王 磊
(江蘇省東臺(tái)市安豐中學(xué),江蘇東臺(tái),224221)
基于新課程改革標(biāo)準(zhǔn)下,高中數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)應(yīng)分為過(guò)程性目標(biāo)和最終目標(biāo),讓學(xué)生在過(guò)程中可以收獲更多知識(shí)、技能、意識(shí)、方法等,逐漸匯總完成最終目標(biāo).著名數(shù)學(xué)家哈爾莫斯曾說(shuō):“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟,在問(wèn)題和求解中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)”,而問(wèn)題解決就是建立在這一觀點(diǎn)上,構(gòu)建以學(xué)生為主體的問(wèn)題情景,這不僅能夠改善傳統(tǒng)課堂中單調(diào)、功利性強(qiáng)的教學(xué)模式,學(xué)生更有興趣,教師教學(xué)效果自然大有提升.
數(shù)學(xué)教學(xué)中的問(wèn)題是非常重要的媒介,合乎邏輯的教學(xué)也應(yīng)建立在問(wèn)題的基礎(chǔ)上,以“問(wèn)題解決”為主導(dǎo)與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課堂上先講解理論知識(shí)再解決問(wèn)題恰恰相反,前者是將問(wèn)題在前,理論在后,學(xué)生在分析和解決問(wèn)題的過(guò)程中逐漸摸索到數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的原理和概念,這種探究性的教學(xué)方式不僅能夠充分調(diào)動(dòng)學(xué)生思維,而且也能使學(xué)生對(duì)新知識(shí)的理解更為透徹.除此之外,高中數(shù)學(xué)內(nèi)容越來(lái)越抽象,相應(yīng)的,學(xué)生需要掌握的技能也趨于系統(tǒng)化,在此背景下數(shù)學(xué)本身所含有的原始問(wèn)題和情景被大大弱化,高中數(shù)學(xué)課堂上幾乎很難看到生成數(shù)學(xué)知識(shí)的背景和發(fā)展歷程.這一教學(xué)模式,甚至可以說(shuō)是教學(xué)慣性,并不利于學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì),故此,探究以問(wèn)題解決為主導(dǎo)的數(shù)學(xué)課堂也是為有效解決傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)存在的弊端,也能使學(xué)生從問(wèn)題中感受數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)形成的過(guò)程,掌握學(xué)習(xí)思路和方法,培養(yǎng)其建模、邏輯分析、解決問(wèn)題以及學(xué)以致用等能力.[1]
構(gòu)建問(wèn)題解決為主導(dǎo)的數(shù)學(xué)課堂,并不是教師簡(jiǎn)單的提出問(wèn)題,讓學(xué)生思考、探究即可,而是要遵循以下四點(diǎn)基本原則:
思想學(xué)家托爾斯泰曾說(shuō):“不通過(guò)強(qiáng)制學(xué)生被動(dòng)學(xué)習(xí)就能有效激發(fā)其學(xué)習(xí)欲望,這也在很大程度上決定了教師教學(xué)的有效性”,主動(dòng)性原則亦是如此,遵循這一原則主要目的在于激發(fā)學(xué)生潛在的探索欲,使其成為知識(shí)的探索者、發(fā)現(xiàn)者,而不是被動(dòng)學(xué)習(xí)者,教師和學(xué)生之間的關(guān)系也會(huì)更加和諧.因此,教師要懂得先轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)思想,思考所設(shè)計(jì)的問(wèn)題情景是否符合學(xué)生學(xué)習(xí)所需以及能否提升其學(xué)習(xí)積極性,教師站在幫助學(xué)生構(gòu)建知識(shí)框架的角度,而不是統(tǒng)領(lǐng)所有的角度.
教師在設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)要把握好“度”,問(wèn)題不宜過(guò)難或過(guò)于簡(jiǎn)單,太難容易使學(xué)生產(chǎn)生畏懼、抵觸等不良情緒,不容易后續(xù)教學(xué)進(jìn)度,太簡(jiǎn)單雖然能夠達(dá)到活躍課堂氛圍的效果,但學(xué)生思考時(shí)多是依靠自身儲(chǔ)備的知識(shí)進(jìn)行思考,難以達(dá)到發(fā)散思維,突破認(rèn)知的效果.基于此,教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生認(rèn)知能力來(lái)設(shè)計(jì)“問(wèn)題鏈”,從簡(jiǎn)單到復(fù)雜,層層遞進(jìn),促使問(wèn)題與問(wèn)題之間有聯(lián)系,同時(shí)也降低數(shù)學(xué)問(wèn)題的復(fù)雜性和抽象性,開(kāi)發(fā)學(xué)生潛能,使其在無(wú)形中突破重難點(diǎn)知識(shí).[2]
層次性原則是基于學(xué)生差異性,學(xué)生由于學(xué)習(xí)能力、學(xué)習(xí)習(xí)慣等方面不同,在學(xué)習(xí)新知識(shí),接受新東西時(shí)的情況也大有不同.作為數(shù)學(xué)教師應(yīng)了解并重視學(xué)生之間的差異性,嚴(yán)格遵守層次性原則,或是以層次劃分,或是以分組的方式展開(kāi)教學(xué)活動(dòng),以此來(lái)使學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂上找到歸屬感,并獲得成就感,真正參與其中,才能有效增強(qiáng)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)效性.
學(xué)生學(xué)習(xí)任何知識(shí)都是由易再到難,教師在設(shè)計(jì)問(wèn)題時(shí)應(yīng)遵循這一規(guī)律,借用問(wèn)題不斷延伸,讓學(xué)生整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程逐漸完整,最終形成系統(tǒng)性的知識(shí)鏈,這樣才能徹底吃透和掌握新知識(shí).除了教學(xué)過(guò)程中的延伸,還包括課外延伸,教師在教學(xué)后應(yīng)留下一些讓學(xué)生思考和回味的問(wèn)題,形成“完而未完,意味無(wú)窮”的情況,激發(fā)學(xué)生順著教師所給出的線索繼續(xù)探索的興趣,使其從畏懼,過(guò)渡到會(huì)學(xué),最后到樂(lè)學(xué).
教師應(yīng)注重問(wèn)題趣味性、激勵(lì)性、完整性等特點(diǎn).趣味性是指教師設(shè)計(jì)的問(wèn)題應(yīng)當(dāng)是能夠激發(fā)起學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的,在實(shí)際教學(xué)中往往會(huì)以結(jié)合實(shí)際生活或是游戲、競(jìng)賽等方式達(dá)到這一效果;激勵(lì)性是指教師應(yīng)基于學(xué)生好勝心,分析能夠調(diào)動(dòng)起積極性的問(wèn)題,使其在解決問(wèn)題的同時(shí),自尊心、自信心也能得到滿足;完整性是指教師所設(shè)計(jì)的問(wèn)題應(yīng)當(dāng)是一個(gè)閉環(huán),學(xué)生整個(gè)思考過(guò)程是完整的,形成系統(tǒng)性的知識(shí)鏈.
可見(jiàn),構(gòu)建以“問(wèn)題解決”為主導(dǎo)的數(shù)學(xué)課堂并不簡(jiǎn)單,作為教師應(yīng)從數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容入手,結(jié)合學(xué)生學(xué)習(xí)特點(diǎn),思考設(shè)計(jì)問(wèn)題情景的原則和特點(diǎn),在此基礎(chǔ)上再去設(shè)計(jì)問(wèn)題,能夠更好地幫助學(xué)生突破學(xué)習(xí)障礙.
筆者以圓錐曲線中的定比弦問(wèn)題為例,首先分析定比弦基礎(chǔ)概念:一條直線與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn),在弦AB上存在點(diǎn)M,將弦AB分為固定的兩段,MA和MB的比值為λ,那么AB便叫做C的定比弦,λ為1時(shí),定比弦即是中心弦(如圖1所示).
圖1
關(guān)于圓錐曲線中的定比弦問(wèn)題,首先教師要做的是讓學(xué)生明確定比弦的概念和原理.首先,分析圓錐曲線這一章所研究的圖形,包括三種不同的曲線,分別為橢圓、雙曲線和拋物線.課程內(nèi)容相對(duì)抽象,教師梳理教學(xué)思路后,可以結(jié)合學(xué)生實(shí)際學(xué)習(xí)情況,設(shè)計(jì)大問(wèn)題,以大問(wèn)題統(tǒng)領(lǐng)整個(gè)單元教學(xué),再分設(shè)不同的子問(wèn)題,以子問(wèn)題來(lái)逐步引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí),同時(shí)留出學(xué)生自主學(xué)習(xí)、討論、探究、匯報(bào)的時(shí)間,在問(wèn)題情景下融入小組學(xué)習(xí)、自主學(xué)習(xí)、項(xiàng)目式學(xué)習(xí)等,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性,強(qiáng)化數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效果.
本節(jié)課程教學(xué)重點(diǎn)在于求解曲線標(biāo)準(zhǔn)方程以及不同點(diǎn)在標(biāo)準(zhǔn)位置上的性質(zhì),掌握不同中點(diǎn)弦問(wèn)題的解法,以此為基礎(chǔ),分析“焦點(diǎn)為分點(diǎn)”這一情況的解法,并感受不同解法的通性通法和價(jià)值.
4.4.1 創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景,引入數(shù)學(xué)新課
俗話說(shuō)“思維從問(wèn)題驚訝開(kāi)始”,為激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,教師可以創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景,將學(xué)生思維帶入到形象且豐富的問(wèn)題情景中,引起學(xué)生的好奇心,為之后學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ).[3]
教師向?qū)W生分析圓錐曲線定比弦問(wèn)題之前,可以以生活中有關(guān)圓錐曲線的案例為引,如,地球環(huán)繞太陽(yáng)的“橢圓軌跡”運(yùn)行,太陽(yáng)則位于“橢圓軌跡”的一個(gè)焦點(diǎn)上,人造衛(wèi)星運(yùn)轉(zhuǎn)所依據(jù)的也是這個(gè)原理;實(shí)際生活中所用到的探照燈,是依據(jù)“圓錐曲線”原理,利用“旋轉(zhuǎn)物面的曲面”制作而成……由此教師提出兩個(gè)問(wèn)題:如果用一個(gè)平面去截錐面,那么會(huì)得到哪些不同的曲線?實(shí)際生活中關(guān)于圓錐曲線還有哪些應(yīng)用?提出問(wèn)題后,教師組織學(xué)生進(jìn)行實(shí)踐,用紙張折疊成圓錐曲線,通過(guò)畫(huà)圖,思考不同情況下所得到的曲線.待學(xué)生整理匯報(bào)后,教師可以通過(guò)三維模型幫助學(xué)生更加直觀地看到不同角度所截得的曲線,使其初步了解圓錐曲線中的定比弦問(wèn)題.課后留出大概5分鐘左右的時(shí)間讓學(xué)生思考第二個(gè)問(wèn)題,一方面能夠緩解學(xué)生緊張的學(xué)習(xí)過(guò)程,另一方面也能發(fā)展學(xué)生想象能力,提升起學(xué)習(xí)興趣.通過(guò)導(dǎo)入問(wèn)題情景,在新課伊始,就使學(xué)生留下深刻的印象,后期學(xué)習(xí)也會(huì)更為順利.
4.4.2 深入探究問(wèn)題,實(shí)現(xiàn)再分析再解決
待學(xué)生已經(jīng)在腦海中構(gòu)建關(guān)于圓錐曲線基本雛形后,教師則可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步分析關(guān)于圓錐曲線中的定比弦問(wèn)題,進(jìn)入到設(shè)計(jì)子問(wèn)題部分.教師通過(guò)多媒體展示“分點(diǎn)為中點(diǎn)——中心弦”的圖形(如圖2所示),并展示不同解法的基礎(chǔ)概念.
圖2
① 韋達(dá)定理法:將直線方程與圓錐曲線的聯(lián)立,一般消去y,得到x的一元二次方程,韋達(dá)定理中有兩根之和,中點(diǎn)坐標(biāo)公式中為二分之兩根之和.
② 點(diǎn)差法:設(shè)直線與圓錐曲線兩個(gè)交點(diǎn)為(x1,x2),(y1,y2),將其代入到圓錐曲線方程中,因兩式形式相同,相減后無(wú)常數(shù)項(xiàng),再因式分解,得到直線斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)的一個(gè)式子.
教師帶領(lǐng)學(xué)生分析不同解法的原理后,使其在腦海中對(duì)定比弦問(wèn)題構(gòu)建知識(shí)鏈雛形,教師再分設(shè)問(wèn)題,讓學(xué)生根據(jù)自己實(shí)際情況來(lái)選擇回答.一是基礎(chǔ)層:給予實(shí)際例題,讓學(xué)生用不同的方法進(jìn)行求解;二是拓展層:推導(dǎo)韋達(dá)定理中x1x2、y1y2分別等于多少;三是拔高層:嘗試用其他的方式來(lái)求解.基礎(chǔ)層是所有學(xué)生都需要完成的,拓展層、拔高層的問(wèn)題學(xué)生可以嘗試解答.教師將學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)間分為兩個(gè)階段,一是自學(xué)時(shí)間,二是小組討論時(shí)間,待討論時(shí)間結(jié)束后,再以小組為單位進(jìn)行匯報(bào),師生共同分析學(xué)生練習(xí)中存在的誤區(qū)、問(wèn)題以及出現(xiàn)的錯(cuò)誤等,師生溝通構(gòu)建良好的課堂氛圍,同時(shí)也能達(dá)到拓展的目的.
4.4.3 不同情況再討論,深入探究新知識(shí)
學(xué)生學(xué)習(xí)基本情況,掌握基本算法后,教師開(kāi)始引導(dǎo)學(xué)生深入分析不同的情況,這一部分的教學(xué)任務(wù)并不輕松,一方面是因?yàn)閷W(xué)生在這部分學(xué)習(xí)的知識(shí)點(diǎn)要更難,另一方面在于學(xué)生積極性相對(duì)減弱.[4]因此,教師在設(shè)計(jì)問(wèn)題情景時(shí),需要考慮到學(xué)生學(xué)習(xí)情況,設(shè)計(jì)能夠激發(fā)其學(xué)習(xí)熱情的問(wèn)題.例如,課前導(dǎo)入環(huán)節(jié)教師展示圖2,提出如果以O(shè)為原點(diǎn),向弦AB上畫(huà)線,可以畫(huà)多少條?其中那些點(diǎn)比較特殊?問(wèn)題比較簡(jiǎn)單,而且沿用學(xué)生熟悉的圖形,能夠在一定程度上減輕學(xué)生抵觸心理.學(xué)生很快便可以分析出除A、B、M點(diǎn)之外,弦AB與x軸存在的焦點(diǎn)也比較特殊,借此教師運(yùn)用多媒體展示模型,引導(dǎo)學(xué)生分析如果焦點(diǎn)為分點(diǎn)時(shí),依然能用韋達(dá)定理和點(diǎn)差法來(lái)求解直線斜率嗎?(圖3).
圖3
教師所提出的問(wèn)題也能有效拓展學(xué)生解題思路,學(xué)生經(jīng)過(guò)分析、畫(huà)圖后,會(huì)發(fā)現(xiàn)以幾何的角度分析會(huì)更加直觀且簡(jiǎn)便,達(dá)到豁然開(kāi)朗的效果.通過(guò)問(wèn)題的引入,促使學(xué)生仔細(xì)感受解題的過(guò)程,體會(huì)方法的使用條件,發(fā)散其思維,最終提升其學(xué)習(xí)效果.
4.4.4 思維歷練,應(yīng)用強(qiáng)化
學(xué)生學(xué)習(xí)成效最終體現(xiàn)在自主練習(xí)、解題方面,從得出結(jié)論,到實(shí)際應(yīng)用這一過(guò)程教師需要精心引導(dǎo),從簡(jiǎn)單的題目開(kāi)始,學(xué)生思考不同結(jié)論適用的題型,掌握實(shí)際應(yīng)用技巧,實(shí)現(xiàn)活學(xué)活用的目的.
例如,學(xué)生學(xué)習(xí)圓錐曲線中的定比弦問(wèn)題所得到的結(jié)論是關(guān)于數(shù)式之間的關(guān)系,在實(shí)際求解時(shí)需要靈活變式,教師則需引導(dǎo)學(xué)生具體問(wèn)題具體分析,根據(jù)實(shí)際問(wèn)題、已知條件等變換關(guān)系式,就像針對(duì)焦點(diǎn)為分點(diǎn)求解直線斜率時(shí),需構(gòu)建傾斜角與余弦值的關(guān)系,求離心率則需轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心的關(guān)系等.[5]此外,教師也可以此教學(xué)模式為基礎(chǔ),拓展圓錐其他曲線(如,雙曲線、拋物線等)關(guān)于定比弦問(wèn)題的求解,達(dá)到一打三的學(xué)習(xí)效果.
圓錐曲線中的定比弦問(wèn)題綜合性較強(qiáng),涉及到位置關(guān)系、向量條件以及幾何圖形等,對(duì)學(xué)生分析能力、推理能力等有一定要求.教師應(yīng)以問(wèn)題為基礎(chǔ),有意識(shí)的引導(dǎo)學(xué)生從問(wèn)題中總結(jié)知識(shí)點(diǎn),結(jié)合探究過(guò)程,使學(xué)生在猜想、驗(yàn)證中發(fā)散思維,突顯問(wèn)題情景的價(jià)值,也強(qiáng)化學(xué)生學(xué)習(xí)積極性和有效性.