廣義RASK系統(tǒng)的回溯StOMP檢測(cè)算法

萬俊良 李方偉 王明月

（重慶郵電大學(xué)通信與信息工程學(xué)院，移動(dòng)通信教育部工程研究中心，移動(dòng)通信技術(shù)重慶市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400065）

1 引言

多輸入多輸出（multiple input multiple output，MIMO）技術(shù)在通信系統(tǒng)的兩端利用若干天線來提升系統(tǒng)傳輸速率和吞吐量，被認(rèn)為是未來移動(dòng)通信中最具發(fā)展?jié)摿Φ募夹g(shù)之一［1-3］。但MIMO 技術(shù)帶來性能增益的同時(shí)也存在一些缺陷，其中主要是多天線帶來的信道間干擾（inter-channel interference，ICI），除此之外就是必須要保持天線間同步（interantenna synchronization，IAS）［4-5］。研究人員發(fā)現(xiàn)空間調(diào)制（spatial modulation，SM）技術(shù)通過在發(fā)射端激活一根發(fā)射天線，利用空域中天線索引來傳輸部分比特信息，可有效避免多天線帶來的問題［6］。將空間調(diào)制延展為廣義空間調(diào)制（generalized spatial modulation，GSM）可以有效提高通信系統(tǒng)的頻譜效率，通過在發(fā)射端激活若干天線進(jìn)行數(shù)據(jù)信息傳輸，但天線組的引入也使得對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行信號(hào)檢測(cè)非常困難［7-9］。

最大似然（maximum likelihood，ML）算法經(jīng)過輪詢?nèi)康募せ钐炀€進(jìn)行信號(hào)檢測(cè)，雖然能夠達(dá)到最優(yōu)的性能，但是隨之而來其計(jì)算復(fù)雜度會(huì)隨激活天線數(shù)的增加大幅度增長，因此一般只在理論中是可行的［10］。文獻(xiàn)［11］提出了一種經(jīng)典的檢測(cè)算法即迫零（zero-forcing，ZF）算法，將天線組索引檢測(cè)和星座符號(hào)檢測(cè)分開進(jìn)行實(shí)現(xiàn)了低檢測(cè)復(fù)雜度，但其誤比特率（bit error rate，BER）性并不理想。文獻(xiàn)［12］提出了一種最小距離最大長度（minimum-distance of maximum-length，m-M）檢測(cè)算法，該算法基于樹搜索的概念，只對(duì)所有樹搜索分支的最小歐幾里得距離進(jìn)行一次擴(kuò)展，直到最小歐幾里得距離出現(xiàn)在完全擴(kuò)展分支的末尾，能夠在取得較好性能的同時(shí)降低復(fù)雜度，但只適合特定場(chǎng)景。文獻(xiàn)［13］提出了一種基于有序塊的最小均方誤差檢測(cè)算法，該算法首先按照事先設(shè)置的規(guī)則將激活天線進(jìn)行排列，然后采用最小均方誤差估計(jì)信號(hào)并與預(yù)設(shè)閾值進(jìn)行比較，能夠在獲得最優(yōu)性能的同時(shí)降低復(fù)雜度，但需要接收端已知激活天線組。因此研究一種能在信號(hào)檢測(cè)性能和計(jì)算復(fù)雜度之間取得較好平衡的方法是十分有必要的。

近年來研究發(fā)現(xiàn)，SM 系統(tǒng)中信號(hào)一般有稀疏特性，所以將壓縮感知（compressive sensing，CS）中計(jì)算復(fù)雜度很小的重構(gòu)算法使用到空間調(diào)制系統(tǒng)的信號(hào)檢測(cè)中［14］。文獻(xiàn)［15］將CS 理論應(yīng)用于信號(hào)檢測(cè)中，實(shí)現(xiàn)了低計(jì)算復(fù)雜度，在獲得較好檢測(cè)性能的同時(shí)也降低了復(fù)雜度。文獻(xiàn)［16］提出了一種基于CS的檢測(cè)算法，該算法利用用戶之間的時(shí)間相關(guān)性和SM 信號(hào)的隨機(jī)傳輸性用于提高檢測(cè)性能，并且不需要事先知道用戶稀疏度，其信號(hào)檢測(cè)性能大幅度提升。文獻(xiàn)［17］提出的一種基于糾錯(cuò)機(jī)制（error correction mechanism，ECM）的CS 檢測(cè)器，該檢測(cè)器不僅能提高檢測(cè)可靠性，并且在保證復(fù)雜度不高的前提下其性能趨于ML 檢測(cè)器的性能。文獻(xiàn)［18］提出了一種基于正交匹配追蹤算法的歸一化CS檢測(cè)器，由于其低復(fù)雜度，由于預(yù)設(shè)閾值的使用，能夠提高算法的效率，此外，推導(dǎo)了該檢測(cè)器下的平均誤碼概率的上限，并將其用于優(yōu)化預(yù)設(shè)閾值最終能平衡其計(jì)算復(fù)雜性和系統(tǒng)性能。

基于上述分析，本文將文獻(xiàn)［19］中SM 技術(shù)之一的接收天線移位鍵控（receive antenna shift key?ing，RASK）擴(kuò)展為廣義接收天線移位鍵控（general?ized receive antenna shift keying，GRASK），并通過結(jié)合CS理論，提出了一種次優(yōu)的回溯分段正交匹配追蹤（backtracking stagewise orthogonal matching pur?suit，BStOMP）信號(hào)檢測(cè)算法，該算法在StOMP 算法的基礎(chǔ)上改進(jìn)。首先選擇當(dāng)次迭代殘差和等效矩陣的內(nèi)積大于設(shè)定閾值的項(xiàng)作為候選激活天線索引；然后通過最小二乘法對(duì)候選天線索引進(jìn)行初步估計(jì)；最后按照壓縮采樣匹配追蹤算法的回溯過程進(jìn)行二次篩選，剔除一些多余的索引，提高重構(gòu)精度并更新相應(yīng)的殘差。仿真結(jié)果表明，在相同條件下，所提算法較好地解決了ML 算法會(huì)隨激活接收天線數(shù)的增多而計(jì)算復(fù)雜度大幅度增加長的問題，能在檢測(cè)性能和復(fù)雜度間實(shí)現(xiàn)良好的折中。

2 系統(tǒng)模型

GRASK 系統(tǒng)的模型框圖如下圖1 所示，假設(shè)該系統(tǒng)模型配置有Nt根發(fā)射天線和Nr根接收天線，在每個(gè)傳輸周期內(nèi)可激活n(n

在GRASK 系統(tǒng)中，在每一個(gè)發(fā)送信號(hào)時(shí)隙內(nèi)只激活了n根接收天線用于接收信號(hào)，而其他保持沉默，激活的天線位置處用‘1’表示，沉默的天線位置處用‘0’表示，則映射矢量信號(hào)x中只有n個(gè)元素為‘1’，其他剩余的為‘0’，因此映射信號(hào)可以表示為：

TR技術(shù)是一種信號(hào)波的物理現(xiàn)象，能夠利用移動(dòng)通信傳輸過程中不可避免的信號(hào)分量產(chǎn)生空時(shí)聚焦特性，指向性地將信號(hào)在同一時(shí)間聚焦到目標(biāo)天線，從而使信號(hào)能量聚集防止泄露，因此通常用作一種信號(hào)預(yù)處理技術(shù)。與其他技術(shù)相比，由于TR技術(shù)利用的是自然環(huán)境中的虛擬天線陣列，所以在無線通信系統(tǒng)中的計(jì)算復(fù)雜度就會(huì)低很多［20-21］。

已知TR 技術(shù)使用的前提是信道在一個(gè)符號(hào)周期內(nèi)是保持時(shí)不變性，其具體實(shí)現(xiàn)過程分為兩步：第一步由接收端發(fā)出探測(cè)信號(hào)p，然后經(jīng)傳輸信道到達(dá)發(fā)送端，則此時(shí)收到的信號(hào)為p?h（?表示的是卷積符號(hào)運(yùn)算，h表示信道脈沖響應(yīng)），再利用相關(guān)的信道估計(jì)算法提取出h，將其復(fù)共軛轉(zhuǎn)置得到h?；第二步發(fā)射端發(fā)射x?h?，通過信道后到達(dá)接收端。然后接收端需要對(duì)傳輸信息的天線索引進(jìn)行檢測(cè)，進(jìn)而恢復(fù)出比特序列，則接收端接收到的信號(hào)可以表示為：

其中，信道矩陣H可以表示為Nt×Nr階矩陣：

上式（3）的信道矩陣H經(jīng)過共軛轉(zhuǎn)置變換后可以表示為：

其中，?H表示共軛轉(zhuǎn)置，每一個(gè)元素hij（i∈1，2，…，Nt，j∈1，2，…，Nr）都服從均值為0，方差為σ2的復(fù)高斯隨機(jī)分布。

為了保證傳輸功率穩(wěn)定，將ftr定義為功率歸一化因子，可以表示為：

因此，發(fā)射信號(hào)s可以表示為：

于是可以將式（2）表示為：

在GRASK 系統(tǒng)中，最優(yōu)ML 檢測(cè)算法需搜索所有的天線，尤其是當(dāng)激活天線數(shù)、發(fā)射天線數(shù)、接收天線數(shù)較大時(shí)，復(fù)雜度極高［22］。因此需要研究一種次優(yōu)檢測(cè)算法，在檢測(cè)性能和復(fù)雜度間取得較好的平衡。

3 基于稀疏重構(gòu)的檢測(cè)算法

在GRASK 系統(tǒng)中，信號(hào)x中的元素只能是0 或者1，當(dāng)激活接收天線數(shù)n?Nr時(shí)，則認(rèn)為此系統(tǒng)中的信號(hào)具有一定的稀疏性，所以可以將經(jīng)典的CS里的稀疏重構(gòu)算法用于該信號(hào)檢測(cè)。

3.1 稀疏重構(gòu)模型

通過壓縮感知理論可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)MIMO 信道來說，等效信道矩陣Heq假設(shè)是符合下式n階的有限等距特性（restricted isometry property，RIP）［23］：

其中，δn∈(0，1)為等效信道矩陣Heq的n階有限等距常數(shù)。

對(duì)于等效信道矩陣Heq，當(dāng)有下式成立時(shí)，則滿足δn≤0.1時(shí)的RIP：

因此，壓縮感知的重構(gòu)可以表示為優(yōu)化問題：

其中，ε表示一個(gè)極小的正常數(shù)。上式優(yōu)化問題是難以求解的NP-hard 問題［24］，不能用凸優(yōu)化的方法直接求解，所以一般采用計(jì)算量較低的貪婪迭代算法，并且經(jīng)典的分段正交匹配追蹤（stagewise or?thogonal matching pursuit，StOMP）算法是經(jīng)典貪婪迭代法中十分常見的一種方法。

3.2 基于BStOMP算法的GRASK檢測(cè)

傳統(tǒng)的StOMP 算法作為一種較為常見的貪婪迭代算法，其主要步驟包括：在進(jìn)行每一次迭代時(shí)，首先計(jì)算出此時(shí)殘差和信道矩陣各列的內(nèi)積；緊接著挑選出大于初始設(shè)置閾值的列存放到激活天線索引集合中；最后通過最小二乘法進(jìn)行估計(jì)得出信號(hào)，同時(shí)更新殘差。但是在無線通信信道中，由于有加性噪聲的存在，每次迭代只經(jīng)過篩選一次，有可能會(huì)選擇一些錯(cuò)誤的天線索引，造成算法檢測(cè)性能降低。

針對(duì)StOMP 算法存在的不足，將其改進(jìn)然后提出了一種BStOMP 檢測(cè)算法，引入回溯步驟靈活地剔除掉一些錯(cuò)誤的天線索引，提高算法檢測(cè)性能，該算法流程圖如下圖2所示。

首先，所提算法在第t次迭代時(shí)，計(jì)算出第t-1次迭代殘差r與等效信道矩陣Heq每一列的內(nèi)積值，然后選擇出內(nèi)積中大于初始設(shè)定閾值T的列存放起來作為激活天線索引候選集合Λ：

其中，ts(2≤ts≤3)表示閾值參數(shù)；rt表示第t次迭代計(jì)算出的殘差。

根據(jù)構(gòu)建成的第一次預(yù)選候選天線索引集合Γt=Γt-1∪Λ，計(jì)算最小二乘進(jìn)行第一次估計(jì)：

最后如果滿足t>n或rn≤ε時(shí)，則迭代結(jié)束，最終輸出估計(jì)值。

BStOMP 檢測(cè)算法是在StOMP 算法中引入了CoSaMP 回溯過程可用于再次篩選，該算法通過在每次迭代中，合理篩選出激活索引集合，剔除掉可能的錯(cuò)誤索引，減少了整個(gè)過程中數(shù)據(jù)量，降低了整體計(jì)算復(fù)雜度。同時(shí)，由于二次篩選過程提高了激活索引集合的精度，因此提升了該算法整體的重構(gòu)精度。所提算法具體步驟如下表1所示。

表1 BStOMP檢測(cè)算法Tab.1 BStOMP detection algorithm

3.3 算法復(fù)雜度分析

本小節(jié)將對(duì)幾種經(jīng)典的算法包括ML 算法、ZF算法、StOMP 算法還有本文所提的BStOMP 算法的計(jì)算復(fù)雜度進(jìn)行對(duì)比分析。對(duì)于最優(yōu)ML 算法的計(jì)算復(fù)雜度很高，會(huì)隨激活接收天線數(shù)的增多呈指數(shù)型增加，因此可表示為［25］：

對(duì)于ZF算法，其計(jì)算復(fù)雜度主要是集中在對(duì)矩陣的求逆過程中，所以復(fù)雜度可以表示為［26］：

對(duì)于StOMP算法，計(jì)算復(fù)雜度可表示為［27］：

對(duì)于本文提出的BStOMP算法，首先一共需要n次迭代，然后每次迭代過程中的計(jì)算量主要在內(nèi)積運(yùn)算和廣義逆運(yùn)算，所以計(jì)算復(fù)雜度可表示為：

由上述分析可知，ML 算法和ZF 算法隨著天線數(shù)和激活天線數(shù)的增加計(jì)算復(fù)雜度會(huì)非常高；而StOMP 算法和BStOMP 算法，利用了信號(hào)的稀疏特性，進(jìn)行信號(hào)重構(gòu)，剔除了大量冗余天線索引，可以將復(fù)雜度大幅度降低。幾種算法復(fù)雜度的對(duì)比如下表2所示。

表2 不同算法復(fù)雜度對(duì)比Tab.2 Complexity comparison of different algorithms

4 仿真分析

采用MATLAB 對(duì)上述幾種算法在相同信道環(huán)境下進(jìn)行誤碼性能仿真。假設(shè)信道脈沖響應(yīng)已知并且時(shí)不變的，使用的是準(zhǔn)靜態(tài)平坦瑞利衰落信道進(jìn)行仿真。仿真圖中，橫坐標(biāo)表示信噪比（signal-tonoise rate，SNR），縱坐標(biāo)表示誤比特率（bit error rate，BER）。

圖3 為當(dāng)激活天線數(shù)n=2 時(shí)，GRASK 系統(tǒng)下四種算法的BER 隨SNR 的變化曲線圖。發(fā)射天線設(shè)置為16 根，接收天線設(shè)置為10 根，整體來看4 種算法曲線的BER 都隨著SNR 的增加而逐漸減小。由此可以明顯看出，相比于其他的算法ML 檢測(cè)算法能夠獲得最好的BER 性能，本文所提算法相比于其他次優(yōu)算法能夠獲得更好的BER 性能。在BER=10-3時(shí)，所提算法相比傳統(tǒng)ZF 算法能夠獲得大約2.6 dB增益，與StOMP算法相比可以獲得大約2.9 dB的增益。類似地，在BER=10-4時(shí)，本文所提算法相比傳統(tǒng)ZF算法性能更好大約2.1 dB，同時(shí)其計(jì)算復(fù)雜度也降低了很多。

圖4 為當(dāng)激活天線數(shù)n=3 時(shí)，GRASK 系統(tǒng)下四種算法的BER 隨SNR 的變化曲線圖。發(fā)射天線設(shè)置為16 根，接收天線設(shè)置為10 根，整體來看4 種算法曲線的BER 都隨著SNR 的增加而逐漸減小。在BER=10-3時(shí)，本文所提算法相比于傳統(tǒng)ZF 算法能夠提升大概1.8 dB 的增益，與StOMP 算法相比可以獲得大約3.2 dB的增益。然后與圖3相比隨著激活接收天線數(shù)的增多，系統(tǒng)中的信號(hào)稀疏性將會(huì)有所下降，造成系統(tǒng)天線之間的干擾會(huì)增加，因此算法估計(jì)出天線索引時(shí)的錯(cuò)誤概率就會(huì)變大，造成系統(tǒng)整體的性能會(huì)降低。

綜合圖3 以及圖4 分析可知，本文所提算法和StOMP 算法在信噪比SNR>10 dB 時(shí)，出現(xiàn)一定的地板趨勢(shì)，但所提算法與之相比有較低的地板趨勢(shì)。從兩圖中可以看出，所提算法雖然在相交后的高信噪比情況下，與ZF算法相比性能有些損失，但ZF算法是犧牲大量計(jì)算復(fù)雜度換來的少量性能提升，因此所提算法能以較低復(fù)雜度實(shí)現(xiàn)較優(yōu)檢測(cè)性能。

圖5 為BStOMP 算法在不同發(fā)射天線下的BER隨SNR的變化曲線圖。接收天線設(shè)置為10根，激活天線數(shù)設(shè)置為2根，整體來看4種算法曲線的BER都隨著SNR 的增加而逐漸減小。當(dāng)BER=10-3時(shí)，在該算法下發(fā)射天線為16根比為4根可以獲得約2.9 dB增益。在SNR=10 dB 時(shí)，發(fā)射天線從2 根增加到16 根，BER 性能從10-3下降約10-5。這是正是由于發(fā)射天線數(shù)量變多，系統(tǒng)發(fā)射分集增益增大，因此BER性能會(huì)得到提升。

圖6 為BStOMP 算法在不同接收天線下的BER隨SNR的變化曲線圖。發(fā)射天線設(shè)置為16根，激活天線數(shù)設(shè)置為3根，整體來看4種算法曲線的BER都隨著SNR 的增加而逐漸減小。當(dāng)BER=10-3時(shí)，在該算法下接收天線為5根比為16根可以獲得約2.5 dB增益，接收天線為10根比為32根可以獲得約3.4 dB增益。在SNR=10 dB 時(shí)，發(fā)射天線從32 根減少到5 根，BER 性能從10-3下降約10-5。隨著接收天線數(shù)量的增多，系統(tǒng)每時(shí)隙傳輸比特?cái)?shù)增多，因此BER性能會(huì)有所下降。

5 結(jié)論

本文針對(duì)激活多根接收天線的GRASK 系統(tǒng)，考慮到GRASK 系統(tǒng)中信號(hào)擁有稀疏性，提出了一種基于CS理論的較低計(jì)算復(fù)雜度的新的檢測(cè)算法。通過理論和仿真結(jié)果分析，該算法與經(jīng)典的StOMP算法相比，通過引入回溯過程剔除了多余的索引，不僅提高了重構(gòu)精度，而且以犧牲少量復(fù)雜度獲得了較好的BER 性能。雖然和最優(yōu)ML算法相比有些性能差距，但較好地解決了ML 算法會(huì)隨激活接收天線數(shù)的增多復(fù)雜度不斷增加的問題，能在檢測(cè)性能和復(fù)雜度之間取得較好的折中，所以在實(shí)際應(yīng)用中具有一定的意義。