以“問題解決”為主導(dǎo)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)探究

王 磊

(江蘇省東臺(tái)市安豐中學(xué)，江蘇東臺(tái)，224221)

基于新課程改革標(biāo)準(zhǔn)下，高中數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)應(yīng)分為過(guò)程性目標(biāo)和最終目標(biāo)，讓學(xué)生在過(guò)程中可以收獲更多知識(shí)、技能、意識(shí)、方法等，逐漸匯總完成最終目標(biāo).著名數(shù)學(xué)家哈爾莫斯曾說(shuō)：“問題是數(shù)學(xué)的心臟，在問題和求解中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)”，而問題解決就是建立在這一觀點(diǎn)上，構(gòu)建以學(xué)生為主體的問題情景，這不僅能夠改善傳統(tǒng)課堂中單調(diào)、功利性強(qiáng)的教學(xué)模式，學(xué)生更有興趣，教師教學(xué)效果自然大有提升.

1 以問題解決為主導(dǎo)的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)質(zhì)

數(shù)學(xué)教學(xué)中的問題是非常重要的媒介，合乎邏輯的教學(xué)也應(yīng)建立在問題的基礎(chǔ)上，以“問題解決”為主導(dǎo)與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課堂上先講解理論知識(shí)再解決問題恰恰相反，前者是將問題在前，理論在后，學(xué)生在分析和解決問題的過(guò)程中逐漸摸索到數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的原理和概念，這種探究性的教學(xué)方式不僅能夠充分調(diào)動(dòng)學(xué)生思維，而且也能使學(xué)生對(duì)新知識(shí)的理解更為透徹.除此之外，高中數(shù)學(xué)內(nèi)容越來(lái)越抽象，相應(yīng)的，學(xué)生需要掌握的技能也趨于系統(tǒng)化，在此背景下數(shù)學(xué)本身所含有的原始問題和情景被大大弱化，高中數(shù)學(xué)課堂上幾乎很難看到生成數(shù)學(xué)知識(shí)的背景和發(fā)展歷程.這一教學(xué)模式，甚至可以說(shuō)是教學(xué)慣性，并不利于學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，故此，探究以問題解決為主導(dǎo)的數(shù)學(xué)課堂也是為有效解決傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)存在的弊端，也能使學(xué)生從問題中感受數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)形成的過(guò)程，掌握學(xué)習(xí)思路和方法，培養(yǎng)其建模、邏輯分析、解決問題以及學(xué)以致用等能力.[1]

2 問題解決為主導(dǎo)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)遵循的原則

構(gòu)建問題解決為主導(dǎo)的數(shù)學(xué)課堂，并不是教師簡(jiǎn)單的提出問題，讓學(xué)生思考、探究即可，而是要遵循以下四點(diǎn)基本原則：

2.1 主動(dòng)性原則

思想學(xué)家托爾斯泰曾說(shuō)：“不通過(guò)強(qiáng)制學(xué)生被動(dòng)學(xué)習(xí)就能有效激發(fā)其學(xué)習(xí)欲望，這也在很大程度上決定了教師教學(xué)的有效性”，主動(dòng)性原則亦是如此，遵循這一原則主要目的在于激發(fā)學(xué)生潛在的探索欲，使其成為知識(shí)的探索者、發(fā)現(xiàn)者，而不是被動(dòng)學(xué)習(xí)者，教師和學(xué)生之間的關(guān)系也會(huì)更加和諧.因此，教師要懂得先轉(zhuǎn)變傳統(tǒng)思想，思考所設(shè)計(jì)的問題情景是否符合學(xué)生學(xué)習(xí)所需以及能否提升其學(xué)習(xí)積極性，教師站在幫助學(xué)生構(gòu)建知識(shí)框架的角度，而不是統(tǒng)領(lǐng)所有的角度.

2.2 適度性原則

教師在設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)問題時(shí)要把握好“度”，問題不宜過(guò)難或過(guò)于簡(jiǎn)單，太難容易使學(xué)生產(chǎn)生畏懼、抵觸等不良情緒，不容易后續(xù)教學(xué)進(jìn)度，太簡(jiǎn)單雖然能夠達(dá)到活躍課堂氛圍的效果，但學(xué)生思考時(shí)多是依靠自身儲(chǔ)備的知識(shí)進(jìn)行思考，難以達(dá)到發(fā)散思維，突破認(rèn)知的效果.基于此，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生認(rèn)知能力來(lái)設(shè)計(jì)“問題鏈”，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，層層遞進(jìn)，促使問題與問題之間有聯(lián)系，同時(shí)也降低數(shù)學(xué)問題的復(fù)雜性和抽象性，開發(fā)學(xué)生潛能，使其在無(wú)形中突破重難點(diǎn)知識(shí).[2]

2.3 層次性原則

層次性原則是基于學(xué)生差異性，學(xué)生由于學(xué)習(xí)能力、學(xué)習(xí)習(xí)慣等方面不同，在學(xué)習(xí)新知識(shí)，接受新東西時(shí)的情況也大有不同.作為數(shù)學(xué)教師應(yīng)了解并重視學(xué)生之間的差異性，嚴(yán)格遵守層次性原則，或是以層次劃分，或是以分組的方式展開教學(xué)活動(dòng)，以此來(lái)使學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂上找到歸屬感，并獲得成就感，真正參與其中，才能有效增強(qiáng)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)效性.

2.4 延伸性原則

學(xué)生學(xué)習(xí)任何知識(shí)都是由易再到難，教師在設(shè)計(jì)問題時(shí)應(yīng)遵循這一規(guī)律，借用問題不斷延伸，讓學(xué)生整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程逐漸完整，最終形成系統(tǒng)性的知識(shí)鏈，這樣才能徹底吃透和掌握新知識(shí).除了教學(xué)過(guò)程中的延伸，還包括課外延伸，教師在教學(xué)后應(yīng)留下一些讓學(xué)生思考和回味的問題，形成“完而未完，意味無(wú)窮”的情況，激發(fā)學(xué)生順著教師所給出的線索繼續(xù)探索的興趣，使其從畏懼，過(guò)渡到會(huì)學(xué)，最后到樂學(xué).

3 問題解決為主導(dǎo)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)具備的特點(diǎn)

教師應(yīng)注重問題趣味性、激勵(lì)性、完整性等特點(diǎn).趣味性是指教師設(shè)計(jì)的問題應(yīng)當(dāng)是能夠激發(fā)起學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的，在實(shí)際教學(xué)中往往會(huì)以結(jié)合實(shí)際生活或是游戲、競(jìng)賽等方式達(dá)到這一效果；激勵(lì)性是指教師應(yīng)基于學(xué)生好勝心，分析能夠調(diào)動(dòng)起積極性的問題，使其在解決問題的同時(shí)，自尊心、自信心也能得到滿足；完整性是指教師所設(shè)計(jì)的問題應(yīng)當(dāng)是一個(gè)閉環(huán)，學(xué)生整個(gè)思考過(guò)程是完整的，形成系統(tǒng)性的知識(shí)鏈.

可見，構(gòu)建以“問題解決”為主導(dǎo)的數(shù)學(xué)課堂并不簡(jiǎn)單，作為教師應(yīng)從數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容入手，結(jié)合學(xué)生學(xué)習(xí)特點(diǎn)，思考設(shè)計(jì)問題情景的原則和特點(diǎn)，在此基礎(chǔ)上再去設(shè)計(jì)問題，能夠更好地幫助學(xué)生突破學(xué)習(xí)障礙.

4 以問題解決為主導(dǎo)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)案例分析

4.1 圓錐曲線中的定比弦問題

筆者以圓錐曲線中的定比弦問題為例，首先分析定比弦基礎(chǔ)概念：一條直線與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，在弦AB上存在點(diǎn)M，將弦AB分為固定的兩段，MA和MB的比值為λ，那么AB便叫做C的定比弦，λ為1時(shí)，定比弦即是中心弦(如圖1所示).

圖1

4.2 教學(xué)思路

關(guān)于圓錐曲線中的定比弦問題，首先教師要做的是讓學(xué)生明確定比弦的概念和原理.首先，分析圓錐曲線這一章所研究的圖形，包括三種不同的曲線，分別為橢圓、雙曲線和拋物線.課程內(nèi)容相對(duì)抽象，教師梳理教學(xué)思路后，可以結(jié)合學(xué)生實(shí)際學(xué)習(xí)情況，設(shè)計(jì)大問題，以大問題統(tǒng)領(lǐng)整個(gè)單元教學(xué)，再分設(shè)不同的子問題，以子問題來(lái)逐步引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)，同時(shí)留出學(xué)生自主學(xué)習(xí)、討論、探究、匯報(bào)的時(shí)間，在問題情景下融入小組學(xué)習(xí)、自主學(xué)習(xí)、項(xiàng)目式學(xué)習(xí)等，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性，強(qiáng)化數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效果.

4.3 教學(xué)目標(biāo)

本節(jié)課程教學(xué)重點(diǎn)在于求解曲線標(biāo)準(zhǔn)方程以及不同點(diǎn)在標(biāo)準(zhǔn)位置上的性質(zhì)，掌握不同中點(diǎn)弦問題的解法，以此為基礎(chǔ)，分析“焦點(diǎn)為分點(diǎn)”這一情況的解法，并感受不同解法的通性通法和價(jià)值.

4.4 教學(xué)方法

4.4.1 創(chuàng)設(shè)問題情景，引入數(shù)學(xué)新課

俗話說(shuō)“思維從問題驚訝開始”，為激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，教師可以創(chuàng)設(shè)問題情景，將學(xué)生思維帶入到形象且豐富的問題情景中，引起學(xué)生的好奇心，為之后學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ).[3]

教師向?qū)W生分析圓錐曲線定比弦問題之前，可以以生活中有關(guān)圓錐曲線的案例為引，如，地球環(huán)繞太陽(yáng)的“橢圓軌跡”運(yùn)行，太陽(yáng)則位于“橢圓軌跡”的一個(gè)焦點(diǎn)上，人造衛(wèi)星運(yùn)轉(zhuǎn)所依據(jù)的也是這個(gè)原理；實(shí)際生活中所用到的探照燈，是依據(jù)“圓錐曲線”原理，利用“旋轉(zhuǎn)物面的曲面”制作而成……由此教師提出兩個(gè)問題：如果用一個(gè)平面去截錐面，那么會(huì)得到哪些不同的曲線？實(shí)際生活中關(guān)于圓錐曲線還有哪些應(yīng)用？提出問題后，教師組織學(xué)生進(jìn)行實(shí)踐，用紙張折疊成圓錐曲線，通過(guò)畫圖，思考不同情況下所得到的曲線.待學(xué)生整理匯報(bào)后，教師可以通過(guò)三維模型幫助學(xué)生更加直觀地看到不同角度所截得的曲線，使其初步了解圓錐曲線中的定比弦問題.課后留出大概5分鐘左右的時(shí)間讓學(xué)生思考第二個(gè)問題，一方面能夠緩解學(xué)生緊張的學(xué)習(xí)過(guò)程，另一方面也能發(fā)展學(xué)生想象能力，提升起學(xué)習(xí)興趣.通過(guò)導(dǎo)入問題情景，在新課伊始，就使學(xué)生留下深刻的印象，后期學(xué)習(xí)也會(huì)更為順利.

4.4.2 深入探究問題，實(shí)現(xiàn)再分析再解決

待學(xué)生已經(jīng)在腦海中構(gòu)建關(guān)于圓錐曲線基本雛形后，教師則可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步分析關(guān)于圓錐曲線中的定比弦問題，進(jìn)入到設(shè)計(jì)子問題部分.教師通過(guò)多媒體展示“分點(diǎn)為中點(diǎn)——中心弦”的圖形(如圖2所示)，并展示不同解法的基礎(chǔ)概念.

圖2

① 韋達(dá)定理法：將直線方程與圓錐曲線的聯(lián)立，一般消去y，得到x的一元二次方程，韋達(dá)定理中有兩根之和，中點(diǎn)坐標(biāo)公式中為二分之兩根之和.

② 點(diǎn)差法：設(shè)直線與圓錐曲線兩個(gè)交點(diǎn)為(x1，x2)，(y1，y2)，將其代入到圓錐曲線方程中，因兩式形式相同，相減后無(wú)常數(shù)項(xiàng)，再因式分解，得到直線斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)的一個(gè)式子.

教師帶領(lǐng)學(xué)生分析不同解法的原理后，使其在腦海中對(duì)定比弦問題構(gòu)建知識(shí)鏈雛形，教師再分設(shè)問題，讓學(xué)生根據(jù)自己實(shí)際情況來(lái)選擇回答.一是基礎(chǔ)層：給予實(shí)際例題，讓學(xué)生用不同的方法進(jìn)行求解；二是拓展層：推導(dǎo)韋達(dá)定理中x1x2、y1y2分別等于多少；三是拔高層：嘗試用其他的方式來(lái)求解.基礎(chǔ)層是所有學(xué)生都需要完成的，拓展層、拔高層的問題學(xué)生可以嘗試解答.教師將學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)間分為兩個(gè)階段，一是自學(xué)時(shí)間，二是小組討論時(shí)間，待討論時(shí)間結(jié)束后，再以小組為單位進(jìn)行匯報(bào)，師生共同分析學(xué)生練習(xí)中存在的誤區(qū)、問題以及出現(xiàn)的錯(cuò)誤等，師生溝通構(gòu)建良好的課堂氛圍，同時(shí)也能達(dá)到拓展的目的.

4.4.3 不同情況再討論，深入探究新知識(shí)

學(xué)生學(xué)習(xí)基本情況，掌握基本算法后，教師開始引導(dǎo)學(xué)生深入分析不同的情況，這一部分的教學(xué)任務(wù)并不輕松，一方面是因?yàn)閷W(xué)生在這部分學(xué)習(xí)的知識(shí)點(diǎn)要更難，另一方面在于學(xué)生積極性相對(duì)減弱.[4]因此，教師在設(shè)計(jì)問題情景時(shí)，需要考慮到學(xué)生學(xué)習(xí)情況，設(shè)計(jì)能夠激發(fā)其學(xué)習(xí)熱情的問題.例如，課前導(dǎo)入環(huán)節(jié)教師展示圖2，提出如果以O(shè)為原點(diǎn)，向弦AB上畫線，可以畫多少條？其中那些點(diǎn)比較特殊？問題比較簡(jiǎn)單，而且沿用學(xué)生熟悉的圖形，能夠在一定程度上減輕學(xué)生抵觸心理.學(xué)生很快便可以分析出除A、B、M點(diǎn)之外，弦AB與x軸存在的焦點(diǎn)也比較特殊，借此教師運(yùn)用多媒體展示模型，引導(dǎo)學(xué)生分析如果焦點(diǎn)為分點(diǎn)時(shí)，依然能用韋達(dá)定理和點(diǎn)差法來(lái)求解直線斜率嗎？(圖3).

圖3

教師所提出的問題也能有效拓展學(xué)生解題思路，學(xué)生經(jīng)過(guò)分析、畫圖后，會(huì)發(fā)現(xiàn)以幾何的角度分析會(huì)更加直觀且簡(jiǎn)便，達(dá)到豁然開朗的效果.通過(guò)問題的引入，促使學(xué)生仔細(xì)感受解題的過(guò)程，體會(huì)方法的使用條件，發(fā)散其思維，最終提升其學(xué)習(xí)效果.

4.4.4 思維歷練，應(yīng)用強(qiáng)化

學(xué)生學(xué)習(xí)成效最終體現(xiàn)在自主練習(xí)、解題方面，從得出結(jié)論，到實(shí)際應(yīng)用這一過(guò)程教師需要精心引導(dǎo)，從簡(jiǎn)單的題目開始，學(xué)生思考不同結(jié)論適用的題型，掌握實(shí)際應(yīng)用技巧，實(shí)現(xiàn)活學(xué)活用的目的.

例如，學(xué)生學(xué)習(xí)圓錐曲線中的定比弦問題所得到的結(jié)論是關(guān)于數(shù)式之間的關(guān)系，在實(shí)際求解時(shí)需要靈活變式，教師則需引導(dǎo)學(xué)生具體問題具體分析，根據(jù)實(shí)際問題、已知條件等變換關(guān)系式，就像針對(duì)焦點(diǎn)為分點(diǎn)求解直線斜率時(shí)，需構(gòu)建傾斜角與余弦值的關(guān)系，求離心率則需轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心的關(guān)系等.[5]此外，教師也可以此教學(xué)模式為基礎(chǔ)，拓展圓錐其他曲線(如，雙曲線、拋物線等)關(guān)于定比弦問題的求解，達(dá)到一打三的學(xué)習(xí)效果.

5 結(jié)束語(yǔ)

圓錐曲線中的定比弦問題綜合性較強(qiáng)，涉及到位置關(guān)系、向量條件以及幾何圖形等，對(duì)學(xué)生分析能力、推理能力等有一定要求.教師應(yīng)以問題為基礎(chǔ)，有意識(shí)的引導(dǎo)學(xué)生從問題中總結(jié)知識(shí)點(diǎn)，結(jié)合探究過(guò)程，使學(xué)生在猜想、驗(yàn)證中發(fā)散思維，突顯問題情景的價(jià)值，也強(qiáng)化學(xué)生學(xué)習(xí)積極性和有效性.