優(yōu)化教學(xué)設(shè)計 促進(jìn)深度學(xué)習(xí)
——以概念教學(xué)“函數(shù)的奇偶性”為例*

侯 斌 萬金珠

(江蘇省太湖高級中學(xué) 214125) (江蘇省無錫市濱湖區(qū)教育研究發(fā)展中心 214072)

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出：中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)，重視知識的生成和發(fā)展過程及其背后的思想．但當(dāng)前很多教師的概念教學(xué)仍舊是“一個定義，幾點注意”，與新課標(biāo)的要求相去甚遠(yuǎn)．課堂教學(xué)不能僅僅是陳述事實，更重要的是探索過程以及在此過程中所表現(xiàn)出來的理性和科學(xué)精神．筆者今年上了一節(jié)題為“函數(shù)的奇偶性”的大市公開課，通過反復(fù)磨課和評課，對于概念教學(xué)中如何進(jìn)行教學(xué)設(shè)計以更好地促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)有了更深的體會．現(xiàn)將這節(jié)課的教學(xué)設(shè)計和實施過程進(jìn)行整理和反思，敬請同行專家批評指正．

1 教學(xué)呈現(xiàn)與設(shè)計說明

1.1 情境引入

問題1 如圖1，剪紙是中國的傳統(tǒng)民間藝術(shù)，圖案漂亮卻很復(fù)雜，怎樣剪省時省力？(折疊)

圖1

問題2 剪出來的圖形是一種怎樣的美？(對稱美)

問題3 它們分別對應(yīng)我們數(shù)學(xué)中的哪種對稱關(guān)系？(軸對稱和中心對稱)

問題4 哪些函數(shù)圖象也具有類似的對稱性？怎樣判斷圖象的對稱性？

學(xué)生舉例，如：

f

(

x

)=

x

，

f

(

x

)=

x

等具有對稱性，根據(jù)圖象運用軸對稱和中心對稱的定義判斷其對稱性．問題5 函數(shù)

f

(

x

)=

x

+

x

的圖象具有對稱性嗎？

(學(xué)生沉默……)

問題6 在研究函數(shù)單調(diào)性時我們有沒有遇到過類似的困難？當(dāng)時是怎樣解決的？

學(xué)生聯(lián)想到類比研究單調(diào)性的方法，嘗試用數(shù)量刻畫函數(shù)的對稱性

.

設(shè)計意圖

由剪紙引出生活中的對稱性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；再將對稱這個概念從生活中遷移到數(shù)學(xué)中．設(shè)置問題5引發(fā)認(rèn)知沖突，從而激發(fā)學(xué)生對新知的探求欲，而問題6類比單調(diào)性從“形”轉(zhuǎn)化到“數(shù)”的研究方法，既連接了新舊知識，也為用數(shù)量刻畫對稱性作好鋪墊．

1

.

2 概念構(gòu)建

探究一

量化對稱，初識“任意”

完成表格：

x…-3-2-10123…f(x)=x2…9410149…f(x)=|x|…3210123…

畫出圖象：

圖2

問題1 圖象有何共同特征？(關(guān)于

y

軸對稱)問題2 仔細(xì)觀察表格中的數(shù)量特征，發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？有何結(jié)論？(

f

(-1)=

f

(1)，

f

(-2)=

f

(2)，

f

(-3)=

f

(3)，…，歸納得

f

(-

x

)=

f

(

x

))

問題3 自變量取一對相反數(shù)時，對應(yīng)函數(shù)值相等．結(jié)論是否具有一般性？可否證明？

設(shè)計意圖

用函數(shù)的三種表示方法分別嘗試刻畫函數(shù)對稱性，在對比過程中學(xué)生發(fā)現(xiàn)：列表法刻畫對稱性不夠完善，不能取盡所有的數(shù)值；圖象法不夠嚴(yán)謹(jǐn)；唯有解析法能精確地刻畫函數(shù)的數(shù)量關(guān)系，因此嘗試用解析式刻畫對稱性．在此過程中滲透特殊到一般、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．學(xué)生在直觀感知圖象性質(zhì)、尋找特值關(guān)系的過程中，逐步認(rèn)識“任意

x

”的必要性．

探究二

幾何演示，理解“任意”問題1 教師用GeoGebra演示點

P

在

f

(

x

)=

x

圖象上運動，提問圖象由什么元素構(gòu)成？(點)問題2 圖象關(guān)于

y

軸對稱的實質(zhì)是什么？(點關(guān)于

y

軸對稱)問題3 點

P

在圖象上，關(guān)于

y

軸對稱的點

P

′在哪里？(仍在圖象上)問題4 圖象上任取一點

P

(

x

,

f

(

x

))，則點

P

(

x

,

f

(

x

))關(guān)于

y

軸對稱的點

P

′的坐標(biāo)是什么？(

P

′(-

x

,

f

(

x

)))問題5 點

P

′也在函數(shù)圖象上，坐標(biāo)還能怎樣表示？(

P

′(-

x

,

f

(-

x

)))問題6 兩種方式都表示點

P

′，可以得到什么結(jié)論？(

f

(-

x

)=

f

(

x

))問題7 反之，若

f

(-

x

)=

f

(

x

)成立，如何理解這個等式？(橫坐標(biāo)互為相反數(shù)時，相應(yīng)的兩個函數(shù)值相等，即點關(guān)于

y

軸對稱．)問題8 我們將具有以上特征的函數(shù)稱為 偶函數(shù)，能用符號語言概括偶函數(shù)的定義嗎？(?

x

∈

R

，

f

(-

x

)=

f

(

x

))

設(shè)計意圖

用點坐標(biāo)刻畫函數(shù)的性質(zhì)是研究形的基本方法．通過對點坐標(biāo)的研究把幾何問題代數(shù)化，使學(xué)生理解兩個“任意”：一是圖形的對稱性對任意點都成立；二是任意關(guān)于

y

軸對稱的圖形都有該數(shù)量關(guān)系．

探究三

抽象概括，揭示特征問題1 圖象關(guān)于

y

軸對稱具有一般性，定義域一定為

R

嗎？(不一定．不妨設(shè)定義域為

I

，?

x

∈

I

，

f

(-

x

)=

f

(

x

))問題2 如果在

f

(

x

)=

x

的圖象上去掉點(1,1)，圖象還關(guān)于

y

軸對稱嗎？定義域取[-3，2]呢？(都不是軸對稱圖形)

問題3 那么我們對偶函數(shù)又有什么新的認(rèn)識？(偶函數(shù)的定義域關(guān)于數(shù)0對稱)

問題4 能完善偶函數(shù)的抽象定義嗎？(?

x

∈

I

，都有-

x

∈

I

且

f

(-

x

)=

f

(

x

))

設(shè)計意圖

通過分析、觀察、歸納得偶函數(shù)的定義是本節(jié)課的核心部分，充分引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和歸納定義域的特征，有利于學(xué)生豐富和完善偶函數(shù)的概念，加深對定義的理解．

探究四

概念形成，深化理解

類比偶函數(shù)的定義，請學(xué)生以小組為單位，以為例，合作探究奇函數(shù)的定義．

如果函數(shù)

f

(

x

)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，則稱函數(shù)

f

(

x

)具有奇偶性．

問題1 歸納奇函數(shù)與偶函數(shù)的異同點：

偶函數(shù)奇函數(shù)定義域關(guān)于數(shù)0對稱圖象(形)關(guān)于y軸對稱關(guān)于原點中心對稱定義(數(shù))?x∈I,都有-x∈I,且f(x)=f(-x)?x∈I,都有-x∈I,且f(x)=-f(-x)

問題2 如何說明一個函數(shù)不是偶函數(shù)？

不是偶函數(shù)只需滿足“?

x

∈

I

，-

x

?

I

”或“?

x

∈

I

，有

f

(-

x

)≠

f

(

x

)”．因此，用自然語言描述：定義域不關(guān)于數(shù)0對稱或舉特例說明，如

f

(-1)≠

f

(1)．

問題3 判定奇偶性的方法和步驟是什么？

方法：圖象法和定義法．步驟：①看(定義域)；②找(等量關(guān)系)；③下結(jié)論．

設(shè)計意圖

讓學(xué)生通過類比獨立推導(dǎo)奇函數(shù)的定義，培養(yǎng)其創(chuàng)新能力和探索意識．從四種命題的角度來看，若“函數(shù)

f

(

x

)滿足?

x

∈

I

，都有-

x

∈

I

，且

f

(-

x

)=

f

(

x

)，則

f

(

x

)是一個偶函數(shù)”為真命題，則逆否命題“若函數(shù)

f

(

x

)不是偶函數(shù)，則?

x

∈

I

，有-

x

?

I

或

f

(-

x

)≠

f

(

x

)”也為真命題

.

處理時不用過多強調(diào)，只需理清邏輯關(guān)系．

1

.

3 概念應(yīng)用

例

(1)判斷函數(shù)

f

(

x

)=5

x

的奇偶性；(2)函數(shù)變成

f

(

x

)=5|

x

|，

f

(

x

)=5

x

,

x

∈[-1,2]呢？問題1 是否存在既奇又偶的函數(shù)呢？(比如

y

=0)

問題2 根據(jù)奇偶性可以將函數(shù)分為哪幾類？

設(shè)計意圖

使學(xué)生掌握判斷奇偶性的步驟以及圖象法、特值法、定義法等幾種判斷方法．

1

.

4 拓展提升

圖3

思考：(1)圖3是函數(shù)

f

(

x

)=

x

+

x

圖象的一部分，你能根據(jù)奇偶性畫出函數(shù)在

y

軸左邊部分的圖象嗎？(2)想一想：能否通過添加項使函數(shù)

f

(

x

)=

x

+

x

仍是奇函數(shù)？非奇非偶函數(shù)？偶函數(shù)？既奇又偶函數(shù)？

設(shè)計意圖

(1)與解決情境提出的問題前后呼應(yīng)，判斷函數(shù)的奇偶性后自然得出圖象的對稱，體現(xiàn)了學(xué)習(xí)奇偶性的必要性．(2)是對教材思考題的改編，添加項的探究讓學(xué)生在課堂上進(jìn)行操作，學(xué)生利用大屏上的GeoGebra操作尋找規(guī)律，促進(jìn)對奇偶性概念的深度理解．

2 教學(xué)感悟

2.1 情境喚醒——聯(lián)想與結(jié)構(gòu)

本課是學(xué)生繼函數(shù)單調(diào)性之后第二次接觸到用代數(shù)方法刻畫函數(shù)的幾何特征(對稱性)，對他們而言探索思路和研究方法還比較陌生．教師通過具有中國傳統(tǒng)文化色彩的剪紙藝術(shù)引入生活中的對稱性，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想到函數(shù)圖象中的對稱性，將生活經(jīng)歷與本課所學(xué)相聯(lián)系，使知識具體化．情境引入問題6的目的是喚醒學(xué)生以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，聯(lián)想到函數(shù)單調(diào)性中曾經(jīng)學(xué)習(xí)過的用代數(shù)方法刻畫幾何特征，當(dāng)“形”不能解決時，轉(zhuǎn)為“數(shù)”的定量刻畫．在融入以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗之后，學(xué)生就可能產(chǎn)生聯(lián)想：想到類比單調(diào)性的研究方法來研究函數(shù)的奇偶性．學(xué)生經(jīng)過兩次聯(lián)想之后，知識就有了生長的根基．本課所學(xué)習(xí)的關(guān)于奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義、非偶函數(shù)和非奇函數(shù)的概念、判斷函數(shù)奇偶性的方法和步驟這些相關(guān)知識細(xì)碎又龐雜，教師通過探究四的問題1～3這三個問題指導(dǎo)學(xué)生梳理、建構(gòu)知識體系，使枝干清晰、細(xì)節(jié)豐滿．而學(xué)生根據(jù)當(dāng)前的學(xué)習(xí)活動去激活以往的經(jīng)驗，以融會貫通的方式對學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行組織從而建立自己的知識結(jié)構(gòu)，這正是深度學(xué)習(xí)的特征之一．

2.2 探究促進(jìn)——活動與體驗

在概念教學(xué)中，教師應(yīng)該關(guān)注以學(xué)生為主體的主動活動是否充分、學(xué)生是否充分感知到概念的產(chǎn)生和發(fā)展、學(xué)生在活動中有怎樣的學(xué)習(xí)體驗，以及除了知識以外有沒有體會到更深刻的學(xué)科思想方法．本課基于學(xué)生的活動和體驗進(jìn)行探究設(shè)計，情境引入的問題5通過引發(fā)認(rèn)知沖突從而激發(fā)學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容的求知欲，有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．在概念構(gòu)建部分，探究一讓學(xué)生體會解析法刻畫函數(shù)對稱性的必要性；探究二揭示了函數(shù)關(guān)于

y

軸對稱所滿足的恒等關(guān)系；探究三揭示定義域的對稱性并完善了偶函數(shù)的定義；探究四則是由學(xué)生自主探索得到奇函數(shù)的定義并深化對奇偶性概念的理解．在探究過程中，學(xué)生親歷概念的發(fā)現(xiàn)、形成、發(fā)展的過程，通過活動與體驗主動建構(gòu)知識體系，發(fā)展了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng)．而學(xué)生的活動與體驗正是深度學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)機制，也是深度學(xué)習(xí)的特征之一．

2.3 問題驅(qū)動——本質(zhì)與變式

深度學(xué)習(xí)的著眼點在于教師通過怎樣的方式引導(dǎo)學(xué)生掌握知識的本質(zhì)．這節(jié)課上，教師以有效提問為抓手幫助學(xué)生搭建認(rèn)知的階梯，進(jìn)而把握概念的本質(zhì)．教師通過探究二的問題1和問題2向?qū)W生揭示研究函數(shù)圖象性質(zhì)的一般思路：用點坐標(biāo)來研究函數(shù)性質(zhì)．仍舊是在探究二部分，教師通過問題3～6構(gòu)成的問題串一氣呵成，得到了奇函數(shù)所滿足的恒等式，至此概念本質(zhì)即奇函數(shù)的定義呼之欲出．變式也是幫助學(xué)生形成正確概念的必經(jīng)之路，比如探究三的問題1，教師通過變式進(jìn)行追問，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步反思偶函數(shù)定義域的特征；問題2則給出定義域非對稱的變式，學(xué)生在正反對比中發(fā)現(xiàn)、歸納出偶函數(shù)的定義域關(guān)于數(shù)0對稱．教師通過問題串、追問的形式以及正反變式進(jìn)行舉例，引導(dǎo)學(xué)生全面把握知識之間的內(nèi)在聯(lián)系．學(xué)生形成對學(xué)習(xí)對象進(jìn)行深度加工的意識與能力，把握知識本質(zhì)，并能在本質(zhì)基礎(chǔ)上進(jìn)行變式，也是深度學(xué)習(xí)的特征之一．

2.4 任務(wù)引領(lǐng)——遷移與應(yīng)用

知識要通過遷移和應(yīng)用轉(zhuǎn)化成為學(xué)生個體的學(xué)習(xí)經(jīng)驗.在探究四部分，教師組織學(xué)生類比偶函數(shù)的定義得奇函數(shù)的定義，在此過程中，知識發(fā)生了遷移．概念應(yīng)用部分的例題是對函數(shù)奇偶性的簡單應(yīng)用，問題1和問題2對學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識解決問題的能力要求更高．事實上，聚焦學(xué)科內(nèi)容、具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)任務(wù)更需要學(xué)生有綜合的能力和創(chuàng)新的意識，可以更好地促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)．例如情境引入部分的問題5其實是為拓展思考部分的學(xué)習(xí)任務(wù)埋下伏筆．總共兩個任務(wù)：(1)根據(jù)一半圖象作出另一半圖象；(2)添加項使其變成四種函數(shù)中的任意一種．根據(jù)函數(shù)奇偶性，任務(wù)(1)不難完成．任務(wù)(2)的情境開放且答案不唯一，精彩紛呈的答案更能體現(xiàn)學(xué)生在課堂教學(xué)中的主體地位．學(xué)生解決問題的手段也是多樣的，既可以借助GeoGebra畫圖尋找答案，也可以從“數(shù)”的角度去思考，學(xué)生綜合運用本節(jié)課所學(xué)知識完成任務(wù)的過程就是高層次的遷移和應(yīng)用．學(xué)習(xí)內(nèi)容的深刻性與豐富性，學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性、積極性都在完成任務(wù)的過程中得以體現(xiàn)．而遷移與應(yīng)用也是深度學(xué)習(xí)的特征之一．

3 結(jié)語

通常認(rèn)為，深度學(xué)習(xí)具有以下一些特征：聯(lián)想與結(jié)構(gòu)、活動與體驗、本質(zhì)與變式、遷移與應(yīng)用．在概念教學(xué)中如何促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的發(fā)生？教師可以通過創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)膯栴}情境喚醒學(xué)生以往學(xué)習(xí)經(jīng)驗；通過教學(xué)活動使經(jīng)驗得到提升和結(jié)構(gòu)化；通過設(shè)置合理的探究活動引導(dǎo)學(xué)生充分展開活動與體驗，主動進(jìn)行知識建構(gòu)；通過設(shè)計有效的提問讓學(xué)生的思維外顯，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)；通過設(shè)計具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)任務(wù)引導(dǎo)學(xué)生完成學(xué)習(xí)任務(wù)，促進(jìn)知識的遷移與應(yīng)用．以上策略均能促使學(xué)生的深度學(xué)習(xí)真實有效地發(fā)生．廣大教師應(yīng)該深刻認(rèn)識到概念教學(xué)的育人價值，明確概念教學(xué)的出發(fā)點和目標(biāo)方向并設(shè)計好探索路徑，以促使學(xué)生走向深度學(xué)習(xí)并發(fā)展其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．