中的應用價值，并在不等式與線性規(guī)劃問題之間增加建模思維，讓學生借助建模的思想來解決線性規(guī)劃問題.

2.3 例題解析

銀行希望通過為客戶提供個人、企業(yè)信用貸款來獲得收益，而一家銀行計劃投入的個人、企業(yè)信用貸款總額為2 500萬元，希望借此實現(xiàn)的收益為3萬元.如果該銀行通過企業(yè)貸款的發(fā)放來獲得收益的比例為12%，通過個人貸款的發(fā)放來獲得收益的比例為10%.對此，銀行怎樣分配其資金才能實現(xiàn)該盈利計劃？

教師通過情境教學引出學生設立方程組，繼而應用類比法引導學生學會解法，如以函數(shù)x-y=6作為邊界劃分出的兩個區(qū)域，將區(qū)域賦予其不等式的意義.

圖1 劃分區(qū)域邊界

對于此類問題的求解，教師可先應用GeoGebra這一多媒體數(shù)學教學軟件，并遵循“畫、移、求、答”的基本解題步驟，為學生指出不等式代表的區(qū)域、交集可行域，繼而為學生講解不等式在函數(shù)中的幾何意義，通過滑動畫面中的滑動托條來尋找線性規(guī)劃的最優(yōu)解，以此解決此類問題.學生在教師的引導下，也可自行識別出函數(shù)的可行域，并拖動托條來確立線性函數(shù)最優(yōu)解.

2.4 通過多媒體工具歸納鞏固強化運用

圖2 目標函數(shù)動畫模型

3 函數(shù)與方程思想在教學中的應用總結(jié)

3.1 通過認真審題了解問題隱含條件

在運用函數(shù)與方程思想解決方程問題時，教師應該讓學生認真審題，通過審題來把握題目中的隱形條件，從而圍繞題目給出的已知條件來搭建解題思路與方法.

例如：已知函數(shù)f(x)=xlog2x，g(x)=ax2-x(a∈R)，求f(x)≤g(x)恒成立的實數(shù)取值范圍.此題的關(guān)鍵在于將函數(shù)之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖象之間的關(guān)系，要想f(x)0，因為(如圖3)對數(shù)函數(shù)圖象x取值范圍始終大于0，如果學生沒有意識到隱含條件，就無法判斷a的取值，因此在解題時，要充分挖掘隱含條件并將其轉(zhuǎn)化利用.

圖3 對數(shù)函數(shù)圖象

3.2 通過研究解題思路設立函數(shù)模型

認真解讀題目后，學生進一步明晰了題目的條件與所要求解的問題，繼而需要進一步尋找解題思路.這一過程中，教師可引導學生小組討論，通過討論的方式來探究題目中已知量和所要求解未知量之間的聯(lián)系，基于一定的函數(shù)關(guān)系、函數(shù)原理，借助函數(shù)與方程思想為問題設立函數(shù)模型，并找到解題思路.如不等式解集條件借助零點存在性定理轉(zhuǎn)化為方程在固定區(qū)間內(nèi)求x1，x2根的問題，充分借助函數(shù)模型解決問題.

3.3 利用多重思想實現(xiàn)解決問題

通過審題、解題思路的尋找，繼而需要學生結(jié)合其他的數(shù)學思想方法如建模、分類討論等將題目中已知條件與未知條件聯(lián)合起來，應用方程不等式等相關(guān)知識原理，借助函數(shù)與方程的思想，將方程式求解的問題轉(zhuǎn)化為可行域內(nèi)函數(shù)求解的問題，由此實現(xiàn)解題計劃.

通過對題目假設條件的檢驗、解題過程的歸納總結(jié)，以此強化與提升學生對此類問題的求解能力，并讓學生更為熟練地應用函數(shù)與方程思想方法.

3.4 教學總結(jié)

對于函數(shù)與方程思想方法的總結(jié)，教師不但要結(jié)合具體的知識問題來講解函數(shù)與方程思想方法應用范圍、重要性，而且應針對類似的題型，提煉與總結(jié)函數(shù)與方程思想方法的內(nèi)在規(guī)律.在課堂總結(jié)、復習階段，教師可基于橫向、縱向兩個角度來強調(diào)與重申函數(shù)與方程思想方法的應用，為了深化該方法在學生實際解題中的應用效果，教師需要本著一定的教學目標，結(jié)合具體的方程、函數(shù)知識來揭示函數(shù)與方程思想的本質(zhì).同時，在應用函數(shù)與方程思想方法解題時，教師需要結(jié)合該思想分散性、層次性的基本特征，堅持螺旋上升式、循環(huán)漸進式的應用原則.在一段教學時間之后，尤其是在每個章節(jié)結(jié)束之后，教師應重新整理各個章節(jié)分散的知識點，并認真為學生梳理函數(shù)與方程思想方法的應用情形，讓學生對函數(shù)與方程思想方法的應用規(guī)律、情形有良好的認知，加深其對函數(shù)與方程思想方法的印象.