面向高分辨SAR成像的正則參數(shù)自學(xué)習(xí)

劉 偉 焦衛(wèi)東 廖仙華 楊 磊

（中國民航大學(xué)天津市智能信號與圖像處理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300300）

1 引言

合成孔徑雷達(dá)（Synthetic Aperture Radar，SAR）是一種全天時、全天候的高分辨率微波成像雷達(dá)［1］，與常規(guī)雷達(dá)類似，通過接收發(fā)射信號的目標(biāo)回波進(jìn)行一系列處理后實(shí)現(xiàn)目標(biāo)探測。與常規(guī)雷達(dá)不同的是，SAR 是雷達(dá)通過運(yùn)動形成虛擬合成孔徑，通過相干回波處理實(shí)現(xiàn)高分辨成像。

針對SAR 成像過程中的特征提取與增強(qiáng)問題，傳統(tǒng)傅里葉成像方法受限于奈奎斯特采樣定理，成像主瓣受到帶寬限制，高旁瓣導(dǎo)致目標(biāo)特征難以提取，進(jìn)而無法精確恢復(fù)目標(biāo)散射特征。2004 年，由Donoho 與Candes 等人提出的壓縮感知（Compressed Sensing，CS）［2］理論系統(tǒng)性地解決了這一問題。CS利用信號的稀疏特性，在遠(yuǎn)小于奈奎斯特采樣率的條件下，用較少的觀測值去恢復(fù)原始信號，可以實(shí)現(xiàn)由低維觀測信號到高維目標(biāo)信號的精確恢復(fù)。常見的壓縮感知算法在面對高維SAR 信號時，運(yùn)算復(fù)雜度將會大大升高，導(dǎo)致運(yùn)算效率較低。2011年，Boyd等人完善了交替方向乘子法（Alternating Direction Method of Multipliers，ADMM）［3］，將一個比較復(fù)雜的優(yōu)化問題分解為幾個較為簡單的凸的子問題，同時結(jié)合近端算法，有效降低了運(yùn)算規(guī)模。相比較其他優(yōu)化算法，ADMM最突出的優(yōu)勢在于它的可分解性和收斂速率，降低了問題的求解復(fù)雜度，實(shí)現(xiàn)了算法的快速收斂。

在ADMM 框架下，為了便于高精度地恢復(fù)信號散射特征，我們通常引入先驗(yàn)假設(shè)，其中最典型的莫過于Lasso（Least Absolute Shrinkage and Selection Op?erator，Lasso）模型，ADMM框架將Lasso模型分解為平滑的最小二乘項(xiàng)和非平滑的?1范數(shù)正則項(xiàng)，?1范數(shù)用來調(diào)節(jié)待成像目標(biāo)的稀疏度。因此，針對稀疏特征恢復(fù)［4］Lasso ADMM 具有良好的魯棒性。但是，針對特征增強(qiáng)問題，不止需要稀疏特征的恢復(fù)，還有平滑特征和結(jié)構(gòu)特征等等，所以基于?1范數(shù)的ADMM恢復(fù)信號特征精度有限。因此，正則項(xiàng)的選取成為了特征增強(qiáng)的關(guān)鍵。2010 年，J.Friedman 提出稀疏組Lasso（Sparse Group Lasso，SG-Lasso）［5］模型，該模型在Lasso模型基礎(chǔ)上加入了組?1/?F混合范數(shù)，在恢復(fù)稀疏特征的前提下也保留了圖像的結(jié)構(gòu)特征。相比Lasso ADMM，SG-Lasso有效提升了SAR成像性能。

SG-Lasso 模型相比Lasso 模型來說，正則項(xiàng)中加入了組?1/?F混合范數(shù)，減小了稀疏恢復(fù)過度所帶來的負(fù)面影響，恢復(fù)了成像目標(biāo)更加精細(xì)的結(jié)構(gòu)特征，但是正則項(xiàng)參數(shù)的配比會影響信號的散射特征恢復(fù)，并且正則項(xiàng)的數(shù)目越多，正則項(xiàng)參數(shù)配比就越復(fù)雜。相比于單正則項(xiàng)，多正則項(xiàng)的參數(shù)設(shè)定更顯得格外困難。假設(shè)單正則項(xiàng)的參數(shù)設(shè)定是在一維直線上確定一個參數(shù)點(diǎn)，那么設(shè)定多正則項(xiàng)參數(shù)是在二維平面乃至高維空間上確定一條線甚至一個面，設(shè)置和調(diào)整難度呈指數(shù)倍增長，這就導(dǎo)致多正則項(xiàng)多參數(shù)調(diào)節(jié)問題成為復(fù)雜的“煉丹”，單純的手動調(diào)節(jié)在多參數(shù)下是難以實(shí)現(xiàn)的，常常需要依靠經(jīng)驗(yàn)值去調(diào)節(jié)，并且時常伴隨著難以收斂的問題存在。因此，針對單正則項(xiàng)參數(shù)乃至多正則項(xiàng)參數(shù)調(diào)節(jié)問題，本文提出一種參數(shù)自學(xué)習(xí)算法，將貝葉斯方法與ADMM將結(jié)合，不僅可以完成單正則項(xiàng)的參數(shù)評估，而且還可以實(shí)現(xiàn)多正則項(xiàng)多參數(shù)的自適應(yīng)協(xié)同優(yōu)化。

本文針對SAR 成像推導(dǎo)其回波信號模型，在該模型下針對單正則項(xiàng)參數(shù)和多正則項(xiàng)參數(shù)問題依次進(jìn)行參數(shù)自學(xué)習(xí)。正則項(xiàng)參數(shù)的自適應(yīng)估計(jì)提出了貝葉斯邊緣估計(jì)（Marginal Estimation Bayes，MEB）算法，針對目標(biāo)后驗(yàn)采樣問題引入了馬爾科夫蒙特卡洛（Markov Chain Monte Carlo，MCMC）采樣，但是常規(guī)的MCMC 只能采樣標(biāo)準(zhǔn)的后驗(yàn)概率密度函數(shù)，無法對?1/?F進(jìn)行采樣，因此本文利用Moreau-Yoshida未經(jīng)調(diào)整的朗之萬算法（Moreau-Yoshida Unadjusted Langevin Algorithm，MYULA）［6］進(jìn)行采樣，最后將邊緣似然估計(jì)與梯度投影法相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)參數(shù)自學(xué)習(xí)。MEB 算法根據(jù)先驗(yàn)特征和似然分布得到先驗(yàn)概率和似然函數(shù)，通過二者相乘求積分得到邊緣似然函數(shù)，但因邊緣似然函數(shù)存在兩項(xiàng)多維積分，求解解析解實(shí)在太過復(fù)雜，所以通過MYULA和梯度投影法在其對數(shù)梯度方向上迭代最優(yōu)值，最終迭代求出參數(shù)最優(yōu)值，實(shí)現(xiàn)參數(shù)自學(xué)習(xí)。本文實(shí)驗(yàn)選取點(diǎn)目標(biāo)仿真與實(shí)測數(shù)據(jù)，使用MEB 算法進(jìn)行正則項(xiàng)參數(shù)自學(xué)習(xí)，將最終所得結(jié)論與參數(shù)遍歷最優(yōu)值作對比，通過熱力圖去驗(yàn)證所提算法的恢復(fù)性能，并且與其他自學(xué)習(xí)算法進(jìn)行比對，從而驗(yàn)證MEB算法的有效性與實(shí)用性。

2 回波信號模型

在機(jī)載SAR 成像過程中，地面成像場景保持靜止，雷達(dá)隨飛機(jī)按照理想航跡保持運(yùn)動，通過雷達(dá)相對于目標(biāo)的運(yùn)動形成虛擬合成孔徑，雷達(dá)在不同的位置進(jìn)行回波接收并進(jìn)行相干積累，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)高分辨SAR 成像。圖1 為SAR 模式運(yùn)行的幾何模型，載機(jī)沿預(yù)定航線以速度v水平飛行，載機(jī)與地面靜止目標(biāo)場景的中心OS的參考距離矢量為R0，其中q0(t)為參考通道位置矢量，Rs為地面目標(biāo)位置矢量，t表示方位向時間。由矢量幾何關(guān)系式可知，在t時刻天線參考通道（Antenna Phase Center，APC）與運(yùn)動目標(biāo)的距離R(t)為

在SAR 成像幾何模型中，雷達(dá)隨載機(jī)保持運(yùn)動，地面目標(biāo)與場景處于靜止?fàn)顟B(tài)，設(shè)目標(biāo)與場景中心距離為Rp，載機(jī)與地面場景中心的參考斜距為|R0-q0(t)|，此時將目標(biāo)斜距在參考斜距|R0-q0(t)|處一階泰勒展開

其中Rp(xp，yp)為靜止散射點(diǎn)P與目標(biāo)場景中心OS的位置矢量，O(t)為泰勒展開的二階項(xiàng)及更高階項(xiàng)，其影響在遠(yuǎn)場假設(shè)下可以忽略不計(jì)。由式（2）可得場景下的累積SAR回波為

其中ky=為PFA 距離向插值，kx=為PFA 方位向插值。式（4）進(jìn)行變量替換kx=-vt′k0/R0，其中t′表示插值后的方位向時間，與kx呈線性正比關(guān)系。將變量替換后的式子通過傅里葉變換可得SAR數(shù)據(jù)域回波為

由式（5）可以看出，回波數(shù)據(jù)是由地面上P個散射點(diǎn)的回波信號疊加而來，sin c 函數(shù)代表距離向，表示第P個散射點(diǎn)的距離向包絡(luò)，指數(shù)函數(shù)代表方位向，表示線性相位項(xiàng)，λ為發(fā)射信號波長。

綜上所述，SAR 模式的回波信號模型為線性回歸模型如

其中Y代表經(jīng)過預(yù)處理后的回波數(shù)據(jù)，在式（5）中表示為，通常為一個N×M的矩陣，其中N為方位向，M為距離向，X代表待恢復(fù)的信號，其矩陣元素對應(yīng)方位向和距離向位置，其中代表距離向包絡(luò)，exp(-jkxxp) 代表方位向線性相位。W代表加性噪聲。A為方位向傅里葉字典，可以實(shí)現(xiàn)方位向多普勒成像。在SAR 模式下，A為傅里葉字典如

其中[?]T代表矩陣的轉(zhuǎn)置，fd(?)表示方位向上的多普勒頻率。

3 典型稀疏SAR成像問題模型

求解式（6）回波模型是典型的逆問題求解，但由于加性噪聲的存在或現(xiàn)實(shí)存在的降采樣需求使問題變得較為復(fù)雜，可利用壓縮感知進(jìn)行求解，需要引入目標(biāo)X本身的散射特征先驗(yàn)知識，創(chuàng)建目標(biāo)X的先驗(yàn)?zāi)Ｐ陀葹橹匾?。壓縮感知有兩類框架，一種是凸優(yōu)化學(xué)習(xí)框架，另一種是貝葉斯統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)框架。在凸優(yōu)化學(xué)習(xí)框架中，目標(biāo)先驗(yàn)信息通過懲罰函數(shù)引入，?1范數(shù)可以針對目標(biāo)稀疏先驗(yàn)進(jìn)行建模，?2范數(shù)可以針對目標(biāo)平滑先驗(yàn)進(jìn)行建模等等，這些范數(shù)的引入可以有效解決欠定的目標(biāo)恢復(fù)問題。本文通過優(yōu)化學(xué)習(xí)建立正則化框架去求解式（6），使其具備良好的適應(yīng)性。在凸優(yōu)化學(xué)習(xí)中，正則化線性回歸［8］是最普遍的，其數(shù)學(xué)模型為

其中‖?‖1代表?1范數(shù)，‖?‖F(xiàn)代表Frobenius范數(shù)，λ>0代表正則項(xiàng)參數(shù)。式（9）右邊第一項(xiàng)為最小二乘項(xiàng)，也稱保真項(xiàng)，用來表示恢復(fù)信號與原信號的相似度，第二項(xiàng)為正則項(xiàng)，也稱懲罰項(xiàng)，用來控制恢復(fù)圖像的稀疏度。在Lasso模型中，?1范數(shù)正則項(xiàng)雖然可以很好的去除雜波和噪聲，保留強(qiáng)散射特征，但是它也會影響弱散射特征的恢復(fù)，使得信號散射特征恢復(fù)精度有限。而SG-Lasso模型可以保留目標(biāo)結(jié)構(gòu)特征的前提下還能有效去除噪聲與雜波，其數(shù)學(xué)模型為

其中Xi表示目標(biāo)X的組結(jié)構(gòu)，i表示分組數(shù)，范圍從1 取到L。如果λ2=0，則表達(dá)式就與Lasso 模型一致；如果λ1=0，?1范數(shù)正則項(xiàng)不存在，模型將變?yōu)榻MLasso 模型，只能實(shí)現(xiàn)組間稀疏與組內(nèi)元素平滑。式（10）右邊第一項(xiàng)仍然為最小二乘項(xiàng)，第二項(xiàng)為?1范數(shù)正則項(xiàng)，用來實(shí)現(xiàn)組結(jié)構(gòu)內(nèi)部元素的稀疏特征，而第三項(xiàng)正則項(xiàng)先用Frobenius范數(shù)實(shí)現(xiàn)組內(nèi)元素平滑，然后求塊結(jié)構(gòu)的?1范數(shù)，實(shí)現(xiàn)各組之間的稀疏表征，從而在恢復(fù)圖像中既保證了有用信息不會被消除，又抑制了噪聲與雜波。

綜上所述，正則項(xiàng)引入了先驗(yàn)知識，實(shí)現(xiàn)了特征增強(qiáng)，所以正則項(xiàng)對信號恢復(fù)有著舉足輕重的影響。正則項(xiàng)參數(shù)的大小決定著正則項(xiàng)的影響比重，但是傳統(tǒng)的手動“煉丹”調(diào)參一直都是一個比較困難的問題，因?yàn)椴煌某上穹绞?、場景和噪聲條件通常要設(shè)定不同比重的正則項(xiàng)，尤其面臨多正則項(xiàng)多參數(shù)問題時，傳統(tǒng)手動搜索的難度呈指數(shù)項(xiàng)增加，效率也會變得極為低下。

4 MEB參數(shù)自學(xué)習(xí)算法

正則化框架的建立可以較好地恢復(fù)目標(biāo)的散射特征，而正則項(xiàng)參數(shù)的設(shè)定決定著先驗(yàn)?zāi)Ｐ秃湍繕?biāo)真實(shí)特征的匹配程度，進(jìn)而影響信號的恢復(fù)效果。相比于傳統(tǒng)的手動調(diào)參，MEB 算法在結(jié)合了梯度投影法后，對單正則項(xiàng)和多正則項(xiàng)的參數(shù)都可進(jìn)行估計(jì)，并且針對非可微的正則項(xiàng)函數(shù)問題也引入了MYULA 進(jìn)行解決，提升了ADMM 算法的恢復(fù)效率。首先根據(jù)貝葉斯原理推導(dǎo)貝葉斯邊緣估計(jì)模型。

4.1 邊緣估計(jì)貝葉斯建模

設(shè)連續(xù)凸函數(shù)f(X)代表式（9）或式（10）中最小二乘項(xiàng)，g(X)為式（9）或式（10）中正則項(xiàng)。根據(jù)傳統(tǒng)貝葉斯理論，式（6）中Y的似然函數(shù)為

先驗(yàn)X的概率密度為

其中Q(λ)表示的是先驗(yàn)的歸一化函數(shù)，表示為

在經(jīng)典貝葉斯［9］方法下，正則項(xiàng)參數(shù)λ直接由觀測數(shù)據(jù)Y來估計(jì)。例如在邊緣似然估計(jì)中，可得到

當(dāng)邊緣似然函數(shù)取得最大值時，圖像效果恢復(fù)最佳，λ也達(dá)到最佳值。其中邊緣概率密度可由貝葉斯公式求得

由上述推導(dǎo)，雖然邊緣概率密度可以由式（15）表示，但由式（13）及式（15）可知其涉及兩個m 維積分，求解λ太過復(fù)雜。本文通過使用近似優(yōu)化技術(shù)［10］，在成像逆問題中采用貝葉斯邊緣估計(jì)算法實(shí)現(xiàn)正則化參數(shù)λ的自動選擇。下面從單正則項(xiàng)和多正則項(xiàng)兩方面進(jìn)行參數(shù)自學(xué)習(xí)。

4.2 單正則項(xiàng)

對于單正則項(xiàng)而言，在Lasso 模型下，g(X)=λ‖vec(X)‖1為線性齊次函數(shù)，由于式（15）形式太過復(fù)雜難以求解，但針對其對數(shù)梯度

進(jìn)行求解相對更為容易，其中l(wèi)(X)=‖vec(X)‖1滿足：對于任意X∈Rm，m 表示數(shù)據(jù)維度，l(tX)=tl(X)。因此可以推斷出

對于所有的λ>0，將式（17）代入式（16）可得

采用隨機(jī)近似梯度算法［11］，式（18）中的p(X|Y，λ)dX可以被一個馬爾可夫采樣器所代替，最后得到的梯度對數(shù)邊緣似然為

由式（19）可知，通過對數(shù)梯度邊緣似然近似迭代λ的條件為后驗(yàn)X的采樣序列必須已知或者可以求解，這可通過馬爾科夫蒙特卡洛（Markov Chain Monte Carlo，MCMC）［12］采樣解決。MCMC 中未經(jīng)調(diào)整的朗之萬算法（Unadjusted Langevin Algorithm，ULA）［13］只能解決函數(shù)可微問題，而MYULA算法可以求解凸且不平滑的高維逆問題。而式（9）中目標(biāo)函數(shù)

即為MCMC中后驗(yàn)概率密度的勢能函數(shù)。

對于Lasso模型而言，最小二乘項(xiàng)為可微項(xiàng)，而正則項(xiàng)為不可微項(xiàng)，Lasso模型的代價函數(shù)為凸函數(shù)，并且是非平滑函數(shù)。針對此類非可微正則項(xiàng)求解問題，傳統(tǒng)的ULA方法并不能對非可微函數(shù)進(jìn)行梯度求解，因此本文采用MYULA算法進(jìn)行求解，其迭代公式為

其中φ為步長，ε為平滑參數(shù)，N為d維均值為0的高斯隨機(jī)變量。針對式（20）中勢能函數(shù)的非可微部分，通過其鄰近算子求次梯度［14］，可得到

對于任意的φ>0，此時式（21）變?yōu)?/p>

將式（23）代入式（19），可以求出邊緣似然函數(shù)的對數(shù)梯度，則對于任意的n∈N，由梯度投影法有

其中∏Ω(?) 為投影算子，表示在凸閉集Ω 上的投影，δ>0為迭代步長。通過迭代在對數(shù)梯度邊緣似然函數(shù)方向?λlogp(Y|λ)上搜索，最終可得到參數(shù)λ的估計(jì)值。

4.3 多正則項(xiàng)

對于多正則項(xiàng)而言，存在多個正則項(xiàng)參數(shù)。本文考慮在雙層稀疏組Lasso 模型下，因?yàn)間(X)=是可分離齊次函數(shù)，由兩個線性齊次函數(shù)構(gòu)成。在這種情況下，對于所有的λ∈Ω，先驗(yàn)的歸一化函數(shù)Q(λ)為

Ap=dm×dp，dm和dp為X的維度。而混合?1/?F范數(shù)和?1范數(shù)都屬于線性齊次函數(shù)，因此

利用MYULA 對多正則項(xiàng)情況下勢能函數(shù)類似于式（23）進(jìn)行采樣，得到X的采樣值，再通過梯度投影法對λ1和λ2進(jìn)行并行迭代求解。

5 算法流程

本文算法結(jié)合貝葉斯理論，利用MYULA 采樣并最終利用梯度投影法進(jìn)行迭代求解參數(shù)。首先確定X0以及參數(shù)的初值，設(shè)置迭代次數(shù)，然后根據(jù)式（23）利用MYULA采樣目標(biāo)后驗(yàn)X，將采樣得到的X帶入式（24）進(jìn)行迭代，將前25 次結(jié)果舍去，最后將所求結(jié)果求和取平均，得到的值即為參數(shù)自學(xué)習(xí)所得到的值。具體步驟如表1所示。

表1 貝葉斯邊緣估計(jì)算法流程Tab.1 Algorithm Flowchart of MEB

6 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證所提參數(shù)自適應(yīng)算法的有效性和準(zhǔn)確性，本文首先基于目標(biāo)點(diǎn)仿真在Lasso和SG-Lasso兩種正則化框架下利用所提算法進(jìn)行成像對比，并對所求參數(shù)與遍歷參考值進(jìn)行誤差分析，遍歷參考值是根據(jù)網(wǎng)格搜索的方式求得，具體求解方式為將參數(shù)先劃分在一個大致區(qū)域內(nèi)，然后通過網(wǎng)格搜索方式進(jìn)行參數(shù)成像對比，成像恢復(fù)最好的那個參數(shù)即為遍歷參考值，其中誤差=。同時利用美國Sandia 實(shí)驗(yàn)室公布的復(fù)圖像SAR 數(shù)據(jù)，在這兩種正則化框架下進(jìn)行成像比對。針對迭代次數(shù)，由于算法進(jìn)行了大量實(shí)驗(yàn)，得出MEB 算法基本在25 次之后就達(dá)到收斂，所以本文將25 次前所求正則參數(shù)進(jìn)行舍去，并將25 次之后（一般N取300即可）的正則參數(shù)進(jìn)行平均值求解，以達(dá)到正則參數(shù)求解的精確性。最后將仿真模型的蒙特卡洛數(shù)據(jù)用于熱力圖成像恢復(fù)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行性能評估，用以定量分析算法的參數(shù)恢復(fù)精度。

6.1 仿真數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)

首先仿真實(shí)驗(yàn)通過模擬“SAR”為成像場景，并在場景內(nèi)隨機(jī)分布散射點(diǎn)，模擬回波數(shù)據(jù)大小為256×512，其中仿真參數(shù)設(shè)置如下：中心頻率為10 GHz，脈沖寬度為5 μs，發(fā)射信號帶寬為150 MHz，脈沖重復(fù)頻率為1000 Hz 以及作用距離為8 km。圖2（a）表示無降采樣無噪聲下通過傅里葉變換得到的仿真參考恢復(fù)圖像，圖2（b）是降采樣加噪聲后通過傅里葉變化得到的成像結(jié)果，其中降采樣率為0.7，信噪比為10 dB，圖2（c）為Lasso 模型恢復(fù)結(jié)果，其中正則項(xiàng)參數(shù)由遍歷獲取，此時真值可認(rèn)定為遍歷結(jié)果，圖2（d）為本文參數(shù)自學(xué)習(xí)成像結(jié)果。由上面分析可以看出，在降采樣加噪聲之后，通過成像恢復(fù)算法可看出本文算法估計(jì)的參數(shù)用于成像時噪聲基本被抑制。由表2 所示，參數(shù)自學(xué)習(xí)數(shù)值為0.0038，與手動遍歷參考值0.0035 相比，誤差在10%以內(nèi)。在效率方面，相比遍歷參考值，算法復(fù)雜性得到了較大的降低。

表2 Lasso模型仿真數(shù)據(jù)參數(shù)誤差分析Tab.2 Parameter Error Analysis of Lasso Model Simulation Data

另外，由圖2（c）、（d）看出，在Lasso 框架下，圖中黑色陰影基本被去除，代表信號噪聲被抑制，但是仿真數(shù)據(jù)本身結(jié)構(gòu)輪廓也沒有完整恢復(fù)，代表一些弱散射點(diǎn)也被消除，只保留了信號的稀疏特征，結(jié)構(gòu)特征無法完整保留。所以在此前提下，本文還在SG-Lasso 模型下利用算法對多正則項(xiàng)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，通過實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證算法可行性。

本組仿真實(shí)驗(yàn)是通過隨機(jī)模擬四個圖形中的散射點(diǎn)而形成的，其大小為256×256，實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置為：中心頻率為10 GHz，脈沖寬度為10 μs，發(fā)射信號帶寬為300 MHz，脈沖重復(fù)頻率為1020 Hz。圖3（a）是無降采樣無噪聲時傅里葉變換后的參考恢復(fù)圖像，圖3（b）是降采樣加噪聲后傅里葉變換的成像結(jié)果，降采樣率為0.8，信噪比為10 dB，圖3（c）表示遍歷正則項(xiàng)參數(shù)的參考值在SG-Lasso 模型下的恢復(fù)圖像，圖3（d）為本文算法在SG-Lasso 模型下的恢復(fù)圖像。

從圖3 可以看出，恢復(fù)算法不僅保留了圖像的稀疏特性，去除了（b）中的陰影部分，而且由于組?1/?F范數(shù)的存在，圖像的邊緣輪廓與結(jié)構(gòu)特征也被保留下來，恢復(fù)效果較好。而參數(shù)值的精確程度由表3 可知，參數(shù)自學(xué)習(xí)的估計(jì)值分別為0.008 和2.197，而在二維方向上手動遍歷參考值為0.007和2.2，誤差均不超過15%。在效率方面，參數(shù)自學(xué)習(xí)的復(fù)雜性相比遍歷參考值相比有了明顯的下降。

表3 SG-Lasso模型仿真數(shù)據(jù)參數(shù)誤差分析Tab.3 Parameter Error Analysis of SG-Lasso Model Simulation Data

6.2 實(shí)測數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)

本組實(shí)驗(yàn)采用美國Sandia 實(shí)驗(yàn)室的SAR 實(shí)測復(fù)數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)圖像，其大小為401×701。雷達(dá)作用于X 波段，發(fā)射信號帶寬為1500 MHz，脈沖重復(fù)頻率為2100 Hz，作用距離為10 km，距離向和方位向上的分辨率都為0.1 m。圖4（a）表示未降采樣未加噪的傅里葉變換結(jié)果，圖4（b）為降采樣加噪聲的傅里葉變換結(jié)果，其中降采樣率為0.7，信噪比為10 dB，圖4（c）表示遍歷正則項(xiàng)參數(shù)最優(yōu)值在Lasso 模型下的恢復(fù)圖像，圖4（d）是經(jīng)過本文參數(shù)算法在Lasso模型下的恢復(fù)圖像。由圖4 可以看出，降采樣加噪聲處理后，通過成像恢復(fù)算法可看出本文算法估計(jì)的參數(shù)用于成像時噪聲基本被抑制。如表4 所示，參數(shù)自學(xué)習(xí)的估計(jì)值為0.184，與遍歷最優(yōu)值0.2相比，誤差不超過10%。

表4 Lasso模型實(shí)測數(shù)據(jù)參數(shù)誤差分析Tab.4 Parameter Error Analysis of Lasso Model Real Data

與仿真數(shù)據(jù)類似，Lasso模型對圖像稀疏度恢復(fù)效果較好，但是圖像中的有效信息也一并被稀疏掉了，導(dǎo)致了圖像的結(jié)構(gòu)特征丟失。因此本文也對SG-Lasso模型進(jìn)行了參數(shù)自學(xué)習(xí)。

本組實(shí)驗(yàn)同樣采用的是美國Sandia 實(shí)驗(yàn)室的SAR 實(shí)測復(fù)數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)圖像，場景為馬路，其大小為401×321。雷達(dá)作用于X 波段，發(fā)射信號帶寬為1500 MHz，脈沖重復(fù)頻率為2100 Hz，作用距離為10 km，距離向和方位向上的分辨率都為0.1 m。圖5（a）是未降采樣未加噪的傅里葉變換結(jié)果，圖5（b）表示降采樣加噪聲的傅里葉變換結(jié)果，其中降采樣率為0.7，信噪比為10 dB，圖5（c）為經(jīng)過遍歷最優(yōu)值正則項(xiàng)參數(shù)在SG-Lasso 模型下的恢復(fù)圖像，圖5（d）表示經(jīng)過參數(shù)估計(jì)算法在SG-Lasso 模型下的恢復(fù)圖像。

從圖5 可以看出，恢復(fù)算法不僅保留了圖像的稀疏特性，而且由于組?1/?F范數(shù)的存在，圖像的結(jié)構(gòu)特征也被保留下來，恢復(fù)效果較好。而參數(shù)值的精確程度由表5 可知，參數(shù)自學(xué)習(xí)的估計(jì)值分別為199 和1.66，與最優(yōu)值200 和1.6 相比，誤差在4%之內(nèi)。

表5 SG-Lasso模型實(shí)測數(shù)據(jù)參數(shù)誤差分析Tab.5 Parameter Error Analysis of SG-Lasso Model Real Data

6.3 熱力圖恢復(fù)實(shí)驗(yàn)

本節(jié)實(shí)驗(yàn)采用相變熱力圖（Phase Transition Diagram，PTD）［15］進(jìn)行定量評估，該方法通過100 組蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)，對每一個點(diǎn)求100次結(jié)果的平均值，可以計(jì)算在不同參數(shù)下算法成像的恢復(fù)結(jié)果與參考恢復(fù)圖像的相關(guān)度。相關(guān)度越接近1，恢復(fù)效果越好，圖像顏色也越深。

針對單正則項(xiàng)，實(shí)驗(yàn)利用?1范數(shù)的參數(shù)計(jì)算恢復(fù)圖像與參考圖像的NMSE（Normalized Mean Square Error，NMSE）

其中Xk、X分別表示恢復(fù)圖像和參考恢復(fù)信號。NMSE越小，圖像恢復(fù)度越好。

根據(jù)圖6 可以看出，當(dāng)λ=0.0035 時，NMSE 最小，恢復(fù)效果最佳，與算法所得參數(shù)0.0038對比，誤差在10%以內(nèi)。

針對多正則項(xiàng)，以兩個正則項(xiàng)參數(shù)為橫縱坐標(biāo)，通過100組蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證算法的成功概率，如圖7 所示，顏色從淺到深漸變表示恢復(fù)圖像效果從差到好，其中降采樣率為0.8，信噪比為10 dB。根據(jù)圖7 可以看出，λ2對圖像恢復(fù)起主導(dǎo)作用。當(dāng)λ1為0.007，λ2為2.2 時，圖像恢復(fù)效果最佳，與算法所得參數(shù)0.008 與2.197 相比，誤差在15%以內(nèi)，體現(xiàn)了算法的準(zhǔn)確性和實(shí)用性。

6.4 目標(biāo)恢復(fù)對比實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證算法的實(shí)用性，本文引入傳統(tǒng)聯(lián)合后驗(yàn)估計(jì)算法［16］進(jìn)行對比，傳統(tǒng)聯(lián)合后驗(yàn)估計(jì)主要是利用目標(biāo)X與參數(shù)λ的互相迭代求解最優(yōu)值，其迭代公式如下

其中t為迭代次數(shù)，從1 開始；n為目標(biāo)X的維度，當(dāng)n較大時，α和β對參數(shù)影響不大，一般都取為1，該算法一般在5～10次后達(dá)到收斂。

仿真實(shí)驗(yàn)是通過隨機(jī)模擬兩個圖形中的散射點(diǎn)而形成的，其大小為256×512，實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置為：中心頻率為5 GHz，脈沖寬度為5 μs，發(fā)射信號帶寬為300 MHz，脈沖重復(fù)頻率為1000 Hz。圖8（a）是無降采樣無噪聲時通過傅里葉變換后的參考恢復(fù)圖像，圖8（b）是降采樣加噪聲后的傅里葉成像結(jié)果，降采樣率為0.7，信噪比為10 dB，圖8（c）表示運(yùn)用本文算法的恢復(fù)圖像，圖8（d）為運(yùn)用聯(lián)合后驗(yàn)估計(jì)算法的恢復(fù)圖像。

根據(jù)圖8 可以看出，相比于傳統(tǒng)聯(lián)合后驗(yàn)估計(jì)算法的恢復(fù)結(jié)果，本文所提算法的恢復(fù)效果更佳，并且傳統(tǒng)聯(lián)合后驗(yàn)估計(jì)算法只能對單正則項(xiàng)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，局限性較大，而MEB 可對多正則項(xiàng)多參數(shù)進(jìn)行協(xié)同自學(xué)習(xí)，體現(xiàn)了算法的有效性與實(shí)用性。

7 結(jié)論

本文針對優(yōu)化問題中常見的正則項(xiàng)參數(shù)“煉丹”問題，引入了參數(shù)自學(xué)習(xí)算法，實(shí)現(xiàn)了單特征乃至多特征的參數(shù)自學(xué)習(xí)。貝葉斯邊緣估計(jì)算法通過與貝葉斯原理相結(jié)合，對邊緣似然函數(shù)進(jìn)行建模求解，并采用MYULA 采樣解決了先驗(yàn)分布非可微問題，最終使用邊緣似然估計(jì)求出參數(shù)最優(yōu)值，解決了傳統(tǒng)手動搜索的繁瑣冗長問題，使ADMM 算法更加高效，最后通過仿真數(shù)據(jù)和實(shí)測數(shù)據(jù)驗(yàn)證了算法的有效性和實(shí)用性。