折線數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題探究

張 哲

(蘇州工業(yè)園區(qū)星海實(shí)驗(yàn)中學(xué)，江蘇蘇州，215000)

以數(shù)軸為載體的動(dòng)點(diǎn)問題，對(duì)于剛升入初中的學(xué)生來說，是重難點(diǎn)問題.由于涉及復(fù)雜的行程問題和方程問題，綜合性較強(qiáng)，因此對(duì)學(xué)生綜合分析問題和解決問題的要求比較高.折線數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題又是對(duì)數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題的進(jìn)一步加深和拓展，動(dòng)點(diǎn)從勻速運(yùn)動(dòng)變成了變速運(yùn)動(dòng)，在各個(gè)路段的計(jì)算變得復(fù)雜，難度進(jìn)一步加大.為了讓學(xué)生們熟練掌握折線數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題，深入了解動(dòng)點(diǎn)在折線數(shù)軸上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律和動(dòng)點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)變化的全過程以及尋求它們的等量關(guān)系，下面以一道折線數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題及其變式為例剖析這類問題的解法和技巧.

1 典型案例呈現(xiàn)

例題如圖，將一條數(shù)軸在原點(diǎn)O和點(diǎn)B處各折一下，得到一條“折線數(shù)軸”.圖中點(diǎn)A表示-10，點(diǎn)B表示10，點(diǎn)C表示18，我們稱點(diǎn)A和點(diǎn)C在數(shù)軸上相距28個(gè)長度單位.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著“水平路線”射線OA向正方向運(yùn)動(dòng)，速度為2個(gè)單位/秒，“上坡路段”從O到B速度變?yōu)椤八铰肪€”速度的一半，之后立刻恢復(fù)原速;動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以1單位/秒的速度沿著“水平路線”射線BC向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，從“下坡路段”點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O期間速度變?yōu)椤八铰肪€”速度的2倍，之后也立刻恢復(fù)原速.設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.問：

(1) 動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至C點(diǎn)需要多少時(shí)間？

(2)P、Q兩點(diǎn)相遇時(shí)，求出相遇點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的數(shù)是多少；

(3) 求當(dāng)t為何值時(shí)，P、O兩點(diǎn)在數(shù)軸上相距的長度與Q、B兩點(diǎn)在數(shù)軸上相距的長度相等.

在解決該問題之前，我們需要明確幾個(gè)基本概念及知識(shí)點(diǎn).

我們知道數(shù)軸是規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長度的直線.三個(gè)要素缺一不可.

折線數(shù)軸只是在其基礎(chǔ)上折了一下，因此同樣具備這三個(gè)要素.

不妨將其定義為折線數(shù)軸是規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長度的折線.

2 折線數(shù)軸相關(guān)知識(shí)

(1) 折線數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離.用兩點(diǎn)所表示的數(shù)差的絕對(duì)值表示，如數(shù)軸上點(diǎn)A，B所表示的數(shù)是A，B，則AB=|A-B| 或|B-A|.

(2) 如圖，規(guī)定水平路線為射線OA，BC，上坡路線為向量OB，下坡路線為向量BO.同一個(gè)動(dòng)點(diǎn)在這三個(gè)路段的運(yùn)動(dòng)速度的關(guān)系為v上坡

(3) 規(guī)定向右為正方向，并將向右運(yùn)動(dòng)的速度看作正速度，而向左為負(fù)方向，并將向左運(yùn)動(dòng)的速度看作負(fù)速度.

(4) 折線數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)表示法.用代數(shù)式來表示，就是起點(diǎn)所表示的數(shù)加上或減去動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的距離，向正方向?yàn)榧?，?fù)方向?yàn)闇p，如，數(shù)軸上點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)為-2，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒4個(gè)單位長度的速度向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間是t，則點(diǎn)P所表示的數(shù)是-2+4t.若以每秒4個(gè)單位長度的速度向左運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t，則點(diǎn)P所表示的數(shù)是-2-4t.

3 折線數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題的解題步驟和方法

(1) 明確不動(dòng)的點(diǎn)坐標(biāo)，動(dòng)點(diǎn)的起點(diǎn)坐標(biāo)及其動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向及速度，并表示出水平路段，上下坡路段的距離；(2) 用含有時(shí)間t的代數(shù)式表示動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程；(3) 尋求等量關(guān)系，列出方程.判斷是否需要分類討論，如果存在多種情況，逐一繪制圖形，尋求各自的等量關(guān)系，列出方程求解；(4) 根據(jù)實(shí)際情況來檢驗(yàn)方程的解.

下面結(jié)合折線數(shù)軸的知識(shí)、解題步驟和方法來解決例題.

解析：(1) 動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至C分成三段，分別為AO、OB、BC，

AO段時(shí)間為5 s，OB段時(shí)間為10 s，BC段時(shí)間為4 s，

∴動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至C點(diǎn)需要時(shí)間為5+10+4=19(秒).

(2) 易知P、Q兩點(diǎn)在OB上相遇.

方法一：根據(jù)相遇時(shí)所走的總路程等于全程列等量關(guān)系式.

方法二：根據(jù)相遇時(shí)所走的時(shí)間相等列等量關(guān)系式.

方法三：根據(jù)點(diǎn)P、點(diǎn)Q在OB段運(yùn)動(dòng)的總路程等于10列等量關(guān)系式.

(3) 已知|PO|=|QB|，其中O、B為定點(diǎn)，P、Q為動(dòng)點(diǎn)，

方法一：以點(diǎn)P、點(diǎn)Q在各路段運(yùn)動(dòng)的拐點(diǎn)時(shí)間來分類.

① 當(dāng)O

10-2t=8-t，解得t=2；

② 當(dāng)5≤t<8，點(diǎn)P在OB上，點(diǎn)Q在CB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，

③ 當(dāng)8≤t<13，P在OB上，Q在OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，

t-5=2(t-8)，解得t=11；

④ 當(dāng)13≤t<15時(shí)，P在OB上，Q在OA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，

t-5=t-8-5+10，t無解；

⑤ 當(dāng)15≤t<19時(shí)，P在BC上，Q在OA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，

2(t-5-10)+10=t-8-5+10，解得t=17；

⑥ 當(dāng)t>19，P在C的右側(cè)，Q在OA或A的左側(cè)上運(yùn)動(dòng)時(shí)，

2(t-5-10)+10=t-8-5+10，解得t=17；不符合要求，

方法二：分析點(diǎn)P、點(diǎn)Q在各個(gè)路段的運(yùn)動(dòng)路程可以分四種情況討論.

① 當(dāng)點(diǎn)P在AO，點(diǎn)Q在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，依題意得：

10-2t=8-t，解得t=2；

② 當(dāng)P在OB上，Q在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，

③ 當(dāng)點(diǎn)P、Q兩點(diǎn)都在OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，

t-5=2(t-8)，解得t=11；

④ 當(dāng)P在BC上，Q在OA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，

t-8-5+10=2(t-5-10)+10，解得t=17.

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于折線數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題，首先要弄清楚各個(gè)點(diǎn)的整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程，由于變速運(yùn)動(dòng)各段速度不同，在計(jì)算路程時(shí)必須分路段討論.本題第二問是相遇問題，根據(jù)相遇時(shí)兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間相等或是兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程和等于總路程，或是折線數(shù)軸上的部分路段的關(guān)系找到了三種等量關(guān)系來列方程.第三問的難點(diǎn)在于如何分類討論，同樣以兩種方法來解決，第一種是以時(shí)間為節(jié)點(diǎn)，根據(jù)某段時(shí)間點(diǎn)P、點(diǎn)Q在AO、OB、BC的位置求出相應(yīng)的距離，這樣的分類討論不重不漏，條理清晰；第二種方法是經(jīng)過初步的分析，得出可能出現(xiàn)的點(diǎn)P、點(diǎn)Q的位置求出相應(yīng)的距離，解答過程更簡潔.

進(jìn)一步變式思考：對(duì)于一道動(dòng)點(diǎn)問題的探究，我們不能只停留在多種方法的解決上，還要對(duì)題目所給條件和結(jié)論進(jìn)行深度思考.對(duì)題目進(jìn)行變式再解決，形成折線數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)問題的解決通法.

如果把P、Q兩點(diǎn)分別到兩定點(diǎn)的距離相等變?yōu)榈酵欢c(diǎn)的距離相同，把相遇問題變成追及問題，我們可以得到變式1.

變式1如圖，數(shù)軸上，點(diǎn)A表示的數(shù)為-7，點(diǎn)B表示的數(shù)為-1，點(diǎn)C表示的數(shù)為9，點(diǎn)D表示的數(shù)為13，在點(diǎn)B和點(diǎn)C處各折一下，得到條“折線數(shù)軸”，我們稱點(diǎn)A和點(diǎn)D在數(shù)上相距2O個(gè)長度單位，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著“折線數(shù)軸”的正方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，沿著“折線數(shù)軸”的負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，它們在“水平路線”射線BA和射線CD上的運(yùn)動(dòng)速度相同均為2個(gè)單位/秒，“上坡路段”從B到C速度變?yōu)椤八铰肪€”速度的一半，“下坡路段”從C到B速度變?yōu)椤八铰肪€”速度的2倍.設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，問：

(1) 動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至D點(diǎn)需要時(shí)間為秒；

(2)P、Q兩點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離相同時(shí)，求出動(dòng)點(diǎn)P在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的數(shù)；

(3) 當(dāng)Q點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)A后，立即調(diào)頭加速去追P，“水平路線”和“上坡路段”的速度均提高了1個(gè)單位/秒，當(dāng)點(diǎn)Q追上點(diǎn)P時(shí)，直接寫出它們在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù).

解析：(1) 動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D所需時(shí)間為15秒.

(2) 已知|PO|=|QO|，

方法一：以點(diǎn)P、點(diǎn)Q在各路段運(yùn)動(dòng)的拐點(diǎn)時(shí)間來分類.

① 當(dāng)點(diǎn)P在AB，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D前，0≤t<2時(shí)，7-2t=13-2t，t無解

② 當(dāng)點(diǎn)P在AB，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O前，2≤t<3時(shí)，7-2t=13-4-4(t-2)，t=5，不符合.

④ 當(dāng)點(diǎn)P在OC，點(diǎn)Q在BA或A左側(cè)時(shí)，4.5≤t<13時(shí)，6+(t-3)-7=4+10+2(t-4.5)-13，t=4不符合.

⑤ 當(dāng)點(diǎn)P在CD或D右側(cè)，點(diǎn)Q在BA或A左側(cè)時(shí)，t>13時(shí)，6+10+2(t-13)=4+10+2(t-4.5)-13，t無解.

方法二：仍可以按照分析點(diǎn)P、點(diǎn)Q在各段的路程來計(jì)算.由于篇幅所限省略.

(3) 點(diǎn)P、點(diǎn)Q先是相向而行，點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)A返回過程是同向而行，成了追及問題.當(dāng)Q追上P時(shí)，|PO|=|BO|.點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)A所需時(shí)間為7.5秒，此時(shí)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為10.5，到達(dá)的點(diǎn)是3.5，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C所需時(shí)間為13秒，此時(shí)點(diǎn)Q到達(dá)的點(diǎn)是6，故點(diǎn)Q在CD上追上點(diǎn)P，此時(shí)P運(yùn)動(dòng)的路程為6+10+(t-3-10)×2=2t-10，故PO=2t-17，Q運(yùn)動(dòng)的路程為20+6+10+(t-7.5-2-5)×3=3t-7.5，QO=3t-7.5-20-7=3t-34.5，2t-17=3t-34.5，解得t=17.5，

此時(shí)點(diǎn)P表示的數(shù)為18，點(diǎn)Q表示的數(shù)為18.

如果讓定點(diǎn)的值是未知數(shù)，P、Q兩動(dòng)點(diǎn)的距離是定值，我們可以得到變式2.

變式2如圖，將一條數(shù)軸在原點(diǎn)O和點(diǎn)B處各折一下，得到一條“折線數(shù)軸”，圖中點(diǎn)A表示-20，點(diǎn)B表示m，點(diǎn)C表示40，我們稱點(diǎn)A和點(diǎn)C在數(shù)軸上相距60個(gè)長度單位，用式子表示為AC=60，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2單位/秒的速度沿著“折線數(shù)軸”的正方向運(yùn)動(dòng)，從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B期間速度變?yōu)樵瓉淼囊话?，運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)停止；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以1單位/秒的速度沿著數(shù)軸的負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O期間速度變?yōu)樵瓉淼膬杀?，之后立刻恢?fù)原速，當(dāng)P停止運(yùn)動(dòng)后，Q也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，問：

(1)BC=(用含m的式子表示);

(2) 若P、Q兩點(diǎn)在數(shù)軸上點(diǎn)O至點(diǎn)B之間的D點(diǎn)相遇，D點(diǎn)表示10，求m;

(3) 在(2)的條件下，當(dāng)PQ=40時(shí)，求t.

解析：(略)

數(shù)軸是數(shù)學(xué)解題的有力工具，而數(shù)軸上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)問題體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的有機(jī)結(jié)合.對(duì)于折線數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題，我們要化動(dòng)為靜，找到動(dòng)點(diǎn)滿足條件的靜止位置.一般有兩種解題思路.一種是根據(jù)“形”的關(guān)系來分析尋找等量關(guān)系.如例1、變式1中的第二、三兩問都是根據(jù)點(diǎn)之間的行程路程，利用行程的路程差的數(shù)量關(guān)系列方程求解；另一種是從“數(shù)”的方面尋找等量關(guān)系，如變式2的第三問就是利用各動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸上內(nèi)在關(guān)系進(jìn)行列方程求解.

4 結(jié)束語

在教學(xué)中，為了方便學(xué)生理解和掌握，教師首先要采用拐點(diǎn)時(shí)間來分類，借助數(shù)軸將動(dòng)點(diǎn)在各個(gè)路段的時(shí)間算出來，再以時(shí)間來分類，確定點(diǎn)的坐標(biāo)或是運(yùn)動(dòng)路程.在學(xué)生熟練掌握這一方法后，再嘗試直接分析動(dòng)點(diǎn)在數(shù)軸的可能位置來分類.分析的過程中，畫出對(duì)應(yīng)的圖形，根據(jù)所畫的圖形，結(jié)合題目所給條件分析，利用方程求解得到的結(jié)果.這正是“數(shù)形合一”的精彩體現(xiàn).

總之，關(guān)于折線數(shù)軸上的問題，雖然題目形式多樣，但是萬變不離其宗，教師要引導(dǎo)學(xué)生回歸基礎(chǔ)，把握好“數(shù)軸”這一本質(zhì)，總結(jié)解題方法，注重通性通法，形成解題能力.