“做”數(shù)學：數(shù)學育人的創(chuàng)新實踐探究
——以“全等三角形的應(yīng)用”為例

苗 苗，馬云飛

(江蘇省南京外國語學?；窗卜中?，江蘇淮安，223001)

中共中央國務(wù)院《關(guān)于深化教育教學改革 全面提高義務(wù)教育質(zhì)量的意見》(2019年6月23日)中提出，要“堅持知行合一，讓學生成為生活和學習的主人”；要“活動育人、實踐育人”.為了落實課改精神，探索初中數(shù)學實驗的理論與實踐，開發(fā)數(shù)學實驗課程資源，江蘇省中小學教學研究室董林偉副主任牽頭成立課題組，開展“初中數(shù)學實驗”探索.“做”數(shù)學是以“做”為支架的一種數(shù)學學習活動，是實現(xiàn)數(shù)學學科育人的一種范式.《義務(wù)教育數(shù)學課程標準(2011年版本)》[1](以下簡稱《課標》)提出了“基本活動經(jīng)驗”的新目標，指出“學生應(yīng)有足夠的時間和空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜想、計算和推理驗證等活動過程.”肯定了“做”數(shù)學也是學習數(shù)學的一種重要方式.南宋陸游曾在《冬夜讀書示子聿》寫道：“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行.”“做”數(shù)學理念又與中國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化相呼應(yīng)，這引起了筆者的興趣.于是在“做”數(shù)學的理念下設(shè)計一堂戶外數(shù)學課來觀察學生的學情發(fā)展，情感發(fā)展和品格發(fā)展.

1 實驗題目來源與生成

蘇科版小學一年級時學生認識長方體(立體圖形)，二年級認識角(平面圖形)，三年級認識長方形(平面圖形)，四年級認識三角形、梯形(平面圖形)，五年級認識平行四邊形(平面圖形)等.小學生的難點是從實際生活中抽象出具體圖形，即從數(shù)學的角度去觀察現(xiàn)實世界.思維難點是學生需要感悟到由空間立體圖形找到平面圖形的降維思想.蘇科版七年級又認識了圓柱、圓錐等幾何體，引入時大多數(shù)教師都會讓學生經(jīng)歷從實際生活中建筑物的圖片找到圓柱或圓錐的教學過程，通常學生會迅速且容易找到相關(guān)圖形，說明學生初步獲得了通過生活中物體認識基本幾何圖形的能力.但學生在學習圖形與幾何時，以蘇科版八年級全等三角形和勾股定理為例，教材會設(shè)置一些引導(dǎo)學生“做”數(shù)學的欄目，如畫三角形、折疊透明紙、拼圖等數(shù)學活動，使學生通過“做”獲得經(jīng)驗基礎(chǔ)，從而揭示具體圖形的數(shù)學本質(zhì).但課本習題已經(jīng)是從實際生活提取出的實際問題然后到具體的書上模型，學生缺少經(jīng)歷由實際生活抽象出數(shù)學模型的建模過程，不利于培養(yǎng)學生的建模思想.通過長期在一線教學的實戰(zhàn)經(jīng)驗，筆者發(fā)現(xiàn)大多數(shù)初中學生非常熟悉具體圖形(三角形，長方形等)，但學生很少能解決把書本上具體圖形放到實際背景意義的問題，即學生在面對真正的實際生活問題時，很難把它抽象出數(shù)學問題然后利用模型思想來解決.此時，筆者有兩個疑問：(1) 幾何習題大多數(shù)是具體圖形呈現(xiàn)(平面圖形)，題干是其實際意義.但學生能否注意并理解它的實際背景意義？(2) 若將學生放入實際生活大背景下，學生能否抽象出數(shù)學問題，然后靈活運用自己學過的數(shù)學知識解決實際問題？即學生脫離數(shù)學課堂，是否還具備數(shù)學建模思想和應(yīng)用意識？根據(jù)以上疑點，筆者結(jié)合蘇科版八年級上冊第1章復(fù)習鞏固習題和學校自身地理環(huán)境特點設(shè)計了兩個問題.

書本上習題：

如圖1，小明和小麗用下面的方法測量位于池塘兩端的A、B兩點的距離：先取一個可以直接到達點A和點B的點C，量得AC的長度，再沿AC方向走到點D處，使CD=AC；用同樣的方法確定點E，量得的DE的長度就是A、B兩點的距離，試說明理由.

圖1

筆者編寫的習題：

(1) 有一條南北貫通的小河每天流經(jīng)我們的校園，河兩岸相對的樹木A和樹木B上分別住著啄木鳥小黃和啄木鳥小藍(假設(shè)兩家距離地面的高度相等)，有一天小黃想去小藍家串門，求小黃至少飛行多少米？

(2) 在不起眼的校園墻角兩邊，有著樹木C和樹木D，由于墻角的阻礙，它們看不到對方，但它們很想知道雙方的距離是多少？可愛的同學們，請你們幫幫它們吧！

設(shè)計說明：學生在“做”中真正體會書本知識與實際生活的異同點，揭示數(shù)學本質(zhì)，激發(fā)學生興趣.書本上的習題，大多數(shù)學生都覺得簡單并可以做出來.但當面臨同樣的生活情境時，學生是否可以通過已經(jīng)在數(shù)學書上獲得的基本知識與技能，解決自己的困境呢？學生是否真正的離開數(shù)學課堂后，會用數(shù)學的眼光觀察世界，用數(shù)學的語言表達世界，用數(shù)學的思維思考世界呢？是否真正地知道數(shù)學的本質(zhì)呢？

2 教學目標

(1) 促“情”，戶外的數(shù)學活動，使學生真正融入實際生活.在實際生活中，通過“做”數(shù)學，感受到數(shù)學并不是枯燥的書本知識，它主要是服務(wù)于我們的生活.激發(fā)學生主動去做，積極投入數(shù)學活動，揭示數(shù)學本質(zhì)；

(2) 啟“智”，數(shù)學實驗使學生從“聽”數(shù)學變?yōu)椤白觥睌?shù)學，從機械訓(xùn)練式學習變?yōu)榛ハ嗪献魈骄渴綄W習，啟發(fā)學生思維，使學生學會思考，善于創(chuàng)新，培養(yǎng)學生的模型思想、應(yīng)用和創(chuàng)新意識；

(3) 塑“品”，通過有序地組織學生一起合作探究實際問題，促使學生交流探討，培養(yǎng)學生探索精神、理性思維和合作意識.

3 教學方案

實驗對象：八年級學生；實驗人數(shù)：20人(每5人一組，男女分配；一名組長，一名副組長，一名記錄員，2名核心成員).

活動時間：75分鐘選修課(數(shù)學實驗用時比較長，為了充分讓學生觀察、思考、建模和總結(jié)，筆者采用的是選修課時間).

實驗工具：工地皮尺100 m(每組1個皮尺).

實驗計劃書.

4 學生體驗心得(學生原話)

第一組：這是一次神奇的體驗，第一次體會到數(shù)學在生活中的運用.雖然有坎坷，但最后懂得了團隊精神的重要性.在實驗中，如果沒有一個和諧、協(xié)調(diào)的團隊，就不可能成功測量.希望以后再接再厲，共創(chuàng)輝煌.

第二組：剛開始，團隊交流有困難.但最后大家終于齊心協(xié)力，迎刃而解.在測量河流時，運用全等三角形，化復(fù)雜為簡單；在測量樓兩側(cè)時，運用勾股定理，把不可能測量化為可能測量.

第三組：第一次做數(shù)學模型，十分興奮.我們這組沒有完成，因為做第一個問題時遇到很多“未知數(shù)據(jù)”，不知道怎么處理，感覺無法用“ASA”證明全等.后來曉得了，但時間不夠了.今天收獲滿滿，很喜歡這節(jié)課，下次爭取把問題做完.

第四組：通過這次數(shù)學實踐活動，我們測得河水寬度及有障礙物時兩點距離.雖然十分復(fù)雜，但我們獲得了快樂，獲得了成長，讓我們在生活中感受數(shù)學的美好，讓我們的思維更加敏捷.

第五組：本次實驗，我們運用書上的全等知識，測量了河兩對岸樹木的距離和分別在墻角兩點的距離.第一個問題我們忽視了細節(jié)，差點算錯了數(shù)據(jù)；第二個在正確想法帶領(lǐng)下，終于得到了正確答案.

5 教師總結(jié)

測量初期，筆者發(fā)現(xiàn)每組成員是比較懵的，因為他們要解決的是真正的實際問題，他們的工具只有一把工地皮尺和一些紙筆.學生要解決的不再是試卷上的一道題.學生需要以小組為單位，親自去觀察、去測量、去討論、去建模、去得出結(jié)論.但令筆者欣慰的是，學生并沒有被嚇到，反而更加地想解決這個問題.數(shù)學最美麗的地方來源于它自身的“奇”，它會讓人產(chǎn)生好奇心，讓人愿意去研究它.《課標》提出“學生的學習應(yīng)該是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程.”從情感發(fā)展角度來講，學生對親身經(jīng)歷建模過程感到新奇，產(chǎn)生強烈好奇心，他們想去做；學生不再是單純地在教室里聽，這時需要多感官參與，他們樂于去做.尤其對部分擅長動手操作而不擅長傾聽與閱讀的學生來說，滿足他們的學習需要，重新喚醒他們學習數(shù)學的熱情，完成了促“情”的目標.從啟發(fā)學生智力的角度來講，筆者通過對比學生完成兩個任務(wù)用時，發(fā)現(xiàn)學生決策分析能力和空間想象能力有很大提升.學生在剛開始第一個任務(wù)時沒有學會用數(shù)學的眼光觀察生活，從而想不到將河岸相對的兩棵樹抽象成一條線段，進而無法聯(lián)想到三角形全等.經(jīng)過大量的觀察、思考和討論，學生才分析出這個問題的本質(zhì)，試著運用已學的知識建立數(shù)學模型，最后解決問題.而在做第二個任務(wù)時，學生學會用數(shù)學的眼光看待問題，數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，掌握分析這類問題的主線(兩棵樹抽象成線，測量線放入全等三角形或直角三角形)，很快建立模型并解決實際問題，完成布魯姆教育目標中的認知、領(lǐng)會、應(yīng)用、分析、綜合與評價.從塑造必備品格的角度來看，學生的理性精神、探索精神和合作精神得到了充分發(fā)展.筆者在這里主要談?wù)剬W生A的變化.學生A酷愛數(shù)學，成績優(yōu)異，平時喜歡獨自思考數(shù)學題，不喜歡與其他同學交流.活動開始時，學生A獨坐角落思考，不與組員交流.大約過了20分鐘，學生A被憋得面紅耳赤，才慢慢靠近隊伍，豎起耳朵聽聽其他人想法，逐漸參與討論，最后受到啟發(fā)，帶領(lǐng)這個小組完成任務(wù).當學生A交給筆者計劃書時，他非常激動，這種團隊模式的成功給他一種全新體驗.筆者認為，本節(jié)課學生不僅完成了四基目標，也很好地完成了四能目標，并且充分培養(yǎng)了學生的模型思想.

6 教師感悟

數(shù)學學習包括數(shù)學概念、數(shù)學定理、數(shù)學思想方法等方面的學習，數(shù)學實驗引導(dǎo)學生從生活經(jīng)驗和已有知識背景出發(fā)，從現(xiàn)實中尋找實物模型，通過觀察、實驗等手段，形成感性認識，從而掌握數(shù)學概念與結(jié)論.[2]美國教育心理學家布魯納認為學習知識的最好方式是發(fā)現(xiàn)學習，即探究性學習或?qū)W科研究性學習.“做”數(shù)學的學習方式符合布魯納倡導(dǎo)的學習模式.筆者長期處于一線教學，理解學生的苦.此苦表現(xiàn)為時間長和衡量標準單一.時間長即學生從幼兒園到高中一直在學校，從早到晚學習，長達15年.衡量標準單一即社會、學校和家庭目前只能用成績來衡量學生的學習成果和現(xiàn)階段個人發(fā)展.大多數(shù)目光會關(guān)注小數(shù)據(jù)人群(如成績在年級或班級第一、第二、第三的學生).很少人注意到大數(shù)據(jù)人群后千千萬萬參與學習的學生，他們是“灰色”的.因此，對于一直在學習但又一直處于“灰色地帶”的大數(shù)據(jù)人群來說，學習可能是單調(diào)與痛苦的，隨著年齡的增長，痛苦會被越來越放大；對于小數(shù)據(jù)的人群來說，學生更關(guān)注的是自己的“位置”，因此可能會越來越關(guān)注成績本身，缺少對學習實際的感悟.且學習數(shù)學可能給大多數(shù)學生的感受是枯燥的，是抽象的，是深奧的，導(dǎo)致大數(shù)據(jù)的人群感到更加痛苦.那作為中小學一線數(shù)學教師的我們應(yīng)該怎么來緩解這種現(xiàn)狀？筆者覺得董林偉團隊的“做”數(shù)學理念下的學習方式是學習方式轉(zhuǎn)變的典型代表.學生由機械接受學習轉(zhuǎn)變?yōu)榘l(fā)現(xiàn)學習，親身經(jīng)歷數(shù)學建構(gòu)的過程，學會利用已獲得的數(shù)學知識和經(jīng)驗去解決實際問題，這會增加學生學習數(shù)學的興趣度和成就感.因此筆者覺得一線教學工作者一方面可以在日常教學中注重數(shù)學實驗課的探究與實踐，使數(shù)學課堂變得有趣.一線教學工作者可以組內(nèi)認真研讀數(shù)學實驗手冊，總結(jié)數(shù)學實驗的實施方式，實現(xiàn)數(shù)學實驗的校本開發(fā).另一方面要善于總結(jié)數(shù)學實驗后的效果，適當進行評價，實現(xiàn)數(shù)學實驗的效能分析，如通過數(shù)學實驗課，學生是否對學習數(shù)學的興趣度增高；學生是否對學習數(shù)學的自信心有所提高；學生再次面臨實際問題時，是否可以理性分析并找到突破口，即是否初步具備數(shù)學核心素養(yǎng)等.筆者希望在“做”數(shù)學理念的影響下，不同層次的學生在數(shù)學課堂中能得到相應(yīng)的發(fā)展，同時也希望數(shù)學教育能達到學科育人的目標，在數(shù)學實驗過程中學生學會與人處事，理解與他們合作的重要性.