考慮增材制造傾角約束的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法

0 引言

拓?fù)鋬?yōu)化因其不依賴于初始結(jié)構(gòu)及工程人員的經(jīng)驗(yàn)，可以獲得滿足優(yōu)化目標(biāo)的創(chuàng)新構(gòu)型

。然而，拓?fù)鋬?yōu)化得到的幾何構(gòu)型往往比較復(fù)雜，采用傳統(tǒng)的減材制造工藝加工十分困難甚至可能無(wú)法制造

，增材制造技術(shù)采用特殊的制造工藝，可以制造出構(gòu)型復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，推動(dòng)了拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)的應(yīng)用。但增材制造技術(shù)受限于其層層堆疊的制造原理，將要打印的結(jié)構(gòu)只有被完全支撐才能打印出來(lái)，在宏觀上表現(xiàn)為結(jié)構(gòu)的傾角必須不小于設(shè)備可打印傾角的臨界值，否則會(huì)在制造的過(guò)程中出現(xiàn)坍塌現(xiàn)象，無(wú)法得到所設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)。需要指出的是，不同設(shè)備和工藝可打印傾角的臨界值不同，通常大于40度

。針對(duì)上述問(wèn)題，Wu等以需要打印的模型為邊界，控制菱形網(wǎng)格的長(zhǎng)寬比及結(jié)構(gòu)的最小壁厚，使其滿足增材制造的工藝要求，最終得到以菱形結(jié)構(gòu)為單胞填充模型的拓?fù)錁?gòu)型

。Brackett等在拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)中，對(duì)傾角不能滿足自支撐的桿件進(jìn)行懲罰處理，優(yōu)化得到需要支撐材料最少的拓?fù)錁?gòu)型

。

從現(xiàn)有的研究成果分析發(fā)現(xiàn)，目前主要考慮的方法是減少支撐結(jié)構(gòu)，但是后期的拆除過(guò)程中可能會(huì)影響原始結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和性能，而存在于結(jié)構(gòu)封閉內(nèi)部的支撐結(jié)構(gòu)無(wú)法被拆除。因此，本文從微觀角度出發(fā)，基于增材制造層層堆積的原理，建立滿足增材制造傾角約束的單元密度更新迭代規(guī)則，以結(jié)構(gòu)的柔度最小為優(yōu)化目標(biāo)建立數(shù)學(xué)模型，對(duì)優(yōu)化模型進(jìn)行求解，得到了具有傾角約束的拓?fù)錁?gòu)型。通過(guò)典型算例和實(shí)驗(yàn)對(duì)所提出的方法進(jìn)行驗(yàn)證。

1 增材制造傾角約束的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)

1.1 考慮增材制造傾角約束的單元密度更新迭代規(guī)則

如圖1所示為矩形的設(shè)計(jì)區(qū)域，將其均勻離散

×

為個(gè)單元，每個(gè)單元均與初始密度變量

(

,

)關(guān)聯(lián)，每個(gè)單元的可打印密度

(

,

)與其初始密度

(

,

)相關(guān)，其中

和

分別表示單元在豎直方向和水平方向的位置，

方向?yàn)榇蛴》较?，第一層位于基底上，該層的索引?hào)為

=1。根據(jù)增材制造層層堆疊的原理，位于(

,

)處的單元只有被已打印層充分支撐才可打印。每個(gè)單元的支撐區(qū)域?yàn)?/p>

(

,

)，支撐區(qū)域

(

,

)為該單元正下方及其相鄰的各個(gè)單元組成。

依靠基底支撐的單元(

=1)都可以直接打印，對(duì)于

>1層的各個(gè)單元被完全支撐，每個(gè)單元的可打印密度為：

我在尋訪團(tuán)中年齡最小，同學(xué)們都是一些95后。突出的困難就是沒(méi)有改革開(kāi)放40年的完整經(jīng)歷，沒(méi)有在社會(huì)工作的真實(shí)體驗(yàn)。

對(duì)上述問(wèn)題，可以通過(guò)如下的加權(quán)求和的辦法修正校驗(yàn)．設(shè)UPC加權(quán)求和的權(quán)數(shù)為(ω1,ω2,…,ω12)=(3,1,3,1,3,1,3,1,3,1,3,1)，可以算得商品項(xiàng)目代碼0 8 9 6 0 0 1 2 4 5 6的加權(quán)和為

(1)

如圖2所示為Michell梁結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)域示意圖，Michell梁的長(zhǎng)為L(zhǎng)=180，高為H=90，在梁結(jié)構(gòu)底部下邊界中心施加豎直向下的集中力，其中梁結(jié)構(gòu)的左下角固定，右下角簡(jiǎn)支。

1.2 增材制造的傾角約束

為了便于進(jìn)行敏度分析，將迭代模型采用光滑近似的可微形式進(jìn)行表示，定義如下的近似形式：

對(duì)60例乳腺癌患者的70個(gè)病灶，其中有37個(gè)惡性病灶，占據(jù)比例為52.85%，即為29個(gè)浸潤(rùn)性導(dǎo)管癌、3個(gè)導(dǎo)管原位癌、1個(gè)導(dǎo)管內(nèi)乳頭狀癌、1個(gè)小葉原位癌、1個(gè)浸潤(rùn)性小葉癌、1個(gè)混合癌、1個(gè)黏液癌。33個(gè)良性病灶，占據(jù)比例即為47.14%，15個(gè)纖維腺瘤、5個(gè)導(dǎo)管內(nèi)乳頭狀瘤、5個(gè)纖維囊性乳腺病、2個(gè)良性葉狀腫瘤、1個(gè)乳腺慢性炎癥、1個(gè)放射狀瘢痕、1個(gè)復(fù)合性硬化性腺病、1個(gè)重度不典型增生、1個(gè)脂肪瘤、1個(gè)錯(cuò)構(gòu)瘤。

(2)

(3)

(4)

(4) 模塊配置.根據(jù)具體需求結(jié)合配置規(guī)則庫(kù),檢索出符合設(shè)計(jì)要求的模塊,并對(duì)模塊進(jìn)行組合、替換,完成設(shè)備模塊配置方案.配置規(guī)則庫(kù)的建立需要對(duì)企業(yè)長(zhǎng)期積累的設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行歸納總計(jì).

(5)

式中：

是單元支撐區(qū)域每一層的單元數(shù)，

=3；

和

是調(diào)節(jié)光滑近似模型的參數(shù)。

(

,

)=smin(

(

,

),

(

,

))

(6)

(

,

)=smin(

(

,

),

(

-1,

))

(7)

(

,

)=smax(

(

-1,

-1),

(

-1,

),

(

-1,

+1))

(8)

(

,

)=smax(

(

-2,

-1),

(

-2,

),

(

-2,

+1))

(9)

因?yàn)槊總€(gè)拉格朗日乘子矢量均由其上面兩層的相關(guān)乘子矢量決定，因此評(píng)估的順序是從上往下逐層進(jìn)行的，這與瞬態(tài)問(wèn)題的伴隨靈敏度分析方法類似，所以：

(10)

所以增材制造傾角約束的模型可以表示為：

2 拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型及求解

2.1 拓?fù)鋬?yōu)化模型

采用基于固體各向同性材料懲罰模型(Solid Isotropic Material with Penalization，SIMP)

的連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法，以可打印結(jié)構(gòu)的柔度

最小為優(yōu)化目標(biāo)，以增材制造傾角約束和給定體積分?jǐn)?shù)以及力學(xué)控制方程為約束條件建立拓?fù)鋬?yōu)化模型如下：

2.1 葉面噴施生長(zhǎng)調(diào)節(jié)劑 對(duì)僵苗現(xiàn)象嚴(yán)重的水稻田塊還應(yīng)噴施葉面肥和生長(zhǎng)調(diào)節(jié)劑，如僵苗靈、肥力素、活力素、葉肥王等，以調(diào)整植株生理活性，增強(qiáng)抗性，促進(jìn)水稻的快速恢復(fù)生長(zhǎng)。

(11)

式中：

為目標(biāo)函數(shù)，即結(jié)構(gòu)的整體柔度值；

為整體剛度矩陣；

為整體位移；

為外載荷矢量；

(

)為結(jié)構(gòu)優(yōu)化后的體積；

為結(jié)構(gòu)的初始體積；

為給定體積分?jǐn)?shù)；

為結(jié)構(gòu)的傾角約束等式即增材制造的傾角約束。

2.2 靈敏度分析及模型求解

在式(11)的拓?fù)鋬?yōu)化模型中，目標(biāo)函數(shù)

關(guān)于設(shè)計(jì)變量的敏度表達(dá)式為：

(12)

其中

(13)

(14)

(15)

式中：smin和smax分別采用式(3)和(4)的近似形式，需要指出的是第

層的可打印密度與第1層到第

-1層的可打印密度均密切相關(guān)。為了使敏度求解過(guò)程更高效，采用伴隨公式表達(dá)可打印密度與初始密度之間的關(guān)系：

(16)

3 數(shù)值算例及實(shí)驗(yàn)

3.1 Michell梁數(shù)值算例

式中：

(

,

)為每次迭代后(

,

)處單元的可打印密度值；

(

,

)為每次迭代前(

,

)處單元的初始密度值；

(

,

)為(

,

)處單元支撐區(qū)域內(nèi)各單元可打印密度的最大值；

(

,

)為(

,

)處單元支撐區(qū)域內(nèi)各層最大可打印密度中的最小值。

材料的彈性模量為1，泊松比為0.3，集中載荷F=1(所有量均為相對(duì)值，無(wú)量綱，下文同)，給定體積分?jǐn)?shù)為0.5?；谟邢拊碚?，采用四節(jié)點(diǎn)單元將設(shè)計(jì)域離散為180×90的網(wǎng)格模型，以結(jié)構(gòu)的柔度最小為優(yōu)化目標(biāo)，定義水平面為基底，豎直向上為結(jié)構(gòu)的打印方向。單元密度更新迭代規(guī)則光滑近似模型的相關(guān)參數(shù)設(shè)定為

=10

,

=40,

=0

5。

分別進(jìn)行無(wú)傾角約束和有傾角約束的Michell梁拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，得到拓?fù)錁?gòu)型如表1所示，從圖中可以看出，無(wú)傾角約束和有傾角約束的拓?fù)錁?gòu)型完全不同，主要表現(xiàn)在有傾角約束的拓?fù)錁?gòu)型，構(gòu)件與水平面所成的夾角均比較大，而無(wú)傾角約束的拓?fù)錁?gòu)型，其構(gòu)件的角度有大有小，甚至存在近似為零的情況，這種完全懸空的結(jié)構(gòu)無(wú)法直接進(jìn)行增材制造。

三要突出圍繞農(nóng)業(yè)增效加快農(nóng)田灌排設(shè)施建設(shè)，內(nèi)河圩堤與沿河低洼地內(nèi)的農(nóng)田按照 “防洪、擋水、搶排、抽排、降漬、蓄水、引水、提水、調(diào)整結(jié)構(gòu)”等思路建設(shè)好農(nóng)田水利綜合治理小區(qū)，加快內(nèi)河圩堤和沿河低洼地內(nèi)的農(nóng)田水利工程治理步伐；按照“蓄、引、提、調(diào)”的要求，以澗溝或小流域?yàn)閱卧蠼昂?、?kù)、塘、渠、站、水保”為一體的“長(zhǎng)藤結(jié)瓜”式的工程，重點(diǎn)建成一批活庫(kù)、活塘工程，切實(shí)提高丘陵區(qū)防洪和水源的供給能力，推進(jìn)以塘壩擴(kuò)挖、溝河疏浚、集體泵站更新改造（機(jī)井建設(shè)）和基層水利服務(wù)體系建設(shè)為主要內(nèi)容的“三加一”工程建設(shè)。

為了更加直觀地表現(xiàn)所添加的傾角約束能夠控制拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的最小傾角，分別對(duì)無(wú)傾角約束和有傾角約束拓?fù)錁?gòu)型的典型傾角進(jìn)行測(cè)量，角度編號(hào)如圖3(a)、(b)所示。由于Michell梁的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是左右對(duì)稱的，因此測(cè)量任意邊的典型傾角即可，本文測(cè)量結(jié)構(gòu)右邊的典型傾角，各角度值的大小如表2所示。

從拓?fù)錁?gòu)型和實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以得出：無(wú)傾角約束拓?fù)錁?gòu)型結(jié)構(gòu)傾角的范圍很大，傾角小于臨界值的地方會(huì)出現(xiàn)坍塌現(xiàn)象，在打印實(shí)驗(yàn)時(shí)無(wú)法實(shí)現(xiàn)自支撐，從而打印失敗。具有傾角約束的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)由于角度均大于63度沒(méi)有出現(xiàn)坍塌現(xiàn)象，實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)一步驗(yàn)證了本文提出拓?fù)鋬?yōu)化方法的可行性，拓?fù)涞玫降慕Y(jié)構(gòu)可以直接進(jìn)行增材制造，實(shí)現(xiàn)自支撐。

3.2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文提出的適應(yīng)增材制造構(gòu)件傾角約束的拓?fù)鋬?yōu)化方法的可行性，證明拓?fù)涞玫降慕Y(jié)構(gòu)能夠直接進(jìn)行增材制造。分別對(duì)有、無(wú)傾角約束的Michell梁拓?fù)錁?gòu)型進(jìn)行3D打印。設(shè)定Michell梁長(zhǎng)為120mm，寬為60mm，厚度為10mm，采用熔融沉積成型技術(shù)(FDM)對(duì)模型分別進(jìn)行制備，均不添加外支撐結(jié)構(gòu)，表3為模型的打印過(guò)程。

最終得到如圖4所示的結(jié)構(gòu)，具有傾角約束的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)由于角度均大于63度沒(méi)有出現(xiàn)坍塌現(xiàn)象。

綜上所述，針對(duì)公路進(jìn)行養(yǎng)護(hù)時(shí)，不僅需要及時(shí)掌握翻漿現(xiàn)象出現(xiàn)的主要成因，同時(shí)也需要根據(jù)具體情況對(duì)導(dǎo)致翻漿現(xiàn)象出現(xiàn)的主要因素和條件加以分析，通過(guò)加大排水力度、提升施工管理、及時(shí)換填土以及提升養(yǎng)護(hù)效率等方式加大對(duì)翻漿現(xiàn)象的預(yù)防及養(yǎng)護(hù)效果，保證公路的正常運(yùn)行，提升交通安全效率，加速實(shí)現(xiàn)我國(guó)走可持續(xù)發(fā)展路線的基本目標(biāo)。

如圖5局部放大所示，無(wú)傾角約束的拓?fù)錁?gòu)型不滿足傾角約束的部分，出現(xiàn)了明顯的坍塌現(xiàn)象，并且傾角越小的結(jié)構(gòu)坍塌現(xiàn)象越明顯。實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)一步驗(yàn)證了本文提出拓?fù)鋬?yōu)化方法的可行性，考慮傾角約束的結(jié)構(gòu)可以直接進(jìn)行增材制造，實(shí)現(xiàn)自支撐。

4 結(jié)論

遵循增材制造層層堆積的基本原理，從微觀角度建立滿足增材制造傾角約束的單元密度更新迭代規(guī)則，使結(jié)構(gòu)在宏觀上滿足增材制造的傾角約束。分別對(duì)添加和不添加增材制造傾角約束的拓?fù)錁?gòu)型，采用熔融沉積成型技術(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行制備，結(jié)果證明提出的方法能夠約束拓?fù)錁?gòu)型的傾角，實(shí)現(xiàn)宏觀結(jié)構(gòu)的自支撐設(shè)計(jì)。

[1]劉書(shū)田，李取浩，陳文炯，等.拓?fù)鋬?yōu)化與增材制造結(jié)合:一種設(shè)計(jì)與制造一體化方法[J].航空制造技術(shù),2017(10):26-31.

[2]Zhou M, Fleury R, Shyy Y K, et al. Progress in Topology Optimization with Manufacturing Constraints[C]//9th AIAA/ISSMO Symposium on Multidisciplinary Analysis and Optimization. 2002:1-8.

[3]Wang D, Yang Y, Yi Z, et al. Research on the fabricating quality optimization of the overhanging surface inSLM process[J]. International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2013,65(9-12):1471-1484.

[4]Wu J, Wang C C L, Zhang X, et al. Self-Supporting Rhombic Infill Structures for Additive Manufacturing[J].Computer-Aided Design, 2016, 80:32-42.

[5]Brackett D, Ashcroft I, Hague R. Topology optimization for additive manufacturing[C]//Proceedings of the Solid Freeform Fabrication Symposium, Austin, TX, Aug, 2011:348-362.

[6]M. P. Bends?e, O. Sigmund. Material interpolation schemes in topology optimization[J]. Archive of Applied Mechanics, 1999, 69(9-10):635-654.