一類多調(diào)和方程邊值問題的可解性研究

周子豪，鐘金標(biāo)

（安慶師范大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，安徽 安慶 246133）

1 問題的提出

多調(diào)和方程邊值問題的研究，是橢圓型方程組邊值問題研究的重要內(nèi)容之一。文獻(xiàn)[1]研究了問題

的廣義解，并在Sobolev空間中利用嵌入定理等理論，證明了廣義解在一定條件下的存在性。針對問題

文獻(xiàn)[2]利用多層S位勢，推出了問題（2）的唯一積分表示解，其中，D?R2是一個(gè)有界的Lipschitz區(qū)域。文獻(xiàn)[3-5]亦對多調(diào)和方程邊值問題解的存在性進(jìn)行了研究。相比于雙調(diào)和方程或者其他方程而言，多調(diào)和方程邊值問題的研究具有一般性，問題考察的領(lǐng)域更廣泛。因此，本文考察多調(diào)和方程邊值問題：

的可解性，這里Ω?Rn是一個(gè)有界光滑區(qū)域。引入新變量

本文利用不動(dòng)點(diǎn)定理和上下解方法，證明了問題（3）存在古典正解。文獻(xiàn)[1-2]中研究的問題和所給的條件較為復(fù)雜，不具有一般性。本文所討論問題的非線性項(xiàng)與文獻(xiàn)[1]中研究的問題（1）和文獻(xiàn)[2]中討論的問題（2）所給條件不同，解決問題的方法也不同。

2 相關(guān)引理

本文主要使用了以下引理。

引理2設(shè)條件(H1)成立，若問題（3）存在解，則解非負(fù)。

證明通過變量轉(zhuǎn)換將問題（3）轉(zhuǎn)化為問題（4）。由條件(H1)知-Δu2m=f(x,u1)≥0，即-Δu2m≥0。由引理1 可知，即u2m≥0。于是可以依次推出-Δu2m-1=u2m≥0，-Δu2m-2=u2m-1≥0，-Δu2m-3=u2m-2≥0，…，-Δu1=u2≥0。由引理1可知uk≥0(k=1,2,3,…,2m)，所以問題（4）的解非負(fù)，從而問題（3）的解非負(fù)。

引理3[7]（Leray-Schauder 不動(dòng)點(diǎn)定理）設(shè)T是Banach 空間B到自身的緊映射，假設(shè)存在一個(gè)常數(shù)M，使得‖x‖B＜M對所有滿足x=σTx，x∈B，σ∈[0,1]的x成立，則T有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。

3 多調(diào)和方程邊值問題解的存在性

定理1設(shè)條件(H4)成立，則對σ∈[0,1]而言，向量方程

只有零解。

證明問題（8）等價(jià)于

在問題（9）中，對第一個(gè)方程兩邊乘以u1，第二個(gè)方程兩邊乘以u2，第三個(gè)方程兩邊乘以u3，…，第2m個(gè)方程兩邊乘以u2m，并均在Ω上積分，得

利用Green恒等式和Cauchy不等式，得

再利用Poincare不等式，得

定理2設(shè)條件(H1)、(H2)、(H4)成立，則問題（5）存在正解，即問題（3）存在正解。

證明設(shè)U=TV是問題

4 多調(diào)和方程邊值問題解的唯一性

非線性偏微分方程邊值問題解的唯一性很難確定，下面針對m=1這個(gè)特殊情形，討論問題（3）解的唯一性。當(dāng)m=1時(shí)，問題（3）可轉(zhuǎn)換成

定理3設(shè)條件(H3)成立，則問題（14）最多只有一個(gè)解。

證明設(shè)u和v是問題（14）的兩個(gè)解，則分別成立

將上述兩個(gè)方程相減，得到-Δ2(u-v)=f(x,u)-f(x,v)。將此式兩邊同時(shí)乘以(u-v)，并在Ω上積分，得

從而u=v，即問題（14）最多只有一個(gè)解。

5 應(yīng)用舉例

綜上所述，本文所討論的問題（3）是較為一般的多調(diào)和方程邊值問題，非線性項(xiàng)f(x,u)要求滿足的條件也比較普通，從而其所討論的范圍比較廣，下面舉例說明。

例1考察問題

解的存在性，其中Ω?Rn是一個(gè)有界光滑區(qū)域，并且-Δ 算子在區(qū)域Ω中0-Dirichlet邊值問題的第一特征值λ1＞1。

解此例中f(x,u)=，易驗(yàn)證f(x,u)滿足條件(H1)和(H2)，且m(x)=因此，根據(jù)定理2可知問題（15）存在正解。

例2考察問題

解的唯一性。

解此例中f(x,u)=u2，易驗(yàn)證f(x,u)滿足條件(H3)。因此，根據(jù)定理3可知問題（16）最多只有一個(gè)解。