模糊數(shù)列的加權缺項統(tǒng)計收斂和加權缺項收斂

馮 雪

（青海民族大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，青海 西寧 810007）

數(shù)列統(tǒng)計收斂的概念由Fast[1]和Schoenberg[2]最早引入，作為一種可和性方法,統(tǒng)計收斂的研究得到了 Fridy、[3]Freedman、[4]Fridy 和 Orhan、[5,6]Mursaleen、[7]Savas[8]等人的重視.1965 年Zadeh[9]提出了模糊集合的概念并給出了模糊集合的運算法則,隨后，Mathloka[10]對模糊數(shù)列進行了更深入的研究，得到了有界性、收斂性及其他相關性質(zhì).2001年，Savas[10]討論了模糊數(shù)列的統(tǒng)計收斂，并證明如果模糊數(shù)列收斂，那么可以表示為一個普通收斂的模糊數(shù)列與一個自然密度為零的模糊數(shù)列的和.2012年,Mursaleen等人[11]給出了加權統(tǒng)計收斂的定義，并利用其證明了Korovkin逼近定理.2014年，M.Basarir和S.Konca[12]提出了實數(shù)列加權缺項統(tǒng)計收斂的概念.本文以缺項數(shù)列和加權數(shù)列為框架，研究了加權缺項統(tǒng)計收斂的模糊數(shù)列空間和加權缺項收斂的模糊數(shù)列空間，并且給出兩種收斂空間的包含關系，若則（即；若且 pkD(xk,x0)≤ M,則（即當 pkD(xk,x0)≤ M 時,

1 預備知識和定義

模糊數(shù)u是指在實數(shù)R上的模糊集u，若u是正規(guī)的凸模糊集，且隸屬度函數(shù)u(x)上半連續(xù)、支撐集為緊集.E1表示所有模糊數(shù)所 組 成 的 集 合.對， 水 平 截 集是一個閉區(qū)間.對u,v∈E1,k∈R，加法運算和數(shù)乘運算定義為

模糊數(shù)u,v∈E1之間距

其中D表示Hausdorff距離，(v-(r),v+(r) ) 分別是[u]r,[v]r的左右端點.表示零模糊數(shù).

N表示自然數(shù)集,集合的自然密度定義為其中|A|表示A的元素個數(shù)[13].

設θ={kr}是缺項數(shù)列,p={pk}是加權數(shù)列,定義

Qr并 且如果對所有的k∈N,當{pk}=1時， Hr,Pkr,Pkr-1,Qr和退化為hr,kr,kr-1,qr和Ir.

2 模糊數(shù)列空間 S?(Nˉ,θ)及空間的相關性質(zhì)

定義2.1模糊數(shù)列x={xk}加權缺項統(tǒng)計收斂于模糊數(shù)x0,對?ε＞0,有

記作

加權缺項統(tǒng)計收斂的模糊數(shù)列空間記作:

注2.1當{pk}=1 時,模糊數(shù)列空間退化.其中

注2.2當時,模糊數(shù)列空間退化 S～(Nˉ).其中

注2.3當時,模糊數(shù)列空間退化.其中

定理2.1如果liminfQr＞ 1 ，那么r成立.

證明 設limri nfQr＞1,則存在 δ＞0,使得當 δ充分大時有Qr≥1+δ,即

那么

因為故因此

定理2.2如果那么成立.

證明 設則存在 β＞0,使得對所有有Qr＜β.

設即對存 在 r0∈N,當 r＞r0時,有成 立.記為任意整數(shù)且Kr-1≤n≤Kr,

則

所以因此

推論2.1若則

定理2.3如果對所有的k∈N有那么

證明 由{pk}＜1可得Hr＜hr,那么存在常數(shù)M1,使得設則

可得

因此,

定理2.4如果對所有的k∈N有且有上界,那么

證明 由，可得 H＞h,再由有上界

rr可得，存在常數(shù) M,使得設

2則可得

因此， S?(Nˉ,θ)? S?(θ).

3 模糊數(shù)列空間 W?(Nˉ,θ)及其相關性質(zhì)

定義3.1加權缺項收斂的模糊數(shù)列空間：

注3.1設x={xk},則

分別稱模糊數(shù)列x={xk}加權缺項收斂于模糊數(shù)x0，加權缺項收斂于模糊數(shù)0ˉ和加權缺項有界.

注3.2當{pk}=1時,模糊數(shù)列空間 W?(N ˉ ,θ) 退化為.其中

注3.3 當 θ={kr}={2r}時,模 糊 數(shù) 列 空 間W?(N ˉ ,θ)退化 W?(Nˉ).其中

注3.4當{pk}=1， θ={kr}={2r}時,模糊數(shù)列空間 W?(N ˉ ,θ)退化 W?.其中

定理 3.1 空間有

如下包含關系成立：

證明 顯然成立.設則

由上面不等式可知所以模糊數(shù)列故

定理 3.2 空間是 R上的線性空間.

證明 僅證明其他類似.設

可以證明

事實上，由于

所以

再由

可得

所以因此，W?0(Nˉ,θ)是線性空間.

模糊數(shù)列加權缺項收斂有如下結論：（定理證明過程類似于定理1.1～定理3.2）

定理3.3如果limri nfQr＞1，那么

推論3.1若1則

定理3.5若對所有的k∈N有{pk}＜1，那么

定理3.6若對任意k∈N有{pk}＞1，且有上界，那么

4 模糊數(shù)列空間與之間的關系

定理 4.1 對于空間有如下包含關系成立.

證明設

則對?ε＞0，有

所以

定理4.2若存在常數(shù)M使得 pkD(xk,x0)≤M,那么

證明設

則對?ε＞0,有

所以

5 結 論

文中主要給出了兩種新的模糊數(shù)列收斂的概念——加權缺項統(tǒng)計收斂和加權缺項收斂.同時，定義了加權缺項統(tǒng)計收斂的模糊數(shù)列空間 S?(Nˉ,θ)和加權缺項收斂的模糊數(shù)列空間W?(Nˉ,θ)，并在研究空間性質(zhì)的基礎上證明了相關定理.最后，討論了兩種模糊數(shù)列空間的包含關系，結果表明，

（1）

（2） 當時，

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