Hadamard 缺項(xiàng)冪級(jí)數(shù)及雙曲完備極小曲面

張建肖，劉曉俊

（上海理工大學(xué) 理學(xué)院，上海 200093）

1 問題的提出

極小曲面理論是近年來發(fā)展較快的一個(gè)數(shù)學(xué)分支，它廣泛存在于自然界當(dāng)中。關(guān)于極小曲面的很多問題也源于自然界，這就為學(xué)者們更好地了解極小曲面的性質(zhì)創(chuàng)造了有利條件。1954 年，Calabi[1]提出了以下2 個(gè)猜想：

猜想1包含于 R3的半空間中的完備極小曲面一定是平面。

猜想2R3中的完備極小曲面是 R3中的無界子集。

1980 年，Jorge 等[2]利用Runge 逼近定理證明了存在位于 R3中2 個(gè)平行平面之間非平坦的完備極小曲面，從而否定了猜想1。

1996 年，Nadirashvili[3]利用Runge 逼近定理否定了猜想2，證明了存在極小浸入到 R3中單位球的具有負(fù)Gauss 曲率的完備極小曲面。但是，他們的證明只是表明存在相應(yīng)的極小曲面，沒有給出具體的滿足條件的極小曲面的例子。

于是，這就需要學(xué)者們對(duì)于能否構(gòu)造出具體的完備極小曲面實(shí)例進(jìn)行深入的研究。

1992 年，Brito[4]利用Hadamard 缺項(xiàng)冪級(jí)數(shù)構(gòu)造了 R3中位于2 個(gè)平行平面間的完備極小曲面族，給出了實(shí)例，得到定理1。

由此，只要令Weierstrass 表示中的f=1且g=h′，即可得到 R3中2 個(gè)平行平面間的完備極小曲面族。于是，研究發(fā)現(xiàn)Hadamard 缺項(xiàng)冪級(jí)數(shù)與完備極小曲面存在緊密的聯(lián)系。

根據(jù)定理1 的條件a 和b 可知，當(dāng)j充分大時(shí)，趨向于 ∞ 的速度遠(yuǎn)大于趨向于0 的速度。于是，自然地可以提出如下問題：能否減弱此條件。

受到1991 年孫道椿[5]證明方法的啟發(fā)，作者繼續(xù)研究能否構(gòu)造出位于 R3中2 個(gè)平行平面間的完備極小曲面，得到定理2。

2 定義與符號(hào)

設(shè) Δ為復(fù)平面 C 中的單位圓盤，現(xiàn)討論由 Δ參數(shù)化的完備極小曲面。

現(xiàn)給出Hadamard 缺項(xiàng)冪級(jí)數(shù)的定義。

定義1[6-7]若f(z)=是一個(gè)收斂半徑為1 的冪級(jí)數(shù)，其中，z∈C，且滿足

nj+1/nj≥q＞1,j=1,2,···，

則稱f(z)為Hadamard 缺項(xiàng)冪級(jí)數(shù)。

關(guān)于缺項(xiàng)冪級(jí)數(shù)的更多結(jié)果可參見文獻(xiàn)[8]。

定義2[9-10]R3中平均曲率恒為零的曲面稱為極小曲面。

定義3[10]設(shè)D是 R2中的開子集，γ:[0,a)→D是D內(nèi)的連續(xù)曲線。若對(duì)D的任意緊子集K，存在t0，0＜t0＜a，對(duì)任意t∈(t0,a)，有 γ(t)?K，則稱 γ是發(fā)散的，記作 γ→?D。

定義4[10]設(shè)I:D?R2→R3是一個(gè)浸入，且D具有誘導(dǎo)度量，即‖v‖D=，這里I*:Tz(D)→TI(z)(R3)是浸入I的切映射。若對(duì)于任意的光滑發(fā)散曲線 γ:[0,a)→D，其在誘導(dǎo)度量下的弧長為無窮大，則稱浸入I:D?R2→R3是完備的。

定義5[11-13]設(shè)單連通區(qū)域D?C,f:D→C 是D上的全純函數(shù)，g:D→是D上的亞純函數(shù)，滿足若z0是g的k(≥1)重極點(diǎn)，則z0是f的 2k重零點(diǎn)；反之亦然。令則稱x=(x1,x2,x3):D→R3為極小曲面M的Enneper-Weierstrass 表示，或簡稱Weierstrass 表示，(f,g)稱為極小曲面M的Weierstrass 表示對(duì)，由(f,g)生成的極小曲面可記為M(f,g)。

此時(shí)，M上的度量定義為

3 定理2 的證明

對(duì)于任意的k∈N，令

每一個(gè)Rk都是一個(gè)寬度為的環(huán)，且對(duì)于充分大的k，每個(gè)環(huán)形Rk互不相交。

由式(3)可得，

另一方面，由定理2 的條件b 可得，存在k2∈N,k2≥k1，使得

因?yàn)椋?dāng) 0＜x＜1時(shí)，ln(1-x)＜-x，又根據(jù)定理2 的條件a 可得，

由定理2 的條件b 可知，對(duì)于充分大的k，nk+1＞2nk，又由于當(dāng)x＞a時(shí)，函數(shù)xe-x/a是遞減函數(shù)，故

再由定理2 的條件b 和式(7)可得，存在k3∈N,k3≥k2，使得

由式(4)～(6)和式(8)可得，存在k0∈N,k0≥k3，使得

取 Δ內(nèi)的發(fā)散曲線 γ，對(duì)于任意的k≥l，l∈N，γ必定穿過Rk，則

根據(jù)定理2 的條件c 可以得到最后的不等式。所以，定理2 得證。

設(shè)h(z)=，z∈C，其中，aj=,nj=(16e)j。易得h(z)滿足定理2 的條件a～c，但不滿足定理1 的條件b。

4 推論

設(shè)A(Δ)是由在單位圓盤 Δ內(nèi)的解析的函數(shù)構(gòu)成的集合。

推論1存在h∈A(Δ)，使h′是 R3中一個(gè)完備極小曲面M的Gauss 映射，其中，M位于 R3中的2 個(gè)平行平面之間。

證明設(shè)M為Weierstrass 表示中取f=1,g=h′所得的極小曲面，其中，h滿 足定理2 的條件，則h∈A(Δ)。

由于 λ(z)|dz|=，由定理2 可以得出此度量是完備的，所以，h′是 R3中一個(gè)完備極小曲面M的Gauss 映射。又由于

所以，M位于 R3中的2 個(gè)平行平面之間。

推論1 的證明過程與Brito[4]的推論相同。