單位根左側(cè)調(diào)整Wald聯(lián)合檢驗(yàn)量研究

王曉強(qiáng) 江海峰

（安徽工業(yè)大學(xué) 商學(xué)院，安徽 馬鞍山 243032）

0 引言

眾所周知，單位根檢驗(yàn)是檢驗(yàn)經(jīng)濟(jì)理論、防止偽回歸、深入研究其他相關(guān)理論不可缺少的環(huán)節(jié)。因此，檢驗(yàn)宏觀經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列是否為單位根過程，一直成為理論和實(shí)證研究的熱點(diǎn)。自單位根DF檢驗(yàn)提出以來，單位根檢驗(yàn)量理論不斷深入發(fā)展。在檢驗(yàn)量改進(jìn)研究方面，學(xué)者們先后提出ADF檢驗(yàn)、PP檢驗(yàn)、KPSS檢驗(yàn)、ERS檢驗(yàn)和NP檢驗(yàn)，這些檢驗(yàn)方法被計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)軟件所采納，成為目前單位根主流檢驗(yàn)方法[1-6]。在檢驗(yàn)方法改進(jìn)方面，不少學(xué)者將Bootstrap方法引入到單位根檢驗(yàn)中，取到了較好的檢驗(yàn)效果[7]。Phillips和Magdalinos[8]在單位根檢驗(yàn)引入相關(guān)變量從而提出IVX檢驗(yàn)方法，Hepsag[9]考察結(jié)構(gòu)突變非線性調(diào)整單位根檢驗(yàn)方法。在檢驗(yàn)時(shí)間序列頻率方面，Hylleberg等[10]考察季節(jié)數(shù)據(jù)，提出季節(jié)單位根HEGY檢驗(yàn)，而Laurent和Shi[11]進(jìn)一步提出高頻數(shù)據(jù)單位根檢驗(yàn)方法。其他相關(guān)研究不一而足，這里不再贅述。

由于單位根檢驗(yàn)結(jié)論同時(shí)受到數(shù)據(jù)生成過程和檢驗(yàn)?zāi)Ｐ驮O(shè)置影響，從某種程度上說，單位根檢驗(yàn)過程就是確定數(shù)據(jù)生成過程。為此，Doldado等[12]、江海峰和汪忠志[13]分別提出單位根DJSR檢驗(yàn)流程和KPSS檢驗(yàn)流程。就DJSR檢驗(yàn)流程來說，單位根檢驗(yàn)不僅要檢驗(yàn)單位根項(xiàng)，還需要同時(shí)考察與漂移項(xiàng)和趨勢(shì)項(xiàng)的聯(lián)合檢驗(yàn)。聶巧平和張曉峒[14]、張凌翔和張曉峒[15-16]分別考察DF類單位根中聯(lián)合檢驗(yàn)的F檢驗(yàn)量、Wald檢驗(yàn)量和LM檢驗(yàn)量。左秀霞[17]進(jìn)一步考慮單位根檢驗(yàn)中高次趨勢(shì)聯(lián)合F檢驗(yàn)量分布。和其他檢驗(yàn)量一樣，這三類檢驗(yàn)量僅考察原假設(shè)成立時(shí)信息，在檢驗(yàn)量構(gòu)建過程中采用雙側(cè)假設(shè)檢驗(yàn)?zāi)Ｊ剑雎粤藗鋼窦僭O(shè)中單側(cè)設(shè)置形式所提供的信息。Abadir等[18]研究表明，融入備擇假設(shè)信息的聯(lián)合檢驗(yàn)量能夠提高檢驗(yàn)功效。由于單位根檢驗(yàn)屬于單邊左側(cè)檢驗(yàn)，因而可以嘗試將單側(cè)檢驗(yàn)信息融入到上述聯(lián)合檢驗(yàn)量構(gòu)造中。鑒于F檢驗(yàn)量、Wald檢驗(yàn)量和LM檢驗(yàn)量的相似性，文章以Wald檢驗(yàn)量為代表展開研究。首先，按照數(shù)據(jù)生成過程是否包括漂移項(xiàng)，分類討論單位根檢驗(yàn)中左側(cè)聯(lián)合檢驗(yàn)量的構(gòu)建；其次，研究大樣本下調(diào)整聯(lián)合檢驗(yàn)量的分布，利用蒙特卡洛模擬技術(shù)獲取左側(cè)調(diào)整聯(lián)合檢驗(yàn)量分位數(shù)；最后，從分位數(shù)、檢驗(yàn)水平和檢驗(yàn)功效三個(gè)角度和無調(diào)整聯(lián)合檢驗(yàn)量進(jìn)行比較。這些研究完善了單位根檢驗(yàn)流程理論，為實(shí)證研究提供一種新檢驗(yàn)方法。

1 單邊檢驗(yàn)量構(gòu)造

根據(jù)經(jīng)典Wald檢驗(yàn)量構(gòu)造有

其中I（·）為示性函數(shù)，條件成立取1，否則取0。

2 單位根檢驗(yàn)左側(cè)聯(lián)合檢驗(yàn)量構(gòu)建研究

2.1 無漂移項(xiàng)單位根數(shù)據(jù)生成過程

不失一般性，為便于敘述，文章研究DF模式下的左側(cè)調(diào)整聯(lián)合檢驗(yàn)量構(gòu)建，對(duì)于PP檢驗(yàn)和ADF檢驗(yàn)也可以類似研究。沿用文獻(xiàn)[15]中的記號(hào)，與W22、W33檢驗(yàn)量對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)生成過程為

其中 εt～iid（0，σ2），y0=0，T 為樣本容量。估計(jì)模型分別為

在模型（3）中檢驗(yàn) H01∶α1=0，ρ1=0，在模型（4）中檢驗(yàn) H02∶α2=0，δ1=0，ρ2=0，檢驗(yàn)量分別記為W22、W33。設(shè) diag（·）表示以括號(hào)內(nèi)元素構(gòu)造對(duì)角陣，W（·）表示定義在[0，1]內(nèi)的布朗運(yùn)動(dòng)。引入相關(guān)記號(hào)如下

對(duì)檢驗(yàn) H01∶α1=0，ρ1=0、H02∶α2=0，δ1=0，ρ2=0 有h11（θ1） = α1，h12（θ1） = ρ1，，h22（θ2） = ρ2對(duì)模型（3）令

記左側(cè)調(diào)整Wald聯(lián)合檢驗(yàn)量分別為W22adj和W33adj，?表示弱收斂，則有以下定理1成立。

定理1 設(shè)數(shù)據(jù)生成為式（2），分別估計(jì)模型（3）和模型（4），檢驗(yàn)假設(shè) H01∶α1=0，ρ1=0、H02∶α2=0，δ1=0，ρ2=0。記左側(cè)調(diào)整 Wald聯(lián)合檢驗(yàn)量為 W22adj和 W33adj，則有

證明 由OLS估計(jì)知，模型（3）和模型（4）的參數(shù)估計(jì)量及其方差在大樣本下服從分布為

縱觀馬克思的青年時(shí)代，他也擁有本屬于青年人的一般特質(zhì)，甚至曾經(jīng)是一個(gè)叛逆青年。他曾經(jīng)流連于所謂“特里爾同鄉(xiāng)會(huì)”組織的各種聚會(huì)當(dāng)中，也曾因?yàn)槊總€(gè)月的巨額花銷遭到父親的斥責(zé)。但是，這些只是一個(gè)年輕人在成長過程中的一段插曲，而馬克思在青年時(shí)代所展現(xiàn)出的與眾不同的精神特質(zhì)，注定意味著他將在自己的人生中譜寫出壯麗的樂章。

i=1，2。對(duì)模型（3），根據(jù)式（5）計(jì)算表明

帶入W22adj和W33adj表達(dá)式，且示性函數(shù)I（·）為連續(xù)函數(shù)，根據(jù)連續(xù)映射定理，容易驗(yàn)證定理1成立。

2.2 有漂移項(xiàng)單位根數(shù)據(jù)生成過程

設(shè)數(shù)據(jù)生成過程為

此時(shí)估計(jì)模型分別為模型（7）和模型（8）

在模型（7）中建立假設(shè) H03∶α3=c，ρ3=0，在模型（8）分別建立假設(shè) H04∶δ2=0，ρ4=0，H05∶α4=c，ρ4=0，H06∶α4=c，δ2=0，ρ4=0。對(duì)模型（8）進(jìn)行共線性處理得

證明 對(duì)模型（7）而言，當(dāng)數(shù)據(jù)生成為式（6）時(shí)，參數(shù)估計(jì)量及其方差分布在大樣本下有

帶入檢驗(yàn)量W32adj的表達(dá)式可得結(jié)論成立。類似可證明W34adj、W33adj的分布也成立，從而定理2成立。

3 仿真模擬研究

和無調(diào)整Wald聯(lián)合檢驗(yàn)量一樣，調(diào)整Wald聯(lián)合檢驗(yàn)量在大樣本下收斂到維納過程的泛函，也為非標(biāo)準(zhǔn)分布，但與無調(diào)整Wald聯(lián)合檢驗(yàn)量分布不同。為此，需要使用蒙特卡洛模擬技術(shù)獲取分位數(shù)，所有仿真模擬采用統(tǒng)計(jì)軟件SAS9.4。設(shè)置模擬次數(shù)為50萬次，擾動(dòng)項(xiàng)εt服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。不失一般性，令漂移項(xiàng)c=0.1。為進(jìn)行對(duì)比，同時(shí)列出無調(diào)整和調(diào)整的Wald聯(lián)合檢驗(yàn)量分位數(shù)。限于篇幅，這里只列出95%分位數(shù)，結(jié)果如表1所示。表1給出了13種樣本下的95%分位數(shù)模擬結(jié)果。表1反映出3條結(jié)論。第一，隨著樣本容量的增大，各個(gè)檢驗(yàn)量的分位數(shù)呈現(xiàn)下降趨勢(shì)，但降幅趨緩，這與各個(gè)檢驗(yàn)量在大樣本下具有明確的分布相吻合。第二，固定樣本容量時(shí)，所有調(diào)整Wald聯(lián)合檢驗(yàn)量的分位數(shù)都小于對(duì)應(yīng)無調(diào)整Wald聯(lián)合檢驗(yàn)量的分位數(shù)。第三，聯(lián)合檢驗(yàn)量W22adj與W22、Wadj與W分位數(shù)差異相對(duì)較大，其他三組調(diào)整聯(lián)合檢驗(yàn)量，與對(duì)應(yīng)的無調(diào)整聯(lián)合檢驗(yàn)量分位數(shù)相差很小，個(gè)別場(chǎng)合在小數(shù)點(diǎn)后三位完全相同。原因是模型（3）、模型（7）中1＜ 0 和3＜ 0出現(xiàn)的機(jī)會(huì)比模型（4）、模型（9）中2＜ 0 和4＜ 0出現(xiàn)的機(jī)會(huì)要小，機(jī)會(huì)越小，調(diào)整Wald聯(lián)合檢驗(yàn)量與無調(diào)整Wald聯(lián)合檢驗(yàn)量分位數(shù)相差越大。下面表2給出與表1相對(duì)應(yīng)單位根項(xiàng)估計(jì)小于零出現(xiàn)的比例。顯然，1＜0出現(xiàn)機(jī)會(huì)基本在95%左右，2＜0 與4＜ 0 出現(xiàn)機(jī)會(huì)高達(dá) 99%，而3＜ 0出現(xiàn)機(jī)會(huì)最小，且隨著樣本增大呈現(xiàn)下降趨勢(shì)。

接下來考察檢驗(yàn)水平和檢驗(yàn)功效，設(shè)置模擬次數(shù)為1萬次，其他設(shè)置與分位數(shù)模擬設(shè)置相同。取單位根項(xiàng) ρ分別為 1.00、0.95、0.90、0.85 和0.80。其中，取值為1.00表示單位根數(shù)據(jù)生成過程，對(duì)應(yīng)檢驗(yàn)水平；其他4組值表示數(shù)據(jù)生成為平穩(wěn)過程，對(duì)應(yīng)檢驗(yàn)功效。表3給出了部分樣本下模擬結(jié)果，分位數(shù)來自表1。就檢驗(yàn)水平而言，考慮到抽樣的隨機(jī)性，當(dāng)取顯著性水平為5%時(shí)，計(jì)算表明，名義檢驗(yàn)水平區(qū)間估計(jì)為[4.57%，5.43%][19]。表3顯示，當(dāng)ρ取值為1.00時(shí)，所有檢驗(yàn)量檢驗(yàn)水平基本以5%為中心作上下波動(dòng)，且落在上述區(qū)間估計(jì)內(nèi)，表明左側(cè)調(diào)整Wald聯(lián)合檢驗(yàn)量也具有滿意的檢驗(yàn)水平。當(dāng)ρ取值小于1考察檢驗(yàn)功效時(shí)，表3揭示出3點(diǎn)結(jié)論。第一，固定樣本容量時(shí)，檢驗(yàn)功效隨ρ降低而增大。以調(diào)整聯(lián)合檢驗(yàn)量W22adj為例，當(dāng)樣本容量為25時(shí)，ρ分別取0.95、0.90、0.85和0.80時(shí)，檢驗(yàn)功效分別為4.10%、4.38%、5.66%、7.894%，遞增趨勢(shì)明顯。第二，固定ρ取值時(shí)，檢驗(yàn)功效隨著樣本容量增大而增大。仍以調(diào)整聯(lián)合檢驗(yàn)量W22adj為例，ρ取0.95，6種樣本下檢驗(yàn)功效分別為 4.10%、5.04%、7.70%、22.42%、34.92%和92.75%，增幅也顯著。第三，所有左側(cè)調(diào)整Wald聯(lián)合檢驗(yàn)量檢驗(yàn)功效，都不低于對(duì)應(yīng)的非調(diào)整聯(lián)合檢驗(yàn)量檢驗(yàn)功效，尤其是聯(lián)合檢驗(yàn)量W22與W22adj、W與Wadj，左側(cè)調(diào)整Wald聯(lián)合檢驗(yàn)量檢驗(yàn)功效優(yōu)勢(shì)明顯，只有當(dāng)樣本足夠大，或者ρ與1.00偏離較大時(shí)，此時(shí)兩類檢驗(yàn)量檢驗(yàn)功效近乎相等。聯(lián)合檢驗(yàn)量 W33與W33adj、W32與 W32adj、W34與W34adj的檢驗(yàn)功效基本相當(dāng)，在少數(shù)場(chǎng)合，左側(cè)調(diào)整Wald聯(lián)合檢驗(yàn)量功效略高于無調(diào)整Wald聯(lián)合檢驗(yàn)量檢驗(yàn)功效。檢驗(yàn)功效模擬研究表明，左側(cè)調(diào)整Wald聯(lián)合檢驗(yàn)量具有明顯的功效優(yōu)勢(shì)，功效差異程度取決于單位根項(xiàng)估計(jì)值小于零的比例，比例越大，功效差異越小，因此表3反映的功效差異與表2給出的比例差異相吻合。

表1 兩種數(shù)據(jù)生成過程下無調(diào)整和調(diào)整Wald聯(lián)合檢驗(yàn)量95%分位點(diǎn)模擬值

表2 兩種數(shù)據(jù)生成過程下單位根項(xiàng)小于零出現(xiàn)的比例（%）

表3 兩種數(shù)據(jù)生成過程下無調(diào)整和調(diào)整聯(lián)合檢驗(yàn)量檢驗(yàn)水平與檢驗(yàn)功效（%）

4 結(jié)論與建議

文章以單位根過程Wald聯(lián)合檢驗(yàn)量為研究對(duì)象，按照數(shù)據(jù)生成過程是否含有漂移項(xiàng)，分別引入左側(cè)調(diào)整模式，構(gòu)造左側(cè)調(diào)整Wald聯(lián)合檢驗(yàn)量，得到以下幾點(diǎn)結(jié)論。

（1）理論研究表明，和無調(diào)整Wald聯(lián)合檢驗(yàn)量一樣，在大樣本下，左側(cè)調(diào)整Wald聯(lián)合檢驗(yàn)量分布收斂到維納過程的泛函，但與無調(diào)整Wald聯(lián)合檢驗(yàn)量分布不同，因此需要重新模擬分位數(shù)。

（2）分位數(shù)模擬顯示，當(dāng)樣本容量相同時(shí)，左側(cè)調(diào)整Wald聯(lián)合檢驗(yàn)量分位數(shù)不超過非調(diào)整Wald聯(lián)合檢驗(yàn)量分位數(shù)，兩者之間的差異取決于單位根項(xiàng)小于零的比例，比例越大，分位數(shù)差異越小。

（3）就檢驗(yàn)水平而言，當(dāng)使用名義檢驗(yàn)水平95%置信區(qū)間估計(jì)結(jié)果考察檢驗(yàn)水平時(shí)，左側(cè)調(diào)整Wald聯(lián)合檢驗(yàn)量與無調(diào)整Wald聯(lián)合檢驗(yàn)量都具有滿意的檢驗(yàn)水平。因此，從檢驗(yàn)水平角度來說，左側(cè)調(diào)整Wald聯(lián)合檢驗(yàn)量沒有出現(xiàn)過渡拒絕和拒絕不足原假設(shè)情況。

（4）就檢驗(yàn)功效而言，左側(cè)調(diào)整Wald聯(lián)合檢驗(yàn)量的檢驗(yàn)功效不但繼承無調(diào)整Wald聯(lián)合檢驗(yàn)量檢驗(yàn)功效所具有的特征，而且具有明顯的功效優(yōu)勢(shì)，功效差異程度與單位根項(xiàng)估計(jì)值小于零的比例有關(guān)。

文章在理論上改進(jìn)單位根聯(lián)合檢驗(yàn)方法，完善單位根檢驗(yàn)流程，實(shí)踐上也為實(shí)證研究提供一種新檢驗(yàn)方法。結(jié)合理論和模擬分析結(jié)果，提出三點(diǎn)建議。第一，在實(shí)證研究中，可以同時(shí)使用經(jīng)典Wald聯(lián)合檢驗(yàn)量和左側(cè)調(diào)整Wald聯(lián)合檢驗(yàn)量，但以后者結(jié)論為準(zhǔn)。第二，為進(jìn)一步考察單邊調(diào)整的優(yōu)勢(shì)，可以繼續(xù)研究左側(cè)調(diào)整LM聯(lián)合檢驗(yàn)量和F檢驗(yàn)量的檢驗(yàn)效果，并與左側(cè)調(diào)整Wald聯(lián)合檢驗(yàn)量進(jìn)行對(duì)比。第三，隨著泡沫檢驗(yàn)理論興起，可以在泡沫檢驗(yàn)中引入右側(cè)調(diào)整Wald聯(lián)合檢驗(yàn)量，進(jìn)一步完善資產(chǎn)價(jià)格泡沫計(jì)量模型檢驗(yàn)理論。