剖析初中數(shù)學(xué)圖形旋轉(zhuǎn)問題的幾種方法

田佩佩

(泰州市胡莊初級(jí)中學(xué)，江蘇泰州，225300)

圖形旋轉(zhuǎn)問題一直是初中數(shù)學(xué)課程教學(xué)的重要內(nèi)容，也一直是困擾多數(shù)學(xué)生的難題，特別是圖形旋轉(zhuǎn)后位置的確定問題，使得不少學(xué)生陷入困境.在圖形旋轉(zhuǎn)問題的教學(xué)中，不少教師樂于繪圖軟件直接旋轉(zhuǎn)獲得最終圖形，無形中降低學(xué)生的作圖要求；不少學(xué)生總是采取“猜測(cè)”的方法來繪制旋轉(zhuǎn)后的草圖，但是對(duì)“猜測(cè)”結(jié)果圖形中各個(gè)表征量之間的關(guān)系總是難以把握，一度使得難題無法解決，這是初中數(shù)學(xué)“圖形旋轉(zhuǎn)問題”中的一種常態(tài)現(xiàn)象，本文基于這種現(xiàn)狀，從圖形旋轉(zhuǎn)的實(shí)質(zhì)視角出發(fā)，借助于典型案例，探討解決圖形旋轉(zhuǎn)問題的具體方法，希望能給教育同仁帶來一些幫助和參照.

1 圖形旋轉(zhuǎn)問題的本質(zhì)呈現(xiàn)

在某一平面內(nèi)△ABC繞著其外部一點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ角度后記為△A′B′C′，此旋轉(zhuǎn)過程的本質(zhì)可以看成：A、B、C均以O(shè)點(diǎn)為圓心同時(shí)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ角度后連接三點(diǎn)構(gòu)成三角形△A′B′C′，如圖1所示，則該圖形旋轉(zhuǎn)問題中存在的規(guī)律如下：

圖1

規(guī)律1：旋轉(zhuǎn)前后相關(guān)點(diǎn)與中心之間的距離相等.(OA=OA′、OB=OB′、OC=OC′)

規(guī)律2：旋轉(zhuǎn)過程中各個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與中心連線的角度均等于旋轉(zhuǎn)角度θ(∠AOA′=∠BOB′=∠COC′=θ)

規(guī)律3：旋轉(zhuǎn)前后三角形的三條對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)和角度相等.(AB=A′B′、BC=B′C′、AC=A′C′、∠A=∠A′、∠B=∠B′、∠C=∠C′)

規(guī)律4：旋轉(zhuǎn)過程遵循可逆性特征，△ABC以O(shè)點(diǎn)為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ變?yōu)椤鰽′B′C′，同樣△A′B′C′以O(shè)點(diǎn)為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ變?yōu)椤鰽BC.

規(guī)律5：旋轉(zhuǎn)前后中心點(diǎn)O至對(duì)應(yīng)線段之間的距離相等為d，三角形對(duì)應(yīng)邊與以O(shè)點(diǎn)為圓心，d為半徑的圓相切.

證明：根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的規(guī)律可知，OA=OA′，OB=OB′，AB=A′B′則△AOB≌△A′OB′即∠OBA=∠OB′A′，在直角△BOH和△B′OH′中，OB=OB′、∠OBH=∠OB′H′、∠OHB=∠OH′B′則△BOH≌△B′OH′即OH=OH′.

數(shù)學(xué)教師引導(dǎo)學(xué)生分析圖形旋轉(zhuǎn)問題中的規(guī)律時(shí)，學(xué)生在與教師互動(dòng)的過程中進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到旋轉(zhuǎn)圖形的本質(zhì)規(guī)律，有助于學(xué)生主動(dòng)分析問題、探究解決問題的思路與方法，進(jìn)而不斷積累解題經(jīng)驗(yàn)與技巧，真正理解圖形旋轉(zhuǎn)問題的規(guī)律和本質(zhì).

2 多元視角破解圖形旋轉(zhuǎn)難題

例題1如圖2所示的等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=8，現(xiàn)將△ABC以C點(diǎn)為中心旋轉(zhuǎn)一定角度，△ABC中A、B兩點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后分別記為A′和B′，其中，點(diǎn)B′在線段AA′的延長(zhǎng)線上，試求線段AA′的長(zhǎng)度.

圖2

剖析：本題中△ABC以C點(diǎn)為中心旋轉(zhuǎn)一定角度后，學(xué)生無法直接確定A′和B′的位置，根據(jù)題意可知，B′點(diǎn)與A和A′三點(diǎn)共線，圖形旋轉(zhuǎn)中無法直接確定旋轉(zhuǎn)后的圖形位置，數(shù)學(xué)教師可以引導(dǎo)學(xué)生借助于草圖的繪制探尋各個(gè)量之間的關(guān)系，最終找到解決問題的方法.

圖3

點(diǎn)評(píng)：圖形旋轉(zhuǎn)問題一直是初中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，主要是學(xué)生難以理解旋轉(zhuǎn)前后各個(gè)量之間的確定關(guān)系.從教學(xué)實(shí)踐來看，引導(dǎo)學(xué)生正確地畫出運(yùn)動(dòng)草圖，可以幫助學(xué)生洞悉旋轉(zhuǎn)過程中的規(guī)律與特征，有助于圖形旋轉(zhuǎn)難題的解決.

解法2根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)規(guī)律可知，旋轉(zhuǎn)圖形△ABC在繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過程中，直線AB與C點(diǎn)之間的垂直距離為定值，如圖4所示，過旋轉(zhuǎn)中心點(diǎn)C作CD⊥BA交BA延長(zhǎng)線于D點(diǎn)，△ABC在旋轉(zhuǎn)過程中BD始終與以C點(diǎn)為圓心、CD長(zhǎng)度為半徑的圓相切；顯然，題設(shè)中“B′點(diǎn)與A和A′三點(diǎn)共線”可以理解為“圓C的切線恰好過點(diǎn)A”，過點(diǎn)A作出圓C的切線AD′(其中點(diǎn)D′為切點(diǎn))，根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)規(guī)律可知旋轉(zhuǎn)過程中對(duì)應(yīng)線段長(zhǎng)度保持不變，在AD′的延長(zhǎng)線上確定A′和B′，使得A′D′=AD、A′B′=AB，連接B′C、A′C，則△A′B′C為△ABC繞C旋轉(zhuǎn)后的精確圖形.

圖4

點(diǎn)評(píng)：利用圖形旋轉(zhuǎn)規(guī)律和本質(zhì)，打破采取“作草圖”的方式獲得更加精確的圖形，在實(shí)際教學(xué)過程中，此種解法容易讓學(xué)生理解旋轉(zhuǎn)過程中的本質(zhì)規(guī)律的應(yīng)用，進(jìn)而提升解題效率.

解法3根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)規(guī)律可知，圖形旋轉(zhuǎn)前后的位置都是固定的，由圖形旋轉(zhuǎn)之前位置繪制出旋轉(zhuǎn)之后的位置，顯然也可以利用“旋轉(zhuǎn)可逆”的性質(zhì)特點(diǎn)，由圖形旋轉(zhuǎn)之后的位置來繪制出旋轉(zhuǎn)之前的位置，本題中可以將旋轉(zhuǎn)前后端位置狀態(tài)進(jìn)行對(duì)調(diào)，題設(shè)中△ABC可以看成旋轉(zhuǎn)之后的位置狀態(tài)而修改為△A′B′C，根據(jù)題設(shè)信息可知，A、A′、B′三點(diǎn)共線，CA=CA′，現(xiàn)以C點(diǎn)為圓心，CA′長(zhǎng)度為半徑作圓交B′A′的延長(zhǎng)線于A點(diǎn)，現(xiàn)以點(diǎn)C為圓心CB′長(zhǎng)度為半徑作圓、以A為圓心A′B′長(zhǎng)度為半徑作圓，兩個(gè)圓弧相交于B點(diǎn)，如圖5所示，則旋轉(zhuǎn)之前的圖形為△ABC.

圖5

點(diǎn)評(píng)：本題中圖形旋轉(zhuǎn)問題的難點(diǎn)在于找到一條過定點(diǎn)的未知直線，可以借助于“旋轉(zhuǎn)可逆”的規(guī)律，將此難點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為“在已知直線上尋找未知點(diǎn)”，再次轉(zhuǎn)化為“直線至旋轉(zhuǎn)中心距離不變”，問題迎刃而解.可見，圖形旋轉(zhuǎn)問題中“旋轉(zhuǎn)可逆”的規(guī)律，能夠有效降低問題的難度.

圖6

圖7

圖8

圖9

點(diǎn)評(píng)：本題是圖形旋轉(zhuǎn)的典型題型之一，從旋轉(zhuǎn)規(guī)律可知對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線所成角度與旋轉(zhuǎn)角度相等，連接三點(diǎn)構(gòu)成的等腰三角形均為相似三角形，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比例關(guān)系有效實(shí)現(xiàn)問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生理解旋轉(zhuǎn)問題本質(zhì)，厘清解題思路，實(shí)現(xiàn)高效解題.

變式2如圖10所示的直角△ACB中，AC⊥BC，BC=3，AC=4，∠ABC的角平分線BD交AC于D，現(xiàn)以A點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心將△ABC旋轉(zhuǎn)一定的角度后記為△AB′C′，若B′點(diǎn)處于BD射線之上，試求：線段CC′的長(zhǎng)度.

圖10

圖11

3 結(jié)束語

在圖形旋轉(zhuǎn)問題中，問題的難點(diǎn)在于旋轉(zhuǎn)前后圖形位置的確定，本文案例中呈現(xiàn)旋轉(zhuǎn)規(guī)律解題、作草圖解題都是解決圖形旋轉(zhuǎn)問題的重要方法，掌握這類解決問題的方法要求學(xué)生具備一定的邏輯思維能力和理性思維水平，對(duì)于初中數(shù)學(xué)教師而言，在平時(shí)的課堂教學(xué)中，應(yīng)該以“形”為研究對(duì)象，引導(dǎo)學(xué)生挖掘“幾何圖形”旋轉(zhuǎn)的本質(zhì)規(guī)律，不斷提升學(xué)生的邏輯思維能力，進(jìn)而提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).