基于可行性矩陣遍歷的重疊多目標(biāo)角軌跡關(guān)聯(lián)算法

盛衛(wèi)東 黃 源 馬 超

（國防科技大學(xué)電子科學(xué)學(xué)院，湖南長沙 410073）

1 引言

在天基光學(xué)監(jiān)視系統(tǒng)中，利用光學(xué)傳感器對目標(biāo)進行探測，僅能獲取目標(biāo)的到達角信息而無距離信息，屬于不完備的觀測［1］，需要兩個或兩個以上的觀測平臺角軌跡融合才能得到目標(biāo)的三維軌跡。角軌跡融合的前提是確定角軌跡的同源性，錯誤的角軌跡關(guān)聯(lián)會生成虛假目標(biāo)，導(dǎo)致“幻影”目標(biāo)問題。因此，角軌跡關(guān)聯(lián)性能直接決定了天基光學(xué)監(jiān)視系統(tǒng)的目標(biāo)跟蹤性能，需要研究關(guān)聯(lián)性能良好、魯棒性強的角軌跡關(guān)聯(lián)算法，軌跡關(guān)聯(lián)也是后續(xù)數(shù)據(jù)融合跟蹤的重要前提［2］。

在現(xiàn)行的軌跡關(guān)聯(lián)算法中，以三維軌跡關(guān)聯(lián)算法較多，例如有基于假設(shè)檢驗的軌跡關(guān)聯(lián)算法［3］，基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的軌跡關(guān)聯(lián)算法［4］，基于DS 證據(jù)理論［5-6］和模糊理論［7-8］的軌跡關(guān)聯(lián)算法等，在雷達領(lǐng)域具有廣泛應(yīng)用［9-10］。然而，天基光學(xué)監(jiān)視系統(tǒng)的軌跡關(guān)聯(lián)是二維角軌跡的關(guān)聯(lián)，目前主要采用幾何約束的方法，例如最小距離偏差法、二維傾角差法等。文獻［11］針對雙平臺情況，以二面傾角差為檢驗統(tǒng)計量，提出一種基于傾角差假設(shè)檢驗的軌跡關(guān)聯(lián)算法，當(dāng)目標(biāo)較為密集時容易將鄰近目標(biāo)的角軌跡關(guān)聯(lián)在一起，造成關(guān)聯(lián)模糊。文獻［12］將角軌跡關(guān)聯(lián)問題轉(zhuǎn)換為二維分配問題，用全局最近鄰（Global Nearest Neighbor，GNN）等手段來解決關(guān)聯(lián)模糊。文獻［13］通過引入不同于傾角差統(tǒng)計量的目標(biāo)運動特征，克服了傾角差算法在目標(biāo)和平臺共面條件下失效的問題。文獻［14］將軌跡關(guān)聯(lián)問題轉(zhuǎn)換為軌跡參數(shù)匹配問題，用于解決采樣異步和鬼影目標(biāo)。文獻［15］提出了基于最大似然的殘差估計配準(zhǔn)法和基于新目標(biāo)密度的序貫最佳航跡關(guān)聯(lián)算法。文獻［16］將可行性矩陣分析引入到軌跡關(guān)聯(lián)中，但其僅僅通過對可行性矩陣元素進行分析以減少候選關(guān)聯(lián)個數(shù)，最終仍通過二維分配法進行關(guān)聯(lián)軌跡。綜上，上述算法均基于一個目標(biāo)有且只能產(chǎn)生一條角軌跡的先驗假設(shè)，一條角軌跡至多與另外一條角軌跡關(guān)聯(lián)，稱為“一對一”假設(shè)。文獻［14］假設(shè)目標(biāo)直線運動，以運動方向和速度為軌跡特征，最終用二維分配法求解，其對目標(biāo)運動模式先驗假設(shè)較強，與天基光學(xué)監(jiān)視系統(tǒng)的應(yīng)用場景不太相符。文獻［17］提出了聯(lián)合空間時間約束法（Joint temporal and spatial constraints，JTSC），基于三維軌跡進行軌跡關(guān)聯(lián)，但其要求觀測平臺至少3個以上。

在實際應(yīng)用中，受光學(xué)傳感器分辨率限制、光學(xué)系統(tǒng)固有的點擴散效應(yīng)、多目標(biāo)受觀測視角而相互遮擋等因素的影響，在光學(xué)傳感器像平面存在重疊多目標(biāo)情況，未分辨的一條角軌跡可能需要與另外已分辨的多條角軌跡進行關(guān)聯(lián)，即“一對多”的關(guān)聯(lián)。若仍然在“一對一”的假設(shè)下來完成角軌跡關(guān)聯(lián)，其關(guān)聯(lián)性能必然不理想，需要研究新的關(guān)聯(lián)算法。本文以二面傾角差作為基本統(tǒng)計量，針對“一對多”情況設(shè)計了目標(biāo)視線復(fù)用的關(guān)聯(lián)思路，并借鑒聯(lián)合概率數(shù)據(jù)互聯(lián)濾波器（Joint Probabilistic Data Associa?tion Filter，JPDA）中可行性矩陣的概念，考慮所有可能的軌跡分配情況，在貝葉斯框架下計算每一個軌跡之間的聯(lián)合互聯(lián)概率，最后基于聯(lián)合互聯(lián)概率矩陣來得到最終的角軌跡關(guān)聯(lián)結(jié)果。在此種框架下，一方面能夠處理“一對多”的復(fù)雜情況，另一方面能夠兼容“一對一”假設(shè)條件下的角軌跡關(guān)聯(lián)算法。

本文內(nèi)容安排如下：第2 節(jié)介紹傾角差定義；第3節(jié)推導(dǎo)基于可行性矩陣計算的重疊多角軌跡關(guān)聯(lián)算法；第4 節(jié)進行Monte Carlo 仿真驗證；第5 節(jié)是結(jié)束語。

2 重疊多目標(biāo)角軌跡關(guān)聯(lián)問題描述

天基光學(xué)傳感器只能獲取目標(biāo)相對于觀測平臺的到達角信息，在特定的觀測幾何條件下，目標(biāo)與目標(biāo)之間可能會存在相互遮擋的情況，即多個目標(biāo)的觀測視線相同。為方便本文問題建模，考慮如下兩個觀測平臺的重疊雙目標(biāo)情況。

圖1中，目標(biāo)1和目標(biāo)2相對于觀測平臺S1位于同一個方位，即在觀測平臺S1的觀測角度下，目標(biāo)1與目標(biāo)2視線是相同的，兩個目標(biāo)相互遮擋；而在觀測平臺S2的觀測角度下，能對目標(biāo)1 和目標(biāo)2 進行分辨，其觀測視線不同。

在此種情況下違背了一個觀測平臺的角軌跡至多與另外一個觀測平臺一條角軌跡關(guān)聯(lián)的假設(shè)，故文獻［11-16］中軌跡關(guān)聯(lián)算法不再適用，需要研究針對重疊多目標(biāo)角軌跡的關(guān)聯(lián)算法。

3 基于可行性矩陣計算的重疊多角軌跡關(guān)聯(lián)算法

3.1 傾角差定義

二面傾角差本質(zhì)是一種幾何約束的方法，圖2給出了某一時刻兩個觀測平臺的觀測示意圖。

3.2 基于傾角差統(tǒng)計量的關(guān)聯(lián)可行性矩陣建模

考慮兩個觀測平臺的情況，第一個觀測平臺的第i條軌跡記為trk1，i，第二個觀測平臺的第j條軌跡記為trk2，j，為了計算每一個時刻的傾角差，需要將不同觀測平臺的軌跡插值到同一個時間序列，在后續(xù)的推導(dǎo)中均假設(shè)已經(jīng)完成了插值，然后基于文獻［13］中方法可計算trk1，i與trk2，j的單幀傾角差統(tǒng)計量和多幀的傾角差統(tǒng)計量，其中N為累積幀數(shù)，進而可以得到具體的關(guān)聯(lián)事件，步驟如下：

Step1假設(shè)兩個觀測平臺觀測角軌跡條數(shù)分別為M1和M2，則可以構(gòu)建一個M1×M2的矩陣Ω。給定置信度α，則得到假設(shè)檢驗門限Th=，若

Step2Ω矩陣類似JPDA 算法中的可行性矩陣，依據(jù)門限進行初步的關(guān)聯(lián)判斷，從該矩陣中基本可以拆解得到所有的可能的關(guān)聯(lián)情況，通過掃描矩陣Ω可以得到所有可能的關(guān)聯(lián)事件矩陣。以圖1的場景為例，根據(jù)場景描述可以得到Ω如下：

通過掃描Ω，可以得到如下的關(guān)聯(lián)事件矩陣：

至此得到了所有的關(guān)聯(lián)事件矩陣，通過上述的掃描方式得到的關(guān)聯(lián)事件矩陣不再局限于一條軌跡至多與一條軌跡相關(guān)聯(lián)的假設(shè)，涵蓋了所有可能的關(guān)聯(lián)情況。每一個關(guān)聯(lián)事件矩陣均對應(yīng)一個關(guān)聯(lián)事件，該關(guān)聯(lián)事件記為θ(k)，θ(k)包含了各個軌跡關(guān)聯(lián)情況θij，其中θij表示第一個觀測平臺的第i條軌跡與第二個觀測平臺的第j條軌跡關(guān)聯(lián)在一起，k表示時間戳。

為方便后續(xù)推導(dǎo)描述，定義一個雜波軌跡指示符，定義如下：

則雜波軌跡數(shù)量定義為：

其中τ1(θ)表示觀測平臺1 中的雜波軌跡數(shù)量，τ2(θ)表示觀測平臺2中的雜波軌跡數(shù)量。

下面利用貝葉斯準(zhǔn)則來計算每一個關(guān)聯(lián)事件θ(k)的概率：

公式（6）中需要計算似然概率密度和先驗概率，下面分別進行討論。假設(shè)目標(biāo)與目標(biāo)之間相互獨立，觀測平臺與觀測平臺相互獨立，則有

根據(jù)卡方分布的定義，則有：

不失一般性，假設(shè)雜波軌跡在視場內(nèi)均勻分布，則有：

其中V表示雜波軌跡出現(xiàn)的概率，雜波軌跡出現(xiàn)的概率與具體的軌跡形成算法有關(guān)。

給定θ(k)，則明確了各個軌跡的關(guān)聯(lián)關(guān)系，也可以用公式（4）和公式（5）計算得到每一個觀測平臺觀測到的雜波軌跡數(shù)，則有

對于每一個觀測平臺觀測到的軌跡，給定雜波軌跡數(shù)量，P{θ(k)|τ(θ(k))}本質(zhì)上是一個排列組合的概率，有

對于雜波軌跡數(shù)量的概率分布，根據(jù)具體場景和傳感器特性進行選擇：

備選的概率分布有泊松分布、常值分布等。

將公式（11）～公式（13）、公式（10）代入公式（6），可得

通過遍歷所有的關(guān)聯(lián)事件，即可得到如下邊緣概率

至此則得到了兩個觀測平臺之間任意兩條軌跡之間的關(guān)聯(lián)概率。

如果想得到軌跡關(guān)聯(lián)的結(jié)果，可以設(shè)定概率門限ξ，若P{θij(k)|e(k)}大于門限ξ，則關(guān)聯(lián)事件θij(k)成立。由于算法得到的是任意兩條軌跡關(guān)聯(lián)的概率，門限ξ需要基于實際應(yīng)用所需置信度要求進行選擇。

如果結(jié)合目標(biāo)狀態(tài)估計，則有

為了處理目標(biāo)與目標(biāo)之間的遮擋，本文算法需要遍歷所有的可能，面臨組合爆炸問題，當(dāng)軌跡數(shù)目很多時計算量會呈指數(shù)增長，為了減少算法的計算量，可以事先對目標(biāo)數(shù)目進行簡單估計，只需要遍歷目標(biāo)數(shù)目與估計的目標(biāo)數(shù)目接近的關(guān)聯(lián)矩陣，這也會大大減少無用的遍歷。假設(shè)兩個觀測平臺觀測角軌跡條數(shù)分別為M1和M2，則真實的目標(biāo)數(shù)會比較接近M1和M2，這是由于前端目標(biāo)檢測模塊已經(jīng)基于背景信息、多幀運動學(xué)信息基本剔除了虛假軌跡，因此將可行性矩陣目標(biāo)數(shù)的遍歷范圍定義如下：

下面舉一個簡單的例子，假設(shè)M1=4，M2=4，c1=0.8，c2=1.2，則可取3，4，5。則可行性矩陣的個數(shù)為=6748，如果遍歷所有的關(guān)聯(lián)矩陣，則總共需要完成的遍歷數(shù)為216=65536，將近降低了90%的計算量。

4 仿真分析

為驗證本文算法的有效性，設(shè)置多目標(biāo)場景如下：共有兩個觀測平臺，三個運動目標(biāo)，其中目標(biāo)1 和目標(biāo)2 初始距離較遠，其間距隨著時間的推移逐漸縮短，兩個目標(biāo)交匯的時刻為第50 s，目標(biāo)3與其他兩個目標(biāo)距離較遠；光學(xué)傳感器探測周期取1 s，傳感器角分辨為300 urad，視線確定誤差100 urad；角軌跡累計幀數(shù)N=5，置信度取0.99，蒙特卡洛次數(shù)為100 次，在遍歷其中某一個參數(shù)時，其他參數(shù)取默認值。選用文獻［12］和文獻［17］算法進行性能對比，文獻［12］同樣采用傾角差統(tǒng)計量作為關(guān)聯(lián)依據(jù)，并采用GNN 來解決關(guān)聯(lián)模糊，獲得了良好的多目標(biāo)關(guān)聯(lián)性能。由于文獻［17］要求至少三個觀測平臺，因此仿真場景中設(shè)置了三個觀測平臺，在關(guān)聯(lián)計算中本文算法和二維分配法僅用平臺1 和平臺2 數(shù)據(jù)進行關(guān)聯(lián)。運行環(huán)境為：Matlab2013，雙路4 核CPU，主頻2.6G，內(nèi)存4G。

下面針對上述場景進行仿真分析。根據(jù)觀測坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換［18］，給出了目標(biāo)在兩個觀測平臺的像平面軌跡，如圖4所示。

從圖4可知，觀測平臺2始終只能觀測到2條角軌跡，其中目標(biāo)1 和目標(biāo)2 被融合成一條角軌跡，目標(biāo)3因距離較遠而形成另一條獨立的角軌跡。在觀測平臺1 和3 上，初始階段可以觀測到3 條角軌跡，直至目標(biāo)1 和目標(biāo)2 交匯后兩條軌跡很接近而無法分辨。

圖5給出了傳感器角分辨為100 urad和300 urad的關(guān)聯(lián)結(jié)果。

當(dāng)傳感器角分辨為100 urad 時，由于傳感器分辨率足夠高，兩個觀測平臺都能將目標(biāo)1 和目標(biāo)2在像平面上分開，都能觀測到3 條軌跡，則變成了“一對一”目標(biāo)關(guān)聯(lián)的問題，三種關(guān)聯(lián)算法均能有效的處理此類情況，從圖5（a）可以看出在350 s 后二維分配法和JTSC算法性能有所下降，是因為目標(biāo)間距逐漸減小使得目標(biāo)難以分辨，變成了“一對多”的關(guān)聯(lián)問題。當(dāng)傳感器角分辨為300 urad 時，目標(biāo)1和目標(biāo)2 軌跡交匯后距離逐漸繼續(xù)縮小，在觀測平臺2 的像平面上目標(biāo)1 和目標(biāo)2 的軌跡小于融合門限，其被融合成了一條軌跡，因此在觀測平臺2的像平面上只能觀測到2 條軌跡，兩個目標(biāo)共用其融合軌跡，從圖5（b）可以看出當(dāng)目標(biāo)未分辨時，本文算法依然能正確關(guān)聯(lián)，而二維分配法和JTSC算法遵循“一對一”的假設(shè)，當(dāng)兩個目標(biāo)共用一條視線時，則會漏掉一個目標(biāo)，關(guān)聯(lián)正確率大大降低。在該場景下JTSC 算法相對于二維分配法性能略低，是因為JTSC 需要生成三維軌跡，在定位過程中不可避免的引入了定位誤差，導(dǎo)致了性能退化，基于三維軌跡的好處在于其不受特殊觀測幾何的影響。

圖6 仿真分析了視線確定誤差對關(guān)聯(lián)性能的影響。

從圖6可以看出，對于本文算法，視線確定誤差的增加會降低其關(guān)聯(lián)性能，因為視線確定誤差增加會使得傾角差統(tǒng)計量增加，使得不同目標(biāo)的界限更加模糊，增加了關(guān)聯(lián)難度，當(dāng)視線確定誤差從50 urad 增加到150 urad 時，關(guān)聯(lián)性能發(fā)生了明顯退化。

由于本文算法需要對所有可能的關(guān)聯(lián)情況進行遍歷，其需要更多的計算量，下面給出了在當(dāng)前場景下本文算法與二維分配法的計算耗時分析。

從圖7 可知，本文算法的計算耗時要遠遠高于二維分配法和JTSC算法，這是因為本文算法考慮了所有的關(guān)聯(lián)可能，需要計算每一種關(guān)聯(lián)可能的關(guān)聯(lián)概率，且其計算耗時會隨著目標(biāo)數(shù)目的增加進一步增加。

從上述結(jié)果來看，本文算法能有效處理目標(biāo)遮擋、目標(biāo)未分辨等導(dǎo)致的“一對多”的關(guān)聯(lián)問題即一條角軌跡與多條角軌跡相對應(yīng)，“一對多”場景下其性能要明顯優(yōu)于傳統(tǒng)的二維分配法，同時在“一對一”場景下也能保持與二維分配法相當(dāng)?shù)男阅?，表明本文算法具有更好的場景適應(yīng)性。但由于本文算法需要遍歷所有可能的關(guān)聯(lián)情況，其需要更多的計算資源。

5 結(jié)論

本文借鑒JPDA 中可行性矩陣的概念來遍歷所有可能的關(guān)聯(lián)情況，以傾角差為統(tǒng)計量，在貝葉斯框架下計算軌跡之間的聯(lián)合互聯(lián)概率，基于聯(lián)合互聯(lián)概率矩陣來得到最終的軌跡關(guān)聯(lián)結(jié)果，打破了一條角軌跡至多關(guān)聯(lián)一條角軌跡的假設(shè)，可以較好的解決由于目標(biāo)相互遮擋、目標(biāo)未分辨等導(dǎo)致的一條軌跡與多條軌跡關(guān)聯(lián)的問題。從仿真結(jié)果來看，在“一對多”場景下，本文算法關(guān)聯(lián)性能優(yōu)于二維分配法，在“一對一”場景下，本文算法關(guān)聯(lián)性能與二維分配法相當(dāng)，表明本文具有更強的場景適應(yīng)性，但由于需要遍歷所有可能的關(guān)聯(lián)情況，本文算法面臨著組合爆炸的問題，后續(xù)將對提高算法計算時效性展開研究。