基于深度學(xué)習(xí)的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)策略研究
——以《余弦定理》為例

高敬飛,孫向辰

(哈爾濱師范大學(xué)教師教育學(xué)院，黑龍江哈爾濱，150000)

目前，新課程改革如火如荼，各省的高中數(shù)學(xué)課程開始使用新教材，與之配套的課堂教學(xué)方法需要新的理念進(jìn)行指導(dǎo).深度學(xué)習(xí)的理論與核心素養(yǎng)目標(biāo)非常契合，可以借助深度學(xué)習(xí)理論指導(dǎo)新的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué).在2019人教A版高中數(shù)學(xué)教材中，《余弦定理》一節(jié)課的位置調(diào)整到了必修第二冊(cè)第六章“平面向量及其應(yīng)用”一章.這一調(diào)整，彰顯了新課程重視數(shù)學(xué)應(yīng)用性的理念.

1 核心概念界定

關(guān)于深度學(xué)習(xí)，有著多視角的理解.

郭華教授認(rèn)為，所謂深度學(xué)習(xí)，就是指在教師引領(lǐng)下，學(xué)生圍繞著具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題，全身心積極參與、體驗(yàn)成功、獲得發(fā)展的有意義學(xué)習(xí)的過(guò)程.[1]

鐘啟泉教授認(rèn)為，“深度學(xué)習(xí)”是指“學(xué)習(xí)者能動(dòng)地參與教學(xué)的總稱”，亦即“通過(guò)學(xué)習(xí)者能動(dòng)地學(xué)習(xí)，旨在培育囊括了認(rèn)知性·倫理性·社會(huì)性能力，以及教養(yǎng)·知識(shí)·體驗(yàn)在內(nèi)的通用能力”.[2]

基于以上觀點(diǎn)，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，本文將深度學(xué)習(xí)的概念界定如下：深度學(xué)習(xí)是指在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生在具體的情境中，圍繞本節(jié)課的學(xué)習(xí)目標(biāo)，經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程，掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，建立新舊知識(shí)的聯(lián)系，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維和用數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題的能力，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的學(xué)習(xí)過(guò)程.

2 高中數(shù)學(xué)的深度學(xué)習(xí)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)策略

2.1 明確深度學(xué)習(xí)的教學(xué)目標(biāo)

教師作為課堂教學(xué)的主導(dǎo)者，需要結(jié)合普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)、本節(jié)課的學(xué)習(xí)任務(wù)、學(xué)生的實(shí)際情況，制定合理的教學(xué)目標(biāo).借助深度學(xué)習(xí)理論，教師要摒棄以往“碎片化”教學(xué)的理念，明確在本節(jié)課中，學(xué)生需要“掌握哪些知識(shí)”“如何掌握這些知識(shí)”“新舊知識(shí)有哪些聯(lián)系”，將本節(jié)課內(nèi)容與學(xué)生已有的知識(shí)融合成有機(jī)整體.教學(xué)目標(biāo)是指導(dǎo)課堂活動(dòng)的關(guān)鍵所在，教師制定的教學(xué)目標(biāo)需要容易落地，擲地有聲.

2.2 創(chuàng)設(shè)基于學(xué)生認(rèn)知的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題情境

在實(shí)際高中數(shù)學(xué)課堂中，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷過(guò)義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過(guò)程中形成了一定的方法和認(rèn)知基礎(chǔ).部分同學(xué)認(rèn)為數(shù)學(xué)課程難度很大，在學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)課程之前就已經(jīng)產(chǎn)生畏難情緒.而心理學(xué)研究表明，學(xué)生熟悉的真實(shí)問(wèn)題情境，能夠激起學(xué)生的研究興趣，而且學(xué)生對(duì)熟悉的內(nèi)容接受程度較高.深度學(xué)習(xí)理論指導(dǎo)教師去創(chuàng)設(shè)合理的問(wèn)題情境，形成認(rèn)知沖突，引導(dǎo)學(xué)生嘗試用數(shù)學(xué)眼光看世界，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題.[3]

2.3 設(shè)置基于深度學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)活動(dòng)，探究數(shù)學(xué)本質(zhì)

基于深度學(xué)習(xí)所創(chuàng)設(shè)的情境將學(xué)生的注意力吸引到將要學(xué)習(xí)的內(nèi)容上來(lái).如果整堂課的內(nèi)容都僅限于有趣、好玩，就失去數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)和技能、鍛煉數(shù)學(xué)思維、提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的作用，舍本逐末.因此，教師需要保證數(shù)學(xué)課程的思想性，在成功將學(xué)生注意力和興趣引導(dǎo)到新知識(shí)學(xué)習(xí)上來(lái)后，引導(dǎo)學(xué)生思考如何利用已有的知識(shí)盡可能“靠近”解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題.具體的策略是：設(shè)置具有邏輯性、思想性和方法性的問(wèn)題串和學(xué)習(xí)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中獲得新知，并且引導(dǎo)學(xué)生把握新知識(shí)的數(shù)學(xué)本質(zhì)，建立新舊知識(shí)之間的聯(lián)系.教師設(shè)計(jì)的問(wèn)題串和學(xué)習(xí)活動(dòng)要讓學(xué)生的思維充分“外顯”，可以利用讓學(xué)生自我分析、質(zhì)疑辯論等等方式.

2.4 進(jìn)行追求深度學(xué)習(xí)的反思指導(dǎo)

傳統(tǒng)的課堂教學(xué)雖然強(qiáng)調(diào)了反思的重要性，但是教學(xué)終結(jié)的反思不過(guò)是蜻蜓點(diǎn)水的一種點(diǎn)綴而已.進(jìn)行反思的目的是，希望學(xué)生能夠回顧數(shù)學(xué)課堂的經(jīng)歷，品味在數(shù)學(xué)課堂中有什么收獲.當(dāng)致力于實(shí)現(xiàn)真實(shí)的深度學(xué)習(xí)的時(shí)候，教師可以把基于數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的理想的“反思”作為方向目標(biāo)來(lái)設(shè)定，進(jìn)行逆向教學(xué)設(shè)計(jì).[2]

3 基于深度學(xué)習(xí)的教學(xué)設(shè)計(jì)

下面以《余弦定理》一節(jié)為例進(jìn)行基于深度學(xué)習(xí)的教學(xué)設(shè)計(jì).

3.1 教學(xué)目標(biāo)

(1) 經(jīng)歷把實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，利用平面向量定量研究三角形兩邊及其夾角確定第三邊的過(guò)程，推導(dǎo)余弦定理，體會(huì)平面向量的工具性；

(2) 通過(guò)定量研究三角形的邊角關(guān)系，建立全等三角形判定定理，勾股定理與余弦定理的聯(lián)系，形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)；

(3) 通過(guò)實(shí)例探究余弦定理，并用余弦定理及其推論解決問(wèn)題，提升數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

3.2 教學(xué)重難點(diǎn)

(1) 重點(diǎn)：余弦定理及其推論，余弦定理的應(yīng)用；

(2) 難點(diǎn)：余弦定理的探索證明.

3.3 教學(xué)過(guò)程

3.3.1 創(chuàng)設(shè)情境

問(wèn)題1如圖1，某勘測(cè)隊(duì)測(cè)量某一湖面的寬度，但是，湖邊地勢(shì)復(fù)雜，于是勘測(cè)隊(duì)員在地勢(shì)較平緩的地方選擇了一個(gè)適當(dāng)?shù)奈恢肅，量出了C到湖邊A，B的距離，其中CA=3 km，CB=2 km，并利用經(jīng)緯儀測(cè)出∠ACB=120°，那么，根據(jù)上述條件勘測(cè)隊(duì)能否測(cè)出湖面AB的寬度？

圖1

追問(wèn)1：用題目中的條件，可以確定AB的長(zhǎng)度嗎？你的理由是？

預(yù)設(shè)：兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等(SAS)，也就是說(shuō)，給定兩邊及其夾角的三角形是唯一確定的.因此，根據(jù)題目中的條件，可以確定AB的長(zhǎng)度.

設(shè)計(jì)意圖:回憶初中學(xué)習(xí)的定性研究三角形的邊角關(guān)系方法，根據(jù)判定三角形全等的方法，可以由三角形的三條邊、三個(gè)角中的某些元素唯一確定三角形的形狀，為定量研究這些元素的數(shù)量關(guān)系做鋪墊.

追問(wèn)2：給定兩邊及其夾角的三角形是唯一確定的，也就是說(shuō)三角形的其他邊和角都可以利用這兩邊及其夾角來(lái)表示.利用三角形的兩邊及其夾角求第三邊，你有什么方法？

預(yù)設(shè)：利用向量法.

設(shè)計(jì)意圖:由研究問(wèn)題的特點(diǎn)，適配平面向量工具的應(yīng)用條件，引出本節(jié)課主要探究方法是向量法.

3.3.2 探索新知

問(wèn)題2在△ABC中，三個(gè)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，怎樣用a，b和C表示c？

追問(wèn)1：圖2中有哪些要素可以表示為向量？將幾何元素用向量表示后，問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了什么？

圖2

追問(wèn)2：根據(jù)轉(zhuǎn)化后的條件和問(wèn)題，你認(rèn)為能利用向量的什么性質(zhì)去解決呢？

預(yù)設(shè)：|c|2=c2.

學(xué)生活動(dòng)：請(qǐng)用|a|，|b|和C表示|c|.

|c|2=c·c=(a-b)·(a-b)
=a·a+b·b-2a·b
=a2+b2-2|a||b|cosC.

將向量式轉(zhuǎn)化為幾何式，得：

c2=a2+b2-2abcosC.

追問(wèn)3：如何用已知的邊b，c和它們的夾角A表示第三邊a？如何用已知的邊a，c和它們的夾角B表示第三邊b？

預(yù)設(shè)：a2=b2+c2-2bccosA；b2=a2+c2-2accosB.

余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.

學(xué)生活動(dòng)：嘗試用余弦定理解決問(wèn)題1.

設(shè)計(jì)意圖:將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生利用平面向量解決幾何問(wèn)題的“三步曲”解決該問(wèn)題，增強(qiáng)學(xué)生用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的應(yīng)用性、邏輯美、對(duì)稱美.

問(wèn)題3觀察余弦定理的某一個(gè)公式，你能否將其進(jìn)行變形得到其他的結(jié)論？

預(yù)設(shè)：由余弦定理，可以得到如下推論：

設(shè)計(jì)意圖:引導(dǎo)學(xué)生深入思考，利用方程思想深入挖掘得到的余弦定理的公式，拓展余弦定理的應(yīng)用范圍.

3.3.3 認(rèn)知深化

思考1：利用余弦定理，可以解決什么類型的幾何問(wèn)題？

預(yù)設(shè)：已知三角形的兩邊及其夾角直接求出第三邊.

思考2：利用余弦定理的推論，可以解決什么類型的幾何問(wèn)題？

預(yù)設(shè)：可以由三角形的三邊直接計(jì)算出三角形的三個(gè)角.

思考3：初中學(xué)習(xí)的勾股定理指出了三角形中的三邊關(guān)系，余弦定理指出了三角形的三條邊與其中的一個(gè)角之間的關(guān)系，你能說(shuō)說(shuō)這兩個(gè)定理之間的關(guān)系嗎？

預(yù)設(shè)：余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例.

思考4：你能用其他方法證明余弦定理嗎？課下請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)探究.

設(shè)計(jì)意圖:由一系列問(wèn)題串引導(dǎo)學(xué)生思考，并數(shù)學(xué)地表達(dá)自己的思維過(guò)程，在教師的引導(dǎo)下，歸納出用平面向量解決幾何問(wèn)題的一般步驟.通過(guò)一系列的追問(wèn)、學(xué)生的批判思考，培養(yǎng)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).將新學(xué)的余弦定理與初中學(xué)習(xí)的全等三角形的判定、勾股定理建立聯(lián)系，使學(xué)生將新舊知識(shí)整合，形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，避免“碎片化”的學(xué)習(xí).

問(wèn)題4利用余弦定理及其推論，你認(rèn)為要求出三角形的三條邊、三個(gè)角，至少需要幾個(gè)條件？

預(yù)設(shè)：至少需要三個(gè)條件.

一般地，三角形的三個(gè)角A，B，C和它們的對(duì)邊a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程叫做解三角形.

設(shè)計(jì)意圖:強(qiáng)調(diào)余弦定理及其推論的使用條件，明確其能夠解決什么樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，達(dá)到應(yīng)用余弦定理及其推論的目的.

3.4 教學(xué)反思

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出，高中數(shù)學(xué)課程的基本理念是：學(xué)生發(fā)展為本，立德樹人，提升素養(yǎng)；優(yōu)化課程結(jié)構(gòu)，突出主線，精選內(nèi)容；把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，啟發(fā)思考，改進(jìn)教學(xué)；重視過(guò)程評(píng)價(jià)，聚焦素養(yǎng)提高質(zhì)量.[4]

3.4.1 更新觀念，發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價(jià)值

基于以上案例，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師并不是簡(jiǎn)單地將某個(gè)知識(shí)點(diǎn)講授給學(xué)生，而是引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的觀察，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地觀察、表達(dá)自己的思維.教師要讓學(xué)生去做課堂的主人，讓學(xué)生在課堂中去體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)、歸納、應(yīng)用的過(guò)程，去探究知識(shí)的來(lái)龍去脈，改變以往唯知識(shí)、唯習(xí)題的課堂授課模式，發(fā)揮數(shù)學(xué)課堂鍛煉邏輯思維、感悟數(shù)學(xué)之美、培育嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)態(tài)度的育人價(jià)值.

3.4.2 鉆研教材，進(jìn)行深度學(xué)習(xí)的教學(xué)設(shè)計(jì)

為落實(shí)核心素養(yǎng)，進(jìn)行深度教學(xué)，教師需要深入分析教材，研究本節(jié)課內(nèi)容的特點(diǎn)、位置、地位、作用，本節(jié)課知識(shí)與前后知識(shí)的聯(lián)系、邏輯關(guān)系，建立嚴(yán)密的知識(shí)系統(tǒng)，保證數(shù)學(xué)的整體性、系統(tǒng)性，防止碎片化教學(xué).在教學(xué)中，創(chuàng)設(shè)真實(shí)的問(wèn)題情境，搭建對(duì)話交流的平臺(tái)，讓學(xué)生真正參與到課堂活動(dòng)中來(lái).

3.4.3 持續(xù)評(píng)價(jià)，激勵(lì)學(xué)生深度思考

在深度學(xué)習(xí)的課堂中全方位地把握“教育評(píng)價(jià)”.誠(chéng)然，成績(jī)?cè)u(píng)價(jià)是教育評(píng)價(jià)的一部分，但是，教師在課堂教學(xué)中不能僅僅依靠成績(jī)?cè)u(píng)價(jià).教師在課堂中的對(duì)話、提問(wèn)、交流過(guò)程中，都可以及時(shí)對(duì)學(xué)生作出評(píng)價(jià)，實(shí)時(shí)激勵(lì)學(xué)生深度參與到課堂活動(dòng)中來(lái).這對(duì)增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心具有重要意義.