基于Laguerre-Voronoi法的三維開(kāi)孔泡沫金屬模型

吳允兵， 陳曄， 聶政威

(南京工業(yè)大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院， 南京 211816)

泡沫金屬是指含有泡沫氣孔的特種金屬材料，它是一種具有超低密度、高比表面積、高比強(qiáng)度，一般孔隙率在40%～97%的具有多孔特性的泡沫狀金屬新型材料[1-2]。開(kāi)孔泡沫金屬由于其相互連通的網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)有著非常大的比表面積，導(dǎo)熱性能好，流動(dòng)阻力相對(duì)較低，結(jié)構(gòu)的擾動(dòng)作用也大大提高了換熱效果[3-5]。開(kāi)孔泡沫金屬是強(qiáng)化對(duì)流換熱的優(yōu)良載體[6-7]，在能源、化工及電子等領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景，故其研究對(duì)工程應(yīng)用具有重要價(jià)值。

該研究領(lǐng)域的許多學(xué)者提出了建立開(kāi)孔泡沫金屬模型的不同方法，從總體來(lái)看主要?dú)w納為三種建模方法。第一種建模方法是利用泡沫的數(shù)字化影像或斷層影像去重新構(gòu)建真實(shí)的泡沫結(jié)構(gòu)，其中使用較多的方式有X射線(xiàn)斷層掃描和磁共振成像，它們以一種非破壞性和非侵入性的方式獲得泡沫內(nèi)部結(jié)構(gòu)[8-9]。第二種方法是采用開(kāi)爾文泡沫空間模型，開(kāi)爾文晶胞結(jié)構(gòu)也稱(chēng)之為十四面體，由十四個(gè)面(八個(gè)六邊形面和六個(gè)四邊形面)和二十四個(gè)頂點(diǎn)組成[10-11]。這種方法構(gòu)建的是理想的周期性泡沫結(jié)構(gòu)，且開(kāi)爾文模型表現(xiàn)出一些特殊的力學(xué)性能，其還未從真實(shí)材料中得到證實(shí)。當(dāng)前已經(jīng)有一些研究人員聲稱(chēng)開(kāi)爾文模型不能真實(shí)呈現(xiàn)泡沫內(nèi)部結(jié)構(gòu)，因?yàn)槠淙狈﹄S機(jī)性而不能真正表現(xiàn)泡沫的某些力學(xué)性能[10]。

為了得到隨機(jī)無(wú)規(guī)律的泡沫結(jié)構(gòu)，許多研究者采用不同的方法來(lái)達(dá)到真實(shí)泡沫的隨機(jī)性，第三種泡沫金屬結(jié)構(gòu)建模的方法隨之出現(xiàn)。目前大多數(shù)研究者通過(guò)Voronoi空間劃分法、Laguerre-Voronoi空間劃分法和Poisson-Voronoi空間劃分法生成泡沫隨機(jī)結(jié)構(gòu)模型[12-13]。在這種建模方法中，需要在空間中隨機(jī)設(shè)定某些點(diǎn)，通過(guò)定義該點(diǎn)最鄰近的空間生成泡沫單孔，這種泡沫結(jié)構(gòu)的隨機(jī)性受到設(shè)定點(diǎn)空間分布的強(qiáng)烈影響。然而，通過(guò)Voronoi空間劃分法產(chǎn)生的泡沫結(jié)構(gòu)每個(gè)頂點(diǎn)的支柱數(shù)量高于真實(shí)泡沫結(jié)構(gòu)的支柱數(shù)量，通過(guò)Poisson-Voronoi空間劃分法產(chǎn)生的泡沫結(jié)構(gòu)參數(shù)也與實(shí)際泡沫不同[14-15]。Wejrzanowski等[15]提出了使用Laguerre-Voronoi空間劃分法建立開(kāi)孔泡沫金屬模型，將所建模型的孔隙率和表面積與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比并修正，結(jié)果表明該模型比另外兩種模型更加貼合實(shí)際泡沫內(nèi)部結(jié)構(gòu)。

為了很好地呈現(xiàn)開(kāi)孔泡沫金屬內(nèi)部結(jié)構(gòu)，現(xiàn)基于Laguerre-Voronoi法對(duì)封閉空間內(nèi)隨機(jī)堆積的球體進(jìn)行空間劃分來(lái)建立開(kāi)孔泡沫金屬三維模型，分析變異系數(shù)對(duì)泡沫孔隙分布的影響，并與商用開(kāi)孔泡沫金屬進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證。

1 模型的建立與方法

1.1 Laguerre-Voronoi空間劃分法

Laguerre-Voronoi空間劃分法是一種基于加權(quán)的Voronoi空間劃分方法[13]。對(duì)于集合S中的任意一點(diǎn)pi，加權(quán)數(shù)ri組成一個(gè)集合r={r1,r2,…,rn}，則集合S中任意點(diǎn)pi和其他任意點(diǎn)q之間的距離表達(dá)式為

dL(pi,q)={[dV(pi,q)]2-ri2}1/2

(1)

式(1)中：dL表示Laguerre幾何中兩點(diǎn)間的距離；dV表示兩點(diǎn)間的歐氏距離。

則點(diǎn)pi所對(duì)應(yīng)的單個(gè)劃分空間表達(dá)式為

vL(pi)={p|p∈R3,dL(p,pi)

(2)

則所有劃分空間的表達(dá)式為

VL(S,r)={vL(p1),vL(p2),…，vL(pn)}

(3)

因此，在空間劃分后所呈現(xiàn)的圖形被稱(chēng)為L(zhǎng)aguerre-Voronoi圖，如圖1所示。

圖1 二維Laguerre-Voronoi圖Fig.1 2D Laguerre-Voronoi diagram

1.2 基于隨機(jī)堆積球體的Laguerre-Voronoi空間劃分法

提供所有堆積球體中心坐標(biāo)所組成的集合S以及相應(yīng)球體半徑的集合r，采用Laguerre-Voronoi空間劃分法劃分固定空間內(nèi)隨機(jī)堆積的球體得到Laguerre-Voronoi圖，其空間劃分方法如圖2所示。

在Laguerre-Voronoi圖中，每個(gè)球體都被相對(duì)應(yīng)的劃分空間單獨(dú)包圍著，相鄰的劃分空間則包圍著相鄰的球體，兩個(gè)相切球面的相切平面就是相應(yīng)多面體的共享面。因此，劃分的空間體積分布受到初始球體體積分布的強(qiáng)烈影響。為了提高計(jì)算效率，采用APDL語(yǔ)言編寫(xiě)的程序腳本運(yùn)行，其中隨機(jī)堆積球體的三維Laguerre-Voronoi圖如圖3所示。

圖2 Laguerre-Voronoi法空間劃分規(guī)則Fig.2 Space division rules of Laguerre-Voronoi method

1.3 建模過(guò)程

由于實(shí)際泡沫制造工藝中存在隨機(jī)性和不完整性，泡沫的孔隙體積變異系數(shù)一般在1.09～2.03，實(shí)際泡沫孔隙體積分布呈現(xiàn)對(duì)數(shù)正態(tài)分布[16]。因此，需要控制固定空間內(nèi)隨機(jī)堆積的球體分布具有一定的對(duì)數(shù)正態(tài)分布。

圖3 基于隨機(jī)堆積球體的三維Laguerre-Voronoi圖Fig.3 3D Laguerre-Voronoi diagram based on randomly stacked spheres

本文所進(jìn)行的開(kāi)孔泡沫結(jié)構(gòu)建模主要包括以下五個(gè)步驟。

(1)利用MATLAB軟件編寫(xiě)程序生成具有規(guī)定尺寸分布的球體，在程序中設(shè)置預(yù)先設(shè)定的球體體積變異系數(shù)CV(V)和平均體積E(V)。

(2)利用LAMMPS軟件運(yùn)行固定立方體空間內(nèi)隨機(jī)堆積該組球體的程序腳本。

(3)在A(yíng)PDL中通過(guò)運(yùn)行程序腳本，利用Laguerre-Voronoi空間劃分法劃分該組隨機(jī)堆積球體模型，獲得相應(yīng)的三維Laguerre-Voronoi圖。

(4)刪除步驟(3)中三維Laguerre-Voronoi圖的堆積球體、每個(gè)球體對(duì)應(yīng)的劃分空間內(nèi)部體積和各空間之間的界面，僅保留各球體劃分空間的棱邊和頂點(diǎn)。

(5)將步驟(4)生成的模型文件導(dǎo)入ANSYS中，將保留的邊緣進(jìn)行圓柱化以生成金屬骨架材料；為減少邊界效應(yīng)并提高計(jì)算效率，在SolidWorks軟件中進(jìn)行模型切割，獲得開(kāi)孔泡沫金屬三維模型。

基于以上五個(gè)步驟給出開(kāi)孔泡沫建模步驟示意圖如圖4所示。

2 結(jié)果與討論

2.1 泡沫孔隙的體積、面和邊數(shù)分布

對(duì)數(shù)正態(tài)分布是許多工程材料結(jié)構(gòu)的特征代表。因此，研究采用對(duì)數(shù)正態(tài)分布來(lái)分析泡沫結(jié)構(gòu)的系列數(shù)據(jù)。對(duì)數(shù)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)表達(dá)式為

(4)

式(4)中：μ和σ分別為變量對(duì)數(shù)的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差，期望值E(x)和方差Var(x)由μ和σ兩個(gè)參數(shù)構(gòu)成，表達(dá)式為

E(x)=e[μ+(σ2/2)]

(5)

Var(x)=(eσ2-1)e2μ+σ2

(6)

變異系數(shù)CV(x)由標(biāo)準(zhǔn)差SD(x)和期望值E(x)構(gòu)成表表達(dá)式為

圖4 開(kāi)孔泡沫金屬三維建模流程示意圖Fig.4 Schematic diagram of 3D modeling process for open cell metal foams

(7)

式(7)中：SD(x)=Var(x)1/2。

圖5～圖7分別呈現(xiàn)的是基于孔密度為20 PPI(pores per linearinch)、球體體積變異系數(shù)CV(V)=0.4的對(duì)數(shù)正態(tài)分布下隨機(jī)堆積球體所形成的泡沫孔隙體積、面數(shù)和邊數(shù)分布直方圖以及采用相應(yīng)參數(shù)擬合對(duì)數(shù)正態(tài)分布。

圖5 泡沫孔隙體積直方圖和相應(yīng)參數(shù)擬合的對(duì)數(shù)正態(tài)分布Fig.5 Histogram of foam pore volumes and lognormal distribution of corresponding parameter fitting

圖6 每個(gè)泡沫孔隙(多面體)面數(shù)直方圖和 相應(yīng)參數(shù)擬合的對(duì)數(shù)正態(tài)分布Fig.6 Histogram of face number per foam pore(polyhedron) and lognormal distribution of corresponding parameter fitting

圖7 泡沫孔隙每個(gè)面的邊數(shù)直方圖和 相應(yīng)參數(shù)擬合的對(duì)數(shù)正態(tài)分布Fig.7 Histogram of edge number of per surface of foam pore and lognormal distribution of corresponding parameter fitting

2.2 泡沫孔隙不均勻性影響

14.629 8,σ= 0.032 5

(8)

5.180 6,σ= 0.003 2

(9)

標(biāo)準(zhǔn)殘差對(duì)于CV(V)f和CV(V)s之間的關(guān)系采用三次擬合，得到表達(dá)式為

CV(V)f=-0.003 4[CV(V)s]3-0.129 5×

[CV(V)s]2+0.648 0CV(V)s+

0.058 8,σ= 0.014 8

(10)

式中：σ為標(biāo)準(zhǔn)殘差。從圖8～圖10可以看出，當(dāng)隨機(jī)堆積球體的球體體積變異系數(shù)以0.2為間隔從0.2遞增到2.0時(shí)，泡沫結(jié)構(gòu)中每個(gè)孔隙的平均面數(shù)從14.58遞減到13.91，泡沫結(jié)構(gòu)中每個(gè)面的平均邊數(shù)從5.17遞減到5.06，但泡沫結(jié)構(gòu)中孔隙體積變異系數(shù)從0.17遞增到0.80。圖10也驗(yàn)證了可以通過(guò)改變隨機(jī)堆積球體的球體尺寸參數(shù)來(lái)控制泡沫結(jié)構(gòu)中孔隙尺寸的變化。

2.3 分析驗(yàn)證

本文模型的驗(yàn)證是基于Wejrzanowski等[15]所做的工作，其中提出泡沫結(jié)構(gòu)的支柱形狀是一個(gè)重要的幾何特征。大多數(shù)已有研究都將Laguerre-Voronoi圖中劃分空間的邊緣簡(jiǎn)化成直徑不變的圓柱體，在一些前者的研究中模型支柱的頂點(diǎn)重疊被忽略不計(jì)，未進(jìn)行相關(guān)的誤差評(píng)估。為了更好地分析泡沫結(jié)構(gòu)，用泡沫孔隙直徑d代替泡沫孔隙體積V，兩者的關(guān)系表達(dá)式為

(11)

圖8 泡沫結(jié)構(gòu)中每個(gè)孔隙的平均面數(shù)與相應(yīng) 隨機(jī)堆積球體的球體體積變異系數(shù)的關(guān)系Fig.8 The relationship between average number of faces per pore in foam structure and sphere volume variation coefficient of corresponding randomly stacked sphere

圖9 泡沫結(jié)構(gòu)中每個(gè)面的平均邊數(shù)與相應(yīng) 隨機(jī)堆積球體的球體體積變異系數(shù)的關(guān)系Fig.9 The relationship between average number of edges per face in foam structure and sphere volume variation coefficient of corresponding randomly stacked sphere

圖10 泡沫結(jié)構(gòu)中孔隙體積變異系數(shù)與相應(yīng) 隨機(jī)堆積球體的球體體積變異系數(shù)的關(guān)系Fig.10 The relationship between variation coefficient of pore volume in foam structure and sphere volume variation coefficient of corresponding randomly stacked sphere

Wejrzanowski等[15]提出了一種頂點(diǎn)重疊的校正方法，引用其校正的泡沫孔隙率和比表面積表達(dá)式為

(12)

Sv=[7.38e-1.35CV(d)E(d)-2πds]-

(13)

式中：CV(d)為孔徑的變異系數(shù)；E(d)為平均孔徑，mm；ds為泡沫骨架支柱直徑，mm。

采用不同孔密度的商業(yè)氧化鋁泡沫對(duì)這里提出的模型進(jìn)行驗(yàn)證，文獻(xiàn)[15]中對(duì)典型樣本進(jìn)行三維X射線(xiàn)斷層掃描來(lái)評(píng)估泡沫結(jié)構(gòu)特性，然后采用圖像分析法對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行測(cè)量，結(jié)果如表1所示。

參考表1中平均孔徑E(d)和孔徑變異系數(shù)CV(d)來(lái)控制球體體積對(duì)數(shù)正態(tài)分布進(jìn)而改變泡沫的孔密度，采用式(12)對(duì)泡沫孔隙率進(jìn)行改變，得到不同孔密度(10、20、30、40 PPI)和不同孔隙率(75%、80%、85%、90%、95%)的三維開(kāi)孔泡沫金屬結(jié)構(gòu)。在不同孔密度以及不同孔隙率條件下，對(duì)理論孔隙率與實(shí)際孔隙率進(jìn)行誤差分析(圖11)，總體來(lái)看，相對(duì)誤差均小于±5%。同時(shí)作理論比表面積和實(shí)際比表面積誤差分析(圖12)圖，對(duì)于孔密度為10 PPI且不同孔隙率下的開(kāi)孔泡沫金屬模型，相對(duì)誤差較大(28%～35%)，這是由于在SolidWorks軟件中模型的切割具有隨機(jī)性所造成的，但是其余泡沫金屬模型相對(duì)誤差均小于20%。

圖13(a)是本文所建立的孔密度為20 PPI泡沫三維模型，泡沫骨架結(jié)構(gòu)是直徑不變的圓柱體，截面形狀為圓形；圖13(b)是基于本文所建立的模型進(jìn)行3D打印的開(kāi)孔泡沫，使用的材料是鑄造鋁合金AlSi10Mg；圖13(c)是從市面上購(gòu)買(mǎi)的由電沉積法制造的孔密度為20 PPI的泡沫銅，從圖13中可以看出泡沫骨架截面形狀為凹三角形。因此，本文建立的三維開(kāi)孔泡沫金屬模型存在一定的誤差，但是可以很好地呈現(xiàn)實(shí)際泡沫的內(nèi)部結(jié)構(gòu)。

表1 三維X射線(xiàn)斷層掃描的泡沫結(jié)構(gòu)Table 1 Foam structure of 3D X ray tomography

圖11 實(shí)際孔隙率誤差分析Fig.11 Error analysis of actual porosities

圖12 實(shí)際比表面積誤差分析Fig.12 Error analysis of actual specific surface areas

圖13 泡沫結(jié)構(gòu)誤差分析Fig.13 Error analysis of foam structure

3 結(jié)論

(2)通過(guò)與理論結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)比分析，整體來(lái)看泡沫孔隙率的相對(duì)誤差小于±5%，比表面積的相對(duì)誤差普遍小于20%；對(duì)商用開(kāi)孔泡沫金屬進(jìn)行電鏡掃描分析，顯示本文所建立的模型存在一定的誤差，但是該開(kāi)孔泡沫金屬建模方法可以很好地呈現(xiàn)實(shí)際泡沫內(nèi)部結(jié)構(gòu)，可以為泡沫結(jié)構(gòu)的研究提供一定的參考。