基于統(tǒng)計(jì)分析閾值的航段油耗分段線(xiàn)性估計(jì)模型

劉志， 陳靜杰

(中國(guó)民航大學(xué)電子信息與自動(dòng)化學(xué)院， 天津 300300)

航空器碳排放量核查的實(shí)質(zhì)是對(duì)飛機(jī)油耗的估計(jì)。航程是影響飛機(jī)油耗的重要因素，兩者間呈現(xiàn)復(fù)雜的非線(xiàn)性特征，不僅表現(xiàn)在全航程下的航班油耗呈顯著非線(xiàn)性，而且對(duì)于單一航段下的航班油耗同樣也呈現(xiàn)出非線(xiàn)性特征，其原因是由于諸如業(yè)載的不同以及運(yùn)行的大氣環(huán)境等其他因素的影響。該非線(xiàn)性復(fù)雜特征為合理、準(zhǔn)確判斷航空運(yùn)輸過(guò)程碳排放量進(jìn)而有效控碳帶來(lái)了諸多困難。如何發(fā)展一種既考慮上述因素而又不必在判斷方法或判斷模型中顯性形式參數(shù)出現(xiàn)，從而使模型簡(jiǎn)化，進(jìn)而利于碳排放量核查，這樣的解決方案值得探索。

從航司與航班層面分別闡述對(duì)于碳排放與油耗估計(jì)的研究現(xiàn)狀。從航司方面，Wang等[1]基于全球松弛度的度量模型和全球Malmquist-Luenberger生產(chǎn)率指數(shù)調(diào)查了碳排放的靜態(tài)和動(dòng)態(tài)效率；Cui等[2]根據(jù)全球航司的實(shí)際數(shù)據(jù)，運(yùn)用BP(back propagation)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，構(gòu)建一個(gè)DEA(data envelopment analysis)模型來(lái)計(jì)算減排分配比例。上述方法是從航司層面探討碳減排問(wèn)題，未涉及對(duì)航班排放的考察，無(wú)法從運(yùn)輸過(guò)程全要素中探討運(yùn)行碳排放減緩的行為，缺少對(duì)航班碳排放集合的微觀刻畫(huà)。

從航班層面，Zhang等[3]通過(guò)擬合QAR(quick access recorder)數(shù)據(jù)的實(shí)際飛行數(shù)據(jù)提取啟動(dòng)參數(shù)之間的關(guān)系，針對(duì)起飛爬升階段提出一種燃油消耗模型；熊歡等[4]公開(kāi)了一種小樣本訓(xùn)練數(shù)據(jù)條件下的飛機(jī)巡航燃油耗量測(cè)量方法；劉家學(xué)等[5]提出一種基于DBN(deep belief network)模型的飛機(jī)下降階段油耗估計(jì)方法；陳靜杰等[6]提出一種重構(gòu)樣本下飛機(jī)油耗增強(qiáng)自適應(yīng)差分進(jìn)化相關(guān)向量機(jī)的預(yù)測(cè)方法，并構(gòu)建飛機(jī)油耗預(yù)測(cè)模型；Huang等[7]通過(guò)對(duì)機(jī)載飛行數(shù)據(jù)記錄器和自動(dòng)相關(guān)監(jiān)視廣播的飛行數(shù)據(jù)建模，探索了一種估算飛機(jī)燃油消耗的新策略；胡楊[8]建立一種基于分位數(shù)回歸的航線(xiàn)油量預(yù)測(cè)模型；文獻(xiàn)[9]提出了一種獨(dú)特的方法量化其節(jié)油性，并提供了在試飛前無(wú)需建模就可以評(píng)估燃油的新方法；姚若霖等[10]分析各飛行階段飛行小時(shí)與油耗特征，建立飛機(jī)油耗區(qū)間估計(jì)，并根據(jù)航線(xiàn)飛行小時(shí)的季節(jié)性特征，提出一種基于飛行小時(shí)的航線(xiàn)油耗預(yù)測(cè)方法。上述方法多針對(duì)航段內(nèi)航班各階段油耗的非線(xiàn)性展開(kāi)討論，幾乎未涉及討論油耗影響因素對(duì)油耗量具體表現(xiàn)的非線(xiàn)性復(fù)雜特征。

為此，現(xiàn)構(gòu)建一種基于統(tǒng)計(jì)分析閾值的運(yùn)輸過(guò)程航段油耗分段線(xiàn)性估計(jì)模型。在飛機(jī)運(yùn)輸過(guò)程航段油耗高階多項(xiàng)式表達(dá)的基礎(chǔ)上，以全航程航段油耗核證重要性指標(biāo)為統(tǒng)計(jì)分析閾值來(lái)設(shè)定多項(xiàng)式表達(dá)線(xiàn)性化分段的依據(jù)，構(gòu)建起航段油耗分段線(xiàn)性估計(jì)模型，使得該模型兼顧科學(xué)計(jì)算準(zhǔn)確性與核證實(shí)操合理性。

1 航程油耗的非線(xiàn)性統(tǒng)計(jì)與合理性分析

1.1 航段油耗非線(xiàn)性統(tǒng)計(jì)分析

1.1.1 全航程航段油耗非線(xiàn)性統(tǒng)計(jì)分析

圖1為某機(jī)型各航程(以航段距離表示，即下文的航段)航班油耗量分布圖。航段較短的情況下，航班油耗量增加得相對(duì)緩慢；航段較長(zhǎng)的情況下，航班油耗量增加得則極為劇烈。由此可得出，全航程航段的航班油耗量呈現(xiàn)為先緩慢增加后逐漸遞增的趨勢(shì)，即全航程航段油耗呈現(xiàn)顯著非線(xiàn)性特征。

圖1中的每一個(gè)點(diǎn)代表一架航班的航班油耗量，且每架航班的油耗量均不相同，體現(xiàn)出不同航段航班油耗量的不連續(xù)性。根據(jù)圖像所呈現(xiàn)出的整體特征，采用分段線(xiàn)性來(lái)描述不連續(xù)區(qū)域的方式是可行的，做該處理后，分段點(diǎn)前后的油耗估計(jì)則可轉(zhuǎn)變?yōu)樵谝欢▍^(qū)間內(nèi)的連續(xù)油耗估計(jì)，該區(qū)間的限制條件為

圖1 某機(jī)型各航班油耗量分布Fig.1 Fuel consumption distribution of each flight of a certain aircraft type

(1)

式(1)中：P′(x)表示多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值；P(x)表示的是多項(xiàng)式的函數(shù)值;δ表示滿(mǎn)足不等式成立的微小量。式(1)表示的是分段點(diǎn)前后某個(gè)區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)和區(qū)間端點(diǎn)油耗量差值的限制性條件，其中，選擇δ1的取值范圍為[0.001，0.005]，δ2的取值范圍為[100，150]。另外，該限制條件的取值范圍可根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行調(diào)整。

1.1.2 單一航段油耗非線(xiàn)性統(tǒng)計(jì)分析

為說(shuō)明單一航段油耗的特征，現(xiàn)給出某一航段油耗的航班油耗量示意圖，如圖2所示?？芍?，每架航班對(duì)應(yīng)的航班油耗量不同，產(chǎn)生這一現(xiàn)象的可能原因有飛機(jī)的飛行姿態(tài)、側(cè)風(fēng)的影響、大氣溫度以及繞飛的情況等。由此可見(jiàn)，單一航段油耗也具有非線(xiàn)性特征。

航班油耗量不僅在總體上呈現(xiàn)出顯著的非線(xiàn)性特征，同時(shí)，對(duì)于單一航段而言，航班油耗量也呈現(xiàn)出非線(xiàn)性特征。綜上所述，航程油耗具有復(fù)雜的非線(xiàn)性特征。

圖2 北京—長(zhǎng)春航班油耗量Fig.2 Fuel consumption of Beijing—Changchun flight

1.2 航段油耗的碳核查合理性分析

圖3為航班油耗與航程的散點(diǎn)圖。當(dāng)航程不同時(shí)，對(duì)航班油耗量的影響也不同。圖中能夠看出以下兩種特征：一方面，飛機(jī)在飛不同的航程時(shí)，所消耗的燃油量明顯不同，燃油消耗量的大小隨航程的增加而增加；另一方面，飛機(jī)在飛相同的航程時(shí)，所消耗的燃油量同樣也呈現(xiàn)出顯著的差異，這一情況尤其體現(xiàn)在飛機(jī)飛長(zhǎng)航程時(shí)。

當(dāng)航程超過(guò)4 000 km時(shí)，所表現(xiàn)出來(lái)的最大燃油消耗量與最小燃油消耗量的差值為10～20 t，其數(shù)據(jù)分散程度的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)數(shù)據(jù)如表1所示。

圖3 航班油耗和航程分布Fig.3 Distribution of flight fuel consumption and range

表1 全航程油耗數(shù)據(jù)分散程度統(tǒng)計(jì)量指標(biāo)Table 1 Statistical index of dispersion degree of fuel consumption data in the whole voyage

在1.1節(jié)中已說(shuō)明航程油耗間具有復(fù)雜的非線(xiàn)性特征，而圖3表示的是航班油耗與航程的具體分布，航程油耗數(shù)據(jù)不連續(xù)，且某些航段不存在油耗數(shù)據(jù)，也從另一個(gè)角度反映了航程油耗數(shù)據(jù)的復(fù)雜非線(xiàn)性。圖3中在某些航段內(nèi)沒(méi)有航班油耗數(shù)據(jù)，是因?yàn)樵谶@些航段內(nèi)航路沒(méi)有開(kāi)通，若在這些區(qū)域內(nèi)做油耗估計(jì)，那么將會(huì)削弱油耗估計(jì)的合理性。因此，可將這些區(qū)域作為航程油耗估計(jì)的限制條件。

2 非線(xiàn)性的線(xiàn)性化

2.1 航段油耗分布性態(tài)分析

判斷數(shù)據(jù)序列的分布性態(tài)可用偏度與峰度來(lái)評(píng)價(jià)。其中，偏度是用來(lái)幫助判斷數(shù)據(jù)序列的分布規(guī)律性的指標(biāo)，而峰度則是一個(gè)用于衡量分布平坦性的度量指標(biāo)。

現(xiàn)以從北京到廣州這一條航段為例，說(shuō)明該航段的分布性態(tài)，其各項(xiàng)指標(biāo)結(jié)果如表2所示，分布性態(tài)曲線(xiàn)如圖4所示。

從表2中看到從北京到廣州這一航段上航班油耗量的均值、中位數(shù)與眾數(shù)均不相同，說(shuō)明數(shù)據(jù)序列的分布不對(duì)稱(chēng)；從峰度與偏度的值可以看出，峰度大于0，偏度也大于0，其分布曲線(xiàn)性態(tài)屬于右偏尖頂峰，這一性態(tài)體現(xiàn)在圖4中。由此得出北京—廣州這一航段上的油耗分布為偏態(tài)分布。而在偏態(tài)情況下，選擇中位數(shù)來(lái)代表從北京到廣州這一航段的航班油耗量。其余航段的航班油耗量均可按照上述方式做篩選。

此時(shí)，經(jīng)過(guò)分布性態(tài)分析后各航段航班油耗如圖5所示。根據(jù)相鄰航段的航班油耗波動(dòng)程度，削弱全航程航段油耗的非線(xiàn)性，用分段線(xiàn)性來(lái)代替非線(xiàn)性是可行的。

表2 北京—廣州航段油耗各指標(biāo)結(jié)果Table 2 Fuel consumption index results of Beijing-Guangzhou Segment

圖4 北京—廣州航段油耗分布性態(tài)圖示Fig.4 Fuel consumption distribution behavior diagram of Beijing—Guangzhou segment

圖5 各航段航班油耗量Fig.5 Fuel consumption of each flight segment

2.2 油耗的非線(xiàn)性估計(jì)

在1.1節(jié)中已說(shuō)明航程與油耗間存在非線(xiàn)性關(guān) 系，而在所有數(shù)據(jù)擬合的方法當(dāng)中，最小二乘法擬合是已被證明的應(yīng)用最為普遍的方法。因此，采用多項(xiàng)式擬合的方法對(duì)航程油耗進(jìn)行非線(xiàn)性估計(jì)。其非線(xiàn)性表達(dá)式為

(2)

式(2)中：ak為多項(xiàng)式的系數(shù)；(xi,yi)為航程與航班油耗組成的點(diǎn)；第二個(gè)式子表示使得(xi,yi)到Pn(x)(即多項(xiàng)式擬合函數(shù))的距離和達(dá)到最小。

由式(2)可知，該式子為a0,a1,…,an的多元函數(shù)，因此高階多項(xiàng)式擬合就可以轉(zhuǎn)化為求解I=I(a0,a1,…,an)的極值問(wèn)題。

依據(jù)多元函數(shù)求解極值的原理，關(guān)于a0,a1,…,an的線(xiàn)性方程組，可以用矩陣描述為

(3)

觀察方程組(3)的系數(shù)矩陣，很明顯，系數(shù)矩陣屬于對(duì)稱(chēng)正定矩陣，因此，可以得到唯一的系數(shù)矩陣，即多項(xiàng)式表達(dá)是唯一的。經(jīng)過(guò)多項(xiàng)式擬合后，可得到對(duì)應(yīng)的非線(xiàn)性估計(jì)模型，即油耗的非線(xiàn)性估計(jì)。

2.3 非線(xiàn)性的分段線(xiàn)性化

為降低非線(xiàn)性估計(jì)模型的復(fù)雜性，將非線(xiàn)性進(jìn)行分段線(xiàn)性化。求其多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式為

(4)

尋找其統(tǒng)計(jì)分析閾值為

(5)

多項(xiàng)式導(dǎo)數(shù)差的絕對(duì)值表示的是多項(xiàng)式函數(shù)的變化率，當(dāng)該變化率達(dá)到限制條件時(shí)，說(shuō)明多項(xiàng)式函數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)存在分段點(diǎn)；于此同時(shí)，當(dāng)多項(xiàng)式函數(shù)差的絕對(duì)值達(dá)到限制條件時(shí)，可縮短分段點(diǎn)所在的區(qū)間，并逐漸逼近分段點(diǎn)，再結(jié)合1.2節(jié)中提到的在沒(méi)有油耗數(shù)據(jù)的區(qū)域內(nèi)進(jìn)行估計(jì)會(huì)削弱油耗估計(jì)的合理性，要求逼近的分段點(diǎn)位置遠(yuǎn)離這些區(qū)域。

經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)確定統(tǒng)計(jì)分析閾值進(jìn)而確定分段點(diǎn)的位置，最終建立分段線(xiàn)性估計(jì)模型。

3 實(shí)例分析

3.1 數(shù)據(jù)來(lái)源

文中的樣本數(shù)據(jù)是源于某航司某機(jī)型實(shí)飛QAR數(shù)據(jù)。

航程采用航段大圓距離[11]、油耗采用發(fā)動(dòng)機(jī)燃油流量對(duì)時(shí)間的積分或累加和的結(jié)果，取整數(shù)有效位數(shù)。

3.2 非線(xiàn)性估計(jì)

在2.1中闡明了航程與航班油耗之間的非線(xiàn)性關(guān)系，并采用多項(xiàng)式函數(shù)描述其非線(xiàn)性。前述航司機(jī)型全航程各航段油耗分布性態(tài)指標(biāo)結(jié)果如表3所示。

從表3中能夠看出，該機(jī)型其他航段的分布性態(tài)均為偏態(tài)性，于是，將不同航程的航班油耗量用其對(duì)應(yīng)的中位數(shù)來(lái)表示。各航段下所取航程油耗的樣本集如圖6所示。

按照2.2節(jié)中給出的多項(xiàng)式擬合的方法，對(duì)圖3航程與航班油耗進(jìn)行非線(xiàn)性擬合，得

y=1.304×10-11x4+2.21×10-7x3-

0.001 092x2+7.814x+2 697

(6)

方程擬合優(yōu)度指標(biāo)R2=0.998 1，擬合度高，結(jié)果是可信的。在一定誤差允許范圍內(nèi)，該表達(dá)式可作為航班油耗與航程的非線(xiàn)性估計(jì)模型，其多項(xiàng)式擬合的結(jié)果如圖6所示。

圖6 多項(xiàng)式擬合模型顯示圖Fig.6 Polynomial fitting model display

3.3 分段點(diǎn)的尋找

按照2.3節(jié)中給出的非線(xiàn)性的線(xiàn)性化方法，尋找分段點(diǎn)的位置，然后用分段點(diǎn)的位置來(lái)區(qū)分不同的分段區(qū)間，最終構(gòu)建出分段線(xiàn)性估計(jì)模型。首先，以步長(zhǎng)100 km為參考，觀察航段的導(dǎo)數(shù)值的變化規(guī)律，由于數(shù)據(jù)量過(guò)多，表格內(nèi)容僅顯示導(dǎo)數(shù)值發(fā)生變化的區(qū)域(下同)，其結(jié)果如表4所示。

由擬合結(jié)果式(6)，其導(dǎo)數(shù)變化如圖7所示，考慮公式(5)約束，這里考慮建議的δ1取值范圍[0.005，0.05]、δ2取值范圍[550，750]。δ1與δ2的取值范圍均相差比較大，需要進(jìn)一步縮小步長(zhǎng)來(lái)確定。

表3 各航段下所取航程油耗與實(shí)際航程油耗 指標(biāo)對(duì)比結(jié)果Table 3 Comparison results of fuel consumption index between the range taken under each segment and the actual range

表4 步長(zhǎng)為100 km的航段導(dǎo)數(shù)值變化區(qū)域Table 4 Variation area of segment conductance value with step length of 100 km

接下來(lái)，分別以步長(zhǎng)50、20、10 km為參考，觀察航段的導(dǎo)數(shù)值的變化規(guī)律，其結(jié)果如表5～表7所示。

表5 步長(zhǎng)為50 km時(shí)的航段導(dǎo)數(shù)值變化區(qū)域Table 5 Variation area of segment conductance value with step length of 50 km

圖7 導(dǎo)數(shù)值變化Fig.7 Variation of derivative value

表6 步長(zhǎng)為20 km時(shí)的航段導(dǎo)數(shù)值變化區(qū)域Table 6 Variation area of segment conductance value with step length of 20 km

表7 步長(zhǎng)為10 km時(shí)的航段導(dǎo)數(shù)值變化區(qū)域Table 7 Variation area of segment conductance value with step length of 10 km

分析表6與表7發(fā)現(xiàn)，步長(zhǎng)為20 km或10 km時(shí)，其導(dǎo)數(shù)值的變化規(guī)律相同。由擬合結(jié)果式(6)，其導(dǎo)數(shù)總體變化趨勢(shì)不變，考慮式(5)約束，這里考慮建議的δ1取值范圍[0.000 2,0.002]、δ2取值范圍[100，140]。由于在2 200 km與6 000 km左右的區(qū)域內(nèi)沒(méi)有對(duì)應(yīng)的航班油耗數(shù)據(jù)，受此限制條件的制約，將分析得到的分段點(diǎn)位置需要進(jìn)行調(diào)整，經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)試，最終分段點(diǎn)的位置確定在2 100 km和4 900 km處。考慮步長(zhǎng)的因素以及航班油耗數(shù)據(jù)分布的限制，最終選取的分段點(diǎn)x為180 km(實(shí)際最短航程)、2 100 km、4 900 km和9 669 km(實(shí)際最大航程)。

3.4 分段線(xiàn)性估計(jì)模型

基于統(tǒng)計(jì)分析閾值的航段油耗分段線(xiàn)性估計(jì)模型如圖8所示。

求得該分段估計(jì)模型的表達(dá)式為

(7)

圖8 航段油耗分段線(xiàn)性估計(jì)模型Fig.8 Piecewise linear estimation model of fuel consumption in segment

4 結(jié)論

構(gòu)建了一種基于統(tǒng)計(jì)分析閾值的航段油耗分段線(xiàn)性估計(jì)模型。首先分析航段油耗間存在的復(fù)雜非線(xiàn)性特征，不僅在全航程航段油耗表現(xiàn)為非線(xiàn)性，而且單一航段油耗也表現(xiàn)為非線(xiàn)性；其次，對(duì)航段油耗做高階多項(xiàng)式擬合，達(dá)成對(duì)航段油耗的非線(xiàn)性估計(jì)；隨后，為降低非線(xiàn)性的復(fù)雜程度，將非線(xiàn)性線(xiàn)性化，確定統(tǒng)計(jì)閾值，尋找分段區(qū)間的分段點(diǎn)，最終建立飛機(jī)油耗分段線(xiàn)性估計(jì)模型。實(shí)例分析結(jié)果表明了方法的有效性。